En général, comme Fa fait remarquer M. Cayley

si L^ -]- My -{- N^ est la tangente en un point x'y'z' ^ et si a^y, cf!^'^' sont les coordonnées de I, J, l'équation de la quasinormale est

(La^+Mp^+Ny')

(La-hMp H-Ny)

En effet, les deux déterminants, que nous appellerons pour le moment A, A', représentent individuellement les droites qui joignent ;r y >5^à I et J, et, comme la tangente passe par leur intersection, nous devons avoir une identité de la forme hx 4- M/ H- N^ r= AA — BA'. En remplaçant dans celte identité xyz successivement par a^PY, a(3y, nous trouverons pour A etB des quantités proportionnelles à La^ + M(3^+ Ny^ et La-]- M^ -h Ny; par conséquent, l'équation de la conjuguée harmonique de la tangente par rapport à A, A^ est de la forme écrite ci-dessus.

108. Examinons plus particulièrement le cas où Tun des points a, p, y est sur la courbe et, pour simplifier, supposons que ses coordonnées soient (i, o, o). Cela revient à dire que nous supposons que ce point est yz et que nous prenons la droite z pour tangente en ce point; nous allons démontrer que l'équation de l'enveloppe contient z comme i acteur. Nous pouvons é^s^alement, sans porter atteinte à la

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l34 CHAPITRE m,

généralité de nos raisonnements, supposer que le second point soit xy ou que ses coordonnées soient o, o, i. Faisons p = o, Y = o, a^=: o, [5'= o dans l'écjuation précédente; elle devient

Supposons maintenant que x\ y' ^ z' soient exprimés en fonction d'un paramètre t etque le point (a, [3, y) corresponde à la valeur î = o ; nous devrons avoir t comme facteur dans l'expression de y' et V^ dans celle de z^ pour que l'équation de la tangente puisse se réduire à ^ = o. En général, comme la tangente est la droite qui joint le point (x' , y' , z') au point consécutif (^^ + dx' , y' + dy' , z' + dz')^ son équation est

x{y' dz' — z' dy')-^ y{z' dx' — x' dz')-\- z{x' dy — y' dx')—o.

L, M, N sont les coefficients de x, y, z dans cette équation et t est facteur dans M et t^ dans L. Si donc on ordonne l'équation de la quasi-normale suivant les puissances croissantes de ^, on trouvera cpi'il n'y a pas de terme indépendant de t et que z est facteur à la fois dans les coefficients de / et t^ . Mais le discrim inant d'une fonction A + B <Ç -j- C T^ + . . . est de la forme A + B^tj; {Algèbre supérieure^ n"" 107) et, par conséquent, un facteur qiii figure en même temps dans A et B sera aussi facteur dans le discriminant. Si donc nous faisons B =r o dans ce dernier, l'expression restante sera de la forme A( A + C'^tj;) ; nous voyons ainsi que l'enveloppe aura z pour tangente d'inflexion [voir n^ 99, Ex. 4).

109. On a fait remarquer [Sections coniques^ n° 385) que la relation de perpendicularité peut être généralisée en remplaçant les points I, J par une conique ii^e et en regardant deux droites comme perpendiculaires quand chacune passe par le pôle de l'autre relativement à la conique. Dans cette nouvelle acception, l'élément qui correspond à la normale

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DÉVELOPPÉES, l35

est la droite qui joint un point quelconque de la courbe au pôle de sa tangente par rapport à la conique fixe; ou, en d'autres termes-, la droite qui unit le point en question au point correspondant de la polaire réciproque par rapport à la conique fixe.

Ainsi la courbe et sa réciproque ont les mêmes normales. Par exemple, si nous prenons pour la conique fixe x'^ +JK^ + ^^ , les coordonnées du pôle d'une tangente quelconque à la courbe sont L, M, N et l'équation de la droite qui correspond à la normale est

^(M^' — Ny)-hj(N^' — L^')-}-5 (L/— M^^)~o;

si la courbe était une conique, cette équation serait du second degré en x\ y ^ z' et l'enveloppe se déterminerait comme dans V Exemple 4 (n^ 106).

110. Les remarques qui suivent constituent un préliminaire utile à la recherche des caractéristiques de la développée d'une courbe. Lanormaleen un point situé à V infini sUr une courbe coïncide avec la droite de V infini elle-même , Nous avons déjà fait remarquer (n^ 103) que nous pouvons généraliser la conception d'une normale en substituant aux deux points circulaires de l'infini deux points I, J à distance finie, que si la tangente en un point quelconque P rencontre IJ en M, et si M^ est le conjugué harmonique de M par rapport à I, J, la droite PM^ peut être regardée comme la normale. De cette construction il résulte immédiatement que, si le point P est situé sur la droite IJ, VW coïncidera avec cette droite. Le cas où le point P coïncide avec I ou J fait ronrefois exception; les pointsM et M^se correspondent alors et la normale coïncide avec la tangente (voir Sections coniques^ n^ 382, note). Donc, si la courbe passe par Vun des points circulaires ci Vinfini^ la normale en ce point coïncidera avec la tangente.

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l36 CHAPiTUE Ilf.

111. Nous allons maintenant déterminer la classe de la développée d'une courbe donnée, ou, en d'autres termes, le nombre de normales (tangentes à la développée) qu'on peut mener d'un point quelconque à cette courbe. D'après la loi de continuité, le nombre de normales sera le même quel que soit le point par lequel elles passent. Il suffît donc d'étudier le cas où le point est à l'infini. Mais le nombre de normales, distinctes de la droite de l'infini elle-même, qu'on peut mener parallèlement à une droite donnée, est égal au nombre des tangentes qu'on peut mener parallèlement à la droite donnée, c'est-à-dire à la classe de la courbe. Et nous avons vu dans le numéro précédent que les m normales qui correspondent aux m points de la courbe situés à l'infini coïncident avec la droite de l'infini et, par suite, passent aussi parle point en question. Donc le nombre de normales qu^ on peut mener à la courbe par un point quelconque est égal à la somme de V ordre et de la classe de la courbe, ou, ce qui est la même chose, à la sommée des ordres de la courbe et de sa réciproque. Si la droite à l'infini est une tangente à la courbe, le nombre des tangentes à distance finie qu'on peut mener par un point à l'infini est évidemment d'une unité moindre que dans le cas général, et par suite le nombre des normales est aussi moindre d'une unité. Ainsi, on peut en général d'un point donné mener quatre normales à une conique ; on ne peut en mener que trois à une parabole.

De même, si la courbe passe par un des points circulaires, nous avons vu (n° 110) que la normale en ce point ne coïncide pas avec la droite de l'infini ; par conséquent, chaque fi^is que la courbe passe par un point circulaire, le nombre des normales est d'une unité moindre que dans le cas général. Par exemple, dans le cas du cercle qui passe par les deux points I, J, le nombre des normales menées par un point est diminué de deux, et il est effectivement de deux au lieu d'être de quatre. De même, si m et /? sont le degré et la

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classe d'une courbe qui passe/ fois par un point circulaire et est g fois tangente à la droite de l'infini, la classe de la développée sera

Nous aurions pu obtenir également ces résultats en remarquant que si, dans l'équation delà normale M (a — ^) = L(P — y\ nous supposons a, [3 donnés et x^ y variables, nous aurons l'équation d'une courbe du iit^^^ degré, dont l'intersection avec la courbe donnée détermine les points dont les normales passent par a, p. Si la courbe n'a pas de points multiples, le nombre des intersections sera évidemment rri^ ou m -|- 72, et il n'est pas difficile de montrer que, dans le cas général où il y a S points doubles et x points de rebroussement, l'ordre est m^ — 2 S — 3x, c'est-à-dire m + n,

112. Nous allons examiner quel sera le degré de la développée, et ici encore il suffira de chercher le nombre de points suivant lesquels la droite à l'infini coupe cette courbe. Si deux normales consécutives de la courbe primitive sont parallèles, les tangentes correspondantes coïncideront; donc les points à l'infini sur la développée proviendront en général des points d'inflexion de la courbe donnée. A ces points il faudra ajouter ceux qui proviennent de points à l'infini sur la courbe donnée, points qui (n° 111) donneront aussi naissance à des points à l'infini sur la développée. Nous disons de plus que ces derniers seront des points de rebroussement de la développée et qu'ils auront pour tangente la droite à l'infini. Soient M un point quelconque de la droite IJ et M^ son conjugué harmonique; nous avons vu que la droite qui correspond à la normale en M est la droite IJ; mais si les points consécutifs de la courbe qui précèdent et suivent M sont L et N, leurs normales seront LM\ NM^ Donc M' est un point par lequel passent trois tangentes consécutives de la

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l38 CHA PITRE III.

développée : c'est donc un point de rebroussement ayant IJ pour tangente. Mais, comme la tangente en un point de rebroussement rencontre la courbe en trois points consécutifs^ les m points à l'infini de la courbe donnée font naître le même nombre de rebroussements sur la développée et donnent 3 m intersections de cette courbe par la droite de l'infini. Si à ces derniers nous ajoutons ceux que nous avons déjà obtenus, nous trouverons que le degré de la développée est égal à z; -+- 3 m, c'est-à-dire au nombre que nous avons appelé a (n° 83).

Si la courbe passe par l'un ou l'autre des points I, J, nous avons vu que ces derniers ne donnent pas de points à l'infini sur la développée, et par conséquent le degré se trouvera diminué de trois unités. Si la droite IJ est tangente à la courbe, les normales aux deux points consécutifs où elle rencontre la courbe coïncideront avec IJ; nous aurons ainsi deux tangentes successives de l'enveloppe qui coïncident, c'est-à-dire un point d'inflexion sur l'enveloppe et dont IJ est la tangente. Comme cette singularité remplace deux des rebroussements que nous obtenons quand IJ rencontre la courbe suivant des points distincts les uns des autres, le degré de la développée diminue de trois unités, et si nous employons les lettres /et g en leur donnant le même sens que dans le dernier numéro, nous avons pour le degré de la développée

Les valeurs qu'on vient de donner montrent que le degré et la classe de la développée d'une courbe sont les mêmes que ceux de sa réciproque, comme le n° 109 pouvait nous le faire prévoir.

(') Quelques exemples particuliers montrent qu'on doit modifier ces formules quand I ou J est un point multiple o\\. deux ou plusieurs tangentes coïncident. Ainsi, si l'un d'eux est un rebroussement, la diminution du degré est 4 et non 6.

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DÉVELOPPÉES. ICÇ)

H3. Il n'y aura pas, en général, de points d'inflexion sur la développée, car, s'il existait un point de ce genre, les deux tangentes consécutives à la développée (normales à la courbe) coïncideraient; or il est évident, à l'inspection de la figure, que deux normales consécutives ne peuvent coïncider que si les tangentes correspondantes coïncident avec leurs normales et coïncident entre elles; ceci ne pourrait arriver que dans le cas exceptionnel où la courbe primitive aurait une tangente d'infliexion passant par I ou J.

Si cependant la courbe est tangente à IJ, nous avons vu (n** H2) qu'il y a un point d'inflexion à l'infini et, si la courbe passe par I ou J (n^ 108), que la développée a une tangente d'inflexion qui passe par le même point. Nous avons de cette manière un nombre suffisant de conditions pour déterminer toutes les caractéristiques de la développée, à savoir :

772'= a- 3 (/H- ^), n'^jn-^n—{f-hg), ^' = {f-\-8')' Nous en déduisons, par les formules de Pliïcker,

x' = 3a-3(mH-/i)-5(/+^-), a'=:=3a-8(/4-^),

et nous pouvons de la même manière écrire le nombre des points doubles de la développée et de ses tangentes doubles ; ces tangentes doubles sont, cela est bien évident, des normales doubles de la courbe primitive.

Le genre (n" 44) de la développée est le même que celui de la courbe primitive, comme on peut le vérifier en se servant de l'expression de ce genre : ^ [a — 2(/?z + /i)]-{-i. (En général, le genre de deux courbes est le même si l'on fait dériver l'une de l'autre de telle manière qu'à un point de l'une d'elles corresponde un seul point sur l'autre.)

H4. On peut aussi chercher directement combien la développée possède de points de rebroussement. Nous obtiendrons un point de rebroussement sur la développée, quand trois de

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l40 CHAPITRE III.

ses tangentes consécutives (c'est-à-dire, des normales à la courbe) se couperont en un même point; ou, en d'autres termes, quand quatre points consécutifs de la courbe primitive seront situés sur un même cercle. S'il en est ainsi, le rayon de courbure restera constant quand nous passerons au point infiniment voisin. Si donc nous difFérentions l'expression donnée (n"" 102), nous aurons

(L2+ M^) (" ^ 6/^+ ^ 6//^ =: 3H[(aL+/zMy/^ +( A^

Eliminons dxeidy au moyen de FéquatlonL 6/x + M dy = o, nous obtiendrons

(L2 + M2)('m^ -L^^ =:3H[(a-Z?)LM -f- A(]VP- L^)].

H est de l'ordre Z{m-— 2), L et M sont chacun de l'ordre m — I et a, b, h de l'ordre m — 2 ; cette équation représente donc une courbe de l'ordre 6 m — 10, dont les points d'intersection avec la courbe donnée sont les points où le cercle oscillateur a avec cette courbe un contact du troisième ordre (*).

Si la courbe n'a pas de points multiples, ces 7n{6m — 10) points, joints aux m points à l'infini, donnent naissance à (6m — 9) points de rebroussement sur la développée; ce nombre est d'accord avec les formules précédentes.

Nous pourrions de la même manière rechercher les caractéristiques de la développée, en considérant cette courbe dans le sens plus général que l'on a indiqué dans le n° 109, et nous trouverions que les formules que nous avons déjà obtenues

(') Dans la suite de cet Ouvrage, nous étudierons d'une manière plus complète la question des coniques qui ont avec la courbe un contact d'ordre supérieur au second, et nous donnerons une formule pour calculer l'aberration de courbure ou la quantité dont la courbe s'écarte de la forme circulaire.

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CAUSTIQUES. l4l

sont encore applicables;/ sera alors le nombre des contacts de la courbe avec la conique fixe ; il n'y aura pas de singularité correspondant à g\

Ho. Comme exemple de développées, nous dirons quelques mots des caustiques, dont la recherche appartient entièrement à la théorie des courbes, quoiqu'elle ait été suggérée aux mathématiciens par la science de l'Optique. Ce sujet a quelque intérêt, au point de vue historique, car les caustiques figurent avec le problème des enveloppes parmi les premières questions qu'on ait étudiées ( ^ ).

Quand la lumière tombe d'un point quelconque sur uue courbe, le rayon réfléchi s'obtient en menant une droite qui fasse avec la normale un angle égal à celui que fait le rayon incident avec cette même droite : l'enveloppe de tous ces rayons réfléchis est la caustique par réflexion.

Il est facile de former l'équation générale du rayon réfléchi. Soient T = o, N = o les équations de la tangente et de la normale au point d'incidence; l'équation du rayon incident

est

T'N — TiTz=o,

P, N^ étant les résultats de la substitution des coordonnées du point lumineux dans T et N; le rayon réfléchi, qui constitue un faisceau harmonique avec ces trois droites, aura alors pour équation

T' N + TN^ = o,

et l'on pourra former l'équation de son enveloppe au moyen des règles précédentes^

(') Les caustiques ont été mentionnées pour la première fois par Tscliirnhausen [Acta erudltorum^ 1682).

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ï42 CHAPITRE III.

Exemple. — Trouver la caustique par réflexion d'un cercle.

Soient a, p les coordonnées du centre lumineux, les équations de la tangente et de la normale sont respectivement

a? cosG H- j^ sin6 — r =^ o et a? sinO — jk cos6 = o.

Le rayon réfléchi est, d'après ce qui précède,

(acosG -f- [3 sin6 — r)(a7sin6 — y cosô) -+-(a?cos6 -^y sin 6 — 7')(asin0 — j^cosO) = o ou bien

(a)^-+-pa?)cos26 + (P7 — a^)sin294-A'(^^-a)sin6 — r(/-l-p)cos6 = o, dont l'enveloppe est {Ex. 3, n*' 8o)

U (a2 -V p-2)(^2 ^^2) ;.2 [(^+ a;2+ (;kH- P)2] ?

H6. Au lieu de chercher directement Fenveloppe du rayon réfléchi, M. Quetelet a donné une méthode, plus commode dans la pratique, pour ramener le problème à celui des développées, car la caustique serait suffisamment déterminée si nous connaissions la courbe dont elle est la développée :

Si nous prenons successivement chaque point de la courbe réfléchissante pour centre et sa distance au point lumineux pour rayon, et si nous décrivons une série de cercles, V enveloppe de tous ces cercles sera une courbe dont la développée sera la caustique cherchée.

L'énoncé suivant (dû à M. Dandelin) est l'expression du même théorème sous une forme plus commode ;

Si du point lumineux O nous abaissons une perpendiculaij^eOV sur la tangente et si nous la prolongeons de manière que PR=:OP, la caustique sera la développée du lieu de R.

En effet, RT est évidemment la direction du rayon réfléchi, et, si nous menons le rayon consécutif, comme OT, TV, OP, T'V font des angles égaux avec TT', nous aurons OT + TV==Or + T'V {Sections coniques, n« 392); par conséquent, VR = VR^ et par suite VR est une normale au lieu du point R,

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Le lieu de P, pied de la perpendiculaire abaissée sur la tangente, s'appelle la podaire de la courbe donnée. Le lieu du point R est évidemment une courbe semblable à la podaire

Fig. 24.

et son équation peut toujours s'écrire immédiatement quand on connaît l'équation de la réciproque de la courbe donnée

prise par rapport à O; il suffit de remplacer p par - dans Féqua-

P lion de la réciproque exprimée en coordonnées polaires. Ainsi la caustique par réflexion d'un cercle est la développée du limaçon [Ex, 5, n^'SS); son équation (le point lumineux étant le pôle), trouvée par la règle qu'on vient de donner, est de la forme

p =/?(i -i- e costo).

117. Si la lumière tombe d'un point quelconque sur une courbe, le rayon réfracté s'obtient en menant une droite qui fasse avec la normale un angle dont le sinus soit dans un rapport constant avec le sinus de l'angle que le rayon incident fait avec cette même normale; l'enveloppe de tous ces rayons est la caustique par réfraction,

M. Quetelet a ramené de la même manière la recherche de ces caustiques à celle des développées, au moyen du théorème suivant, dont on reconnaît facilement l'exactitude :

Si de chaque point de la courbe réfractante pris comme centre, avec une longueur qui soit dans un rapport constant

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a<^ec la distance de ce point au point lumineux comme rayon, nous décrivons une série de cercles, V enveloppe de ces cercles sera une courbe dont la développée donnera la caustique par réfraction.

En effet, la méthode infinitésimale montre que, par suite de la loi de réfraction, les accroissements infiniment petits des rayons incident et réfracté sont liés par la relation jYido -\- d^' =■ o . Il en résulte que si, sur le rayon réfracté prolongé, on prend TR=:7n.0T, T^R^=m.OT', on aura VR = VR^ et, par conséquent, le rayon réfracté sera normal au lieu du point R.

Nous donnons ici quelques considérations géométriques qui se rapportent à deux cas intéressants de caustiques par réfraction.

i" Trouver la caustique par réfraction d'une ligne droite.

Abaissons une perpendiculaire sur la droite {fig. 25), prolongeons-la de manière que AP = PB et décrivons un cercle qui passe par A, B et le point d'incidence R; soit LR le rayon réfracté; cette droite est évidemment la bissectrice de l'angle ALB

et nous avons AL -h LB : AB : : AL : AO : : sin AOL : sin ALO. Mais AOL est l'angle que le rayon réfracté fait avec la normale à la surface et ALO = BLO — BAR est l'angle de rayon incident fait avec cette même droite ; le rapport de AL -f- LB

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à AB est donc donné; par conséquent, le lieu de L est une ellipse, dont A et B sont les foyers, à laquelle LRest normale et dont, par suite, la caustique est la développée.

2° Trouver la caustique par réfraction d'un cercle.

Décrivons un cercle passant par A (yïg'. 26), le poi n tlumineux, par R, et le point d'incidence, et de manière qu'il soit tangent

à OR ; le point B est alors donné puisque OA X OB = OR . Le rapportRA: RBest, par les triangles semblables, égal aurapport donné OA: OR. Le rapport RA:RMestégalàsinRBA:sinRBM. Mais RBA est égal à PP\.A, l'angle que le rayon incident fait avec la normale à la courbe, et RBM est égal à PRM, l'angle que le rayon réfracté fait avec la même normale; donc le rapport RA : RM est aussi donné. Mais

AM X RB + MB X AR = RM X AB ;

si nous représentons par p et p' les distances de M à A et B, ces distances seront liées par la relation

RB

RM ^

RA RM

p'-zrAB.

Or une cartésienne est définie comme le lieu d'un point dont

les distances à deux foyers donnés sont liées par la relation

7?2p -}- /ip^ == c ; et l'on démontre, exactement de la même ma-

S. — Courbes planes, 10

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l46 CHAPITRE III.

nière que dans les Sections coniques (n^ 392), que la normale à une pareille courbe divise Tangie que font les deux rayons focaux en deux parties dont les sinus sont dans le rapport de m\n. Donc le lieu de M est une cartésienne dont A et B sont les foyers; il est évident aussi que MR est normale à ce lieu et que par conséquent la caustique est la développée de cette courbe ( • ).

L'ellipse dans (i) et la cartésienne dans (2) sont des courbes qui coupent à angle droit les rayons réfractés : la courbe qui coupe normalement les rayons réfractés ou réfléchis s'appelle la caustique secondaire.