CONTACT ENTRE DEUX COURBES. II
r,ivement/?2 — i, ni! — ï ^m' — i, l'ordre de y est m -f- 2 m' — 3 et le nombre des intersections est wi[in ~{- ini' — 3). C'est donc l'ordre auquel les coefficients de V figureront dans la condition de contact; de la même manière ceux de U y entreront à l'ordre m' {m' -{- -i m — 3). En faisant m! == i nous retrouvons un résultat déjà obtenu : la condition pour que y.x -f- ^y -{- v^ = o soit tangente à une courbe contient a, p, Y au degré m(m — i ) et les coefficients de la courbe au degré 2{m — i). Voir aussi Sections coniques^ n^ 372. Si U a un point double, nous avons déjà vu que les courbes Ui, U2, U3 passent par ce point, et si ce point est un point de rebroussement, elles y ont même tangente; les mêmes déductions sont vraies pour y, et nous voyons que Tordre de la condition de contact, en fonction des coefiici'ents de V, doit être diminué de deux unités pour chaque point double, et de trois pour chaque rebrousse ment de U. L'ordre en question est donc
m ( /?^ + 2 m' — 3 ) — 2 § — 3 x ou n -h 2 m {771' — i ) .
98. On aurait pu obtenir ces résultats d'une autre manière ainsi qu'il suit. Prenons une droite arbitraire a^-f- 6/ + c^ = o et égalons à zéro le déterminant
Cette équation représente le lieu d'un point tel que ses polaires par rapport à U et V se coupent sur la droite en question. Mais, en un point commun à U et V, les polaires sont les deux tangentes qui se coupent au point commun; il n'y a donc évidemment que les deux cas suivants où un point commun à U et V puisse aussi se trouver sur y : ou bien la droite choisie passe par une intersection de U, V, ou bien en
Va
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,i8 ciîÀPiTRK m.
ce point les deux courbes ont une tangente commune. Si donc nous effectuons l'élimination entre y, U, V, le résultant contiendra comme facteurs la condition pour que ax -\- by -\- cz=:io passe par un point d'intersection de U, V, et la condition pour que U et Vsoient tangentes. Or, comme la résultante de trois équations renferme les coefficients de chacune d'elles à un ordre égal au produit des ordres des deux autres équations, et comme les ordres y, U, V sont respectivement m -\- m! — 2, m, m', l'ordre auquel a, b, c figurent dans la résultante est m mJ j celui des coefficients de U est
et celui des coefficients de V, m{im! -{-m — 2). D'une manière analogue, les ordres de la résultante de ax + by -f- cz^ U, V en fonction des différents coefficients sont respectivement m m! , m, m! , En retranchant ces nombres des précédents, nous trouvons comme ci-dessus que la condition de contact est de l'ordre m' {1 m -{- m' — 3) par rapport aux coefficients de U et de l'ordre m(2m' -i- m — 3) relativement à ceux deV.
99. Jusqu'ici nous ne nous sommes occupés que de théorèmes descriptifs, et nous avons laissé de côté la considération des questions appartenant à la classe de celles qu'on nomme métriques (n° 1). La relation de perpendicularité rentre dans cette dernière catégorie, car nous avons expliqué (Sections coniques^ n^ 356) que deux droites perpendiculaires peuvent être considérées comme des droites divisant harmoniquement la droite qui joint les deux points circulaires à l'infini. Il convient de ne pas exclure de ce Chapitre la discussion de quelques cas importants d'enveloppes dans lesquels intervient la relation de perpendicularité; les théorèmes qui en décou-
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lent peuvent être rendus descriptifs en substituant aux deux points circulaires à l'infini deux points I, J pris arbitrairementet en remplaçant les droites perpendiculaires entre elles, qui peuvent intervenir dans nos théorèmes, par des droites qui divisent I, J harmoniquement.
Un des cas d'enveloppe qui compte parmi les plus importants et parmi ceux qui aient été étudiés les premiers, c'est celui des développées des courbes* Nous avons défini la développée d'une courbe (^Sections coniques, n*' 248) comme le lieu des centres de courbure de la courbe; mais on peut aussi regarder la développée comme V enveloppe de toutes les normales de la courbe. En effet, le cercle de courbure est le cercle qui passe par trois points consécutifs de la courbe, et son centre est l'intersection des perpendiculaires élevées par les milieux des côtés du triangle formé par ces points. Or les droites qui joignent le premier et le second point, le second et le troisième sont deux tangentes consécutives de la courbe, et les perpendiculaires dont on vient de parler sont deux normales consécutives ; le centre de courbure est donc le point d'intersection de deux normales consécutives, et le lieu de tous les centres de courbure doit être le même que l'enveloppe de toutes les normales.
Exemple J. — Trouver la développée de —- -\- -,~ — \ ,
La normale est {Sections coniques, n° 180)
Si nous posons x' = a coscp, y = ôsincp, elle devient
ax by
coscp sincp '
c'est une équation de la classe étudiée (n** 85, Ex. 2) et dont l'enveloppe est, par conséquent,
ir>.Q CIIAIMTRE ni.
EXEMPLE 2. — La normale à la parabole est {Sections coniques,
ou
ly"^ -^{p'^ — '^p^)y' — />^^ — o.
'Test une équation cle la classe étudiée (n*" 85, Ex. 1); /' étant le [;aramètre, son enveloppe est
Ext'MPLE 3. — Trouve?^ la développée de la parabole semicu-
hique pr'^ =x^.
L'équation de la normale est
3ir'2(j — y')-^ '^py' {^ — ^') — o-
Remplaçons y' par sa valeur en x déduite de l'équation de la 1 1
courbe; et divisons par x"^ ; si nous posons x''^ = t, l'équation devient
i 3^^ + ipt^ — 3p^ yt — ipx = o,
dont l'enveloppe est
p(p^iSxy=^{5l,px-^Wy'-^P'y*
Exemple 4. — Trouver la développée de la parabole cubique
L'équation de la normale est
'Ix^'-^y — ^j')-f-/>^(^ x') — Çi ou 3a7'5 3/?2j^'2 4 p4^' pk^ — Q
Or l'enveloppe de
af^ -^ \o df^ -^ 5 et -h/— o
ost
{afi— iQ.d^' ey -^ i'iS{ie^ — 3 d/){ae^ — adef — c)d^) = o.
Dans le cas actuel Tenveloppe cherchée est donc
Exemple 5, — Trouver la développée de la cissoïde
Cette courbe est unicursale; si nous écrivons l'équation sous la
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foi^me {a — ^)jr2 — ^3^nous voyons de suite qu'elle est vérifiée parles valeurs :r=-^^,, y ^ ^^-!^y
Nous trouvons facilement que l'équation de la tangente au point en question est
aG'j — 3 62^-4-a — :r = o.
L'équation de la normale est donc
OU bien
aO'^^-f-SO^/ — îO^aM-O/ — a = o.
En formant le discriminant, nous voyons aisément qu'il contient en facteur {x -^\aY+y^\ le facteur qui reste donne l'équation de la développée proprement dite, qui est
Exemple 6. — Trouver la développée de x^ -^ y^ ^=^ a^ . Pour un point quelconque de cette courbe, nous pouvons poser (voir n° 'm, Ex. 2)
x' ~ a cos^ Oy y "= et sin^ çp.
la tangente en ce point sera
coscp ' sincp '
et la normale
a?coscp — /sincp = acosacp, ou bien {x -f-j)( coscp — sincp )-|-(^ — j)( coscp -4- sincp )= 2a(cos2cp — sia-cp),
ou encore
sin(cp+|^ cos^cp-i--
dont l'enveloppe est, comme on Fa vu (n° 85, Ex. 2),
{x -^yy^-^{x —y)'^ — -la^ .
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100. Les recherches qui suivent conduisent aux expressions des coordonnées du centre de courbure et du rayon de courbure qu'on donne ordinairement dans les Traités de Calcul différentiel. Dans ce numéro et le suivant, nous employons les coordonnées cartésiennes rectangulaires. Si a et [3 sont les coordonnées d'un point quelconque de la tangente, x etj^ celles de son point de contact, l'équation de cette droite est
la quantité -—•> que nous appellerons/? pour abréger, se déduit de l'équation de la courbe. En effet, la tangente passe par le point {Xj y) et fait avec l'axe des x un angle dont la tangente trigonométrique est égale à /? (n° 38). La normale étant perpendiculaire à cette droite au point (^, jk), son équation est
Nous avons maintenant à trouver l'enveloppe de cette droite dont l'équativjn renferme les paramètres x etjK;ie dernier y est donné en fonction de x par le moyen de l'équation de la courbe. Différentions maintenant par rapport k x ^l posons
-^ = q^ nous voyons que le point de contact de la droite
avec son enveloppe se trouvera en combinant l'équation (i) avec sa dérivée
Résolvons ces équations par rapport à a — ^ et ^ — jk, nous
avons
et le rayon de courbure est donné par l'équation
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Les valeurs que Ton vient d'obtenir pour les coordonnées du point d'intersection de deux normales consécutives auraient pu se trouver en considérant ce même point comme le centre de courbure.
Prenons l'équation d'un cercle quelconque
En la différentiant deux fois, nous avons
Mais si le cercle est oscalateur à la courbe en un point, les
quantités ■—--> -~ ont en ce point la même valeur pour les
deux courbes. Nous pouvons donc, dans ces équations, remplacer les coefficients différentiels par les valeurs àe p et q déduites de l'équation de la courbe ; nous arriverons ainsi à des équations identiques aux équations (i) et (2), qu'on a déjà déduites d'autres considérations.
101. Dans la pratique, jk n'est pas donné explicitement en fonction de x^ mais ces deux quantités sont liées par une équation U=o-, il sera donc commode de remplacer les expressions contenant/? et q par d'autres qui renferment les coefficients différentiels de U. Posons, comme plus haut,
dx ' dy ' dx^ ' dy'^ ' dxdy
Les coefficients de x et y dans Téquation de la tangente étant respectivement égaux à L et M, l'équation de la normale est
Nous en déduisons, en différentiant,
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riais Féquation de la courbe nous donne L + M -^ == o el, en remplaçant -^- par sa valeur, nous avons
(2) (Le — M/0(a — ^)— (L/i — Ma)(P— 7) + L2 4-M2=:o. Résolvons maintenant les équations (i) et (2); il vient
par suite
aM' — 2hLM-[-ùL'' ^ ^' aM' — 2hLM-+-bL^'
Rr
a M' — 2ALM + bL^
102. Si l'on introduit ici l'unité linéaire z, on peut faire ;)rendre à cette expression une forme plus symétrique, de îiianière à donner à l'équation la forme trilinéaire. En effet^ en vertu du théorème des fonctions homogènes,
{n— i)h-=:aœ -h hy -\- gz, {a— i)M^r=.hx -\- by ^fz, (n— î)N — gœ-i-fy-^cz; on en déduit
{n — ï){bL — hU) = {ab — h'^) ce +■ {bg- —fk) z, {n — i)(aM— /i L)z=: ab — h^)y -f- {af-'gh)z.
Multiplions la première équation par L, la seconde par M et additionnons-les membre à membre; il vient
{n — i){bU—2 ALM 4- aM^)
= {ab-h^){œh-^yM)-^z[{bg-/h)h~i-{a/-gh)My,
mais, comme l'équation de la courbe donne
^L 4- jM 4- -S N = o, le second membre de l'égalité précédente devient égal à
-z[{/h - bg)\.-\-{gh — a/)M +(aè - /i-^)N].
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Reiitplaçons L, M, N par leurs valeurs données ci-dessus, nous aurons
(^j)2(^L2 — 2/iLM-haM^-)
z= — z^{ abc -h 2/^/1 — ap — h g''- -— chP- )-=z-^\\ ^\
et l'expression qui fournit le rayon de courbure devient
R = zt
Pour tout point dont les coordonnées satisfont à l'équation H = o, le rayon de courbure devient infini et le centre de courbure est à une distance infinie. Cette particularité se produira quand trois points consécutifs de la courbe seroîil situés sur une li^ne droite; en effet, le cercle qu'ils déterminent devient alors une droite et son centre se trouve à une distance infinie. Au moyen de cette valeur du rayon de courbure, nous pourrions donc, indépendamment du n^ 74-, arriver à cette conclusion que les intersections de U et de H soiil des points d'inflexion. D'après l'équation précédente, pour que deux courbes soient osculatrices, il faut que, en outre de la condition de contact ordinaire, elles vérifient les deux relations L = 0 L', M z=: 9M' et par conséquent que l'on a^t
H enr
Le double signe qui figure dans la valeur du rayon de courbure est analogue à celui qu'on trouve dans la valeur de ia perpendiculaire à une droite (^Sections coniques, n^ 34), et si nous convenons de prendre le signe -f- quand le rayon de courbure (et par suite la concavité de la courbe) est dans une direction, nous devrons prendre le signe — pour la direction opposée. Comme toute fonction algébrique change de signe en passant par zéro, nous voyons qu'en un point d'inflexion le ^ayon de courbure change de signe et qu'en passant par
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120 CHAPITRE m.
un parei. point la concavité de la courbe se transforme en convexité, et réciproquement (voir /?^\ du n"45).Enun point
double^ le rayon de courbure prend la forme -? et sa valeur
doit se déterminer par les règles ordinaires usitées en pareil cas. Par le fait, chaque branche de la courbe a sa propre courbure en ce point. On trouvera que le rayon de courbure s'annule en un point cuspidal.
103. La longueur dhin arc quelconque de développée est égale à la différence des rayons de courbure à ses extrémités.
Menons trois normales consécutives à la courbe : soient C le point d'intersection de la première avec la seconde, G' le point d'intersection de la seconde avec la troisième; à la limite nous aurons CR= CS, G^S=:C^T; CG^,qui est la variation infinitésimale de l'arc de développée, est donc aussi celle du rayon de courbure.
Si donc on imagine un fil flexible enroulé sur la dévelop-
Fisr. 23.
pée et qu'on le déroule, chacun de ses points décrira une développante de la courbe GC^, c'est-à-dire une courbe dont GG' est la développée. G'est à ce point de vue que Huygens, l'inventeur des développées, les a tout d'abord considérées et c'est ce qui leur a fait donner ce nom de développées.
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104. Nous ajouterons ici une formule qui est quelquefois utile pour trouver le rayon de courbure d'une courbe représentée par une équation en coordonnées polaires. L'équation polaire p =/(ca)) peut se transformer en une autre de la forme p = /(/>); ici p est la perpendiculaire abaissée du pôle sur la tangente et sa longueur est donnée par les équations (n*^ 9o)
/)=:psinO, tangO — p-^-
Soient Pi la distance du pôle au centre de courbure et R le rayon de courbure ; nous avons alors
p^=zrp^-f-R2 2R/?.
Si nous passons au point consécutif de la courbe donnée, p, et R demeurent consta«ts et, en différentiant, nous obtenons
]{ = p — ^ : c'est Texpression demandée du rayon de courbure.
(^uand on a ainsi exprimé R en fonction de p et de/?, si l'on élimine p etp entre les équations
p^Ap). Pl = P'^R'-2j\p, p\ = f-p\
dont la dernière est toujours vraie, on obtient la relation qui subsiste entre les quantités p^ ei p\ relatives à la développée; mais il n'est pas toujours facile de passer de là à la relation entre les coordonnées polaires pj et w, de cette développée.
Comme exemple prenons la courbe p"* -- a^ cosmo) ; nous trouvons ici que la relation qui lie p et/? est /? =: p cosmca et par suite p'^^"^^ = a^p. Le rayon de courbure est alors
{/n -h i)/> (m-h i ) p" Les équations
PI = p2 ^ R2 — 2 R/?, /?? — p' •
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donnent bien les quantités p^,/>^ exprimées chacune en fonction de p, et par suite on a théoriquement l'équation de la développée sous la forme Ci = cp {P\)^ ^^^is l'élimination ne peut réellement s'effectuer.
Il est cependant facile de trouver l'équation de la réciproque de la développée par rapport à un cercle décrit autour du pôle comme centre. Prenons, pour plus de commodité, le rayon du cercle = a] soit pa le rayon vecteur de la courbe réciproque, et (O2 son inclinaison sur une droite perpendiculaire à celle à partir de laquelle w est mesuré : nous avons alors /?, = p sin/?iCL), et par suite
ces ni(M sin /?zcl)
De plus (d'après le n° 9o), 0J2 = {m + i) w; par conséquent la relation entre p2 et too, ou l'équation de la réciproque de la développée, est
p 2 ces — sm'^^
On verra facilement que le lieu de l'extrémité de la sowtang ente polaire (Sections coniques, n^ 192) d'une courb(j quelconque est la réciproque de la développée de la courbe réciproque. Ainsi ce lieu est une ligne droite pour les coniques focales, puisque la développée de la réciproque se réduit à un point.
105. Si l'on nous donne l'équation tangentielle d'une courbe u = o, nous pourrons obtenir directement les coordonnées tangentielles de la normale et l'équation tangentielle de la développée. En effet, si (a', [B', y') sont les coordonnées tangentielles d'une tangente,
du/ du' du'
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est l'équation du point de contact; et si ^ = 0 est l'équation tan g-entielle d'un couple de points IJ, alors
d^^ ^ cW ch'
est l'équation du pôle de la tangente donnée par rapport à IJ ; en d'autres termes, c'est l'équation du conjugué harmonique par rapport à ces points du point où la droite IJ est rencontrée par la tangente donnée. Si I, J sont les points circulaires à l'infini, la seconde équation représente le point à rinfîni sur la normale, et les deux équations, considérées ensemble, déterminent les coordonnées tangentielles de la normale. Si entre ces relations et l'équation de la courbe nous éliminons a/, P^, Y, nous aurons l'équation de la développée. i3ans le système de coordonnées tangentielles qui corres- [)ond aux coordonnées rectangulaires ordinaires, l'équation ([ui représente les points circulaires I, J est a- -{-^'^ ±= o (voir Sections coniques^ n° 383), et la seconde équation
dv' ^ dv' d^'
est la condition bien connue de perpendicularité arjj + 9,^' — o.
Exemple. — Former l'équation de la développée d'une conique à centre donnée par son équation tangentielle (voir Sections coniques, n° 169) a^a^ -+-62^ = i.
Ici les deux équations qui déterminent les coordonnées de la normale sont a^aa'^ 6"^ p^' = i etaa'+pp' = o; nous en déduisons
Remplaçons a' et P' par leurs valeurs dans a'^ci!^ -\- b^^''^ ^ i\ nous obtenons l'équation tangentielle de la développée qui est
S. — Courbes planes. 9
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l3o CHAPITRE III.
106. Nous donnons ci-après quelques exemples du problème plus général qui renferme celui des développées. Il consiste (n° 96) à trouver l'enveloppe de la conjuguée harmonique de la tangente à une courbe par rapport aux droites qui joignent son point de contact à deux points fixes I, J. Cette droite peut être appelée la quasi-normale et son enveloppe la quasi-développée.
Exemple 1. — Supposons que la courbe soit une conique.
Prenons la droite IJ pour base du triangle de référence et supposons que le sommet soit le pôle de cette ligne par rapport à la conique; l'équation de cette courbe sera alors de la forme
et celle d'une tangente quelconque sera
^'^{ax -^ y) — i^z -^{x -T- bj)= o.
L'équation d'une droite qui, jointe à cette dernière et aux droites x et jK, détermine sur z une division harmonique, sera de la forme
^'^(ax—y)-h(x~bf)= Mz.
Nous déterminerons M en considérant que la droite en question doit passer par le point de contact pour lequel nous avons
^{ax-hy) = Zj ^z = X -^ by; par suite,
z(b ~^^) ^(ae2 — i)
^~~ \i{ab- i")'- ^ ~ ()(ab — i)' ■et nous trouvons
'''- (ab--i)O Si nous posons alors
ax—y = Y, x-—by = X, Sz—(ab — i)Z, î'équation de la quasi-normale devient
aO'^Z-f- 403Y-4-40X — ^^Z = 0,
et Ferveloppe est une courbe de la quatrième classe dont l'équation est
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DÉVELOPPÉE?. l3]
el4e représente une courbe du sixième degré ayant les points XZ, YZ pourpoints de rebroussement, Z étant leur tangente commune; elle a en outre quatre autres points de rebroussement aux intersections deaèZ2+4XY et de aX2— ^>Y2.
Exemple 2. — Supposons que la conique passe par un des points I, J, ce que nous pouvons exprimer en disant qu'elle est semicirculaire*
Nous aurons alors 6 — o ; ^7^ est sur la courbe et x est la tangente. L'équation de la quasi-normale devient alors
ae3Z4-4e2Y-f-4X = o;
l'enveloppe est de la troisième classe seulement; son équation est
64Y3-i-27a2XZ2:=.o;
c'est une cubique qui a YZ pour point de rebroussement et XY pour point d'inflexion.
Si la courbe passe à la fois par I et J, en faisant a et 6 égaux chacun à zéro, nous voyons que l'équation de la quasi-normale se réduit à Ô^X-h Y = o; la droite passe donc par un point fixe, qui est l'intersection de X, Y, les deux tangentes en I, J.
Exemple 3. — Admettons que la conique soit tangente à la droite IJ.
Les droites de référence les plus commodes sont cette droite et les deux autres tangentes qui passent parlet J, et l'équation de cette conique est
^2 j j^2 4 ^2 — lyz- — 1ZX — ixy — o ou
z{ix + 2J -— z) =^{x —7)2.
L'équation de la tangente est alors
