IX -\- iy — z 2Ô(a7 — J')-f- 62^ = o
et nous avons pour le point de contact
37—7 = 6^, ix-^iy — ^ r= Ô2^. L'équation de la quasi-normale est alors
03^ — 0(2^7 -i-27 -h^)H- 2(iP — r) = O.
Hosted by
l32 CHAPITRE m.
L'enveloppe est aussi de la troisième classe; c'est la cubique cuspidale dont l'équation est
Exemple 4. — Les exemples qui précèdent auraient aussi pu se traiter en supposant la conique donnée par son équation générale. La tangente en un point quelconque ol^^ étant
(aa-H h^ -h ^y)^ -H (A a -h b^ -H/T)7-H(^a -f-/P -i-cy)^ = o,
l'équation de la quasi-normale est
7[(aa^-Aj^-l-^Y)^— (Aa-f-Z>p-i-/Y)7]=:(aa2— ^>p2^^aY— /Py)^-
Nous sommes ainsi conduits à former l'enveloppe de la droite
azf - bz^^-^{fy ~ gxYC^ '^{hy — fz — hx)^^( -\-{hy ^ gz — ax)^(a(, = O5
dans laquelle a, p, y sont des paramètres qui vérifient aussi la condition
aa^-\-b^^-hc^(^-h 2/Py + ig^oL-^'ihy.^ — o.
Nous obtiendrons l'équation de l'enveloppe (n"* 96) en suivant la marche indiquée {Sections coniques, n*" 372) pour former la condition de contact de deux coniques. Nous aurons donc à déterminer les invariants de ce système de fonctions quadratiques, et le discriminant de la première est 2^ S, où S est égal à
-^ 'ib{gh — af)yz — :La{hf — bg)xz.
Nous aurons
0 =z — {ab — h'^){ax^-~'>Jixy-^by'^) -f-(3 a/2 -I- 3 bg^ — 4 abc — ifgh)z'^ -h{^bgh — labf— ifh^)yz-h{iabf — 'labg — igh^)xz.
0' s'annule et l'enveloppe est, par suite^ 2y^z^S^ = Q^ ; elle est du sixième degré, comme ci-dessus, avec six points de rebroussement, dont deux sont situés sur ^. Supposons d'abord que z soit une tangente à la conique; alors ab — A^ — q^ g qi 0 prennent la forme L^, M^, L et M étant des fonctions linéaires; l'enveloppe devient ^L^ = M^ : c'est une cubique cuspidale ayant z comme tangente stationnaire. En second lieu, admettons que la conique passe pari ou 7-^ : alors a = b, S devient b(hy'-h gz)^ et 0 prend la forme {'hy -\-~^gz)M.
Hosted by
L'équation devient divisible par { hy -]- ^^y et l'enveloppe a une équation de la forme z^{hy -{- gz) — M^. On remarquera que hy -h ^-5 est la tangente à la conique au point I et que c'est une tangente d'inflexion de l'enveloppe.
