COURBES PARALLÈLES ET POD AIRES NÉGATIVES

118. Il nous reste à dire quelques mots d'une ou deux autres classes d'enveloppes. Nous avons déjà parlé du problème qui consiste à trouver la courbe parallèle à une courbo donnée. Cette question peut se traiter en cherchant l'enveloppe d'une tangente parallèle à chacune des tangenles de la courbe donnée, et située à une distance donnée de chacune d'elles, c'est-à-dire l'enveloppe de la droite

On peut encore, comme nous l'avons déjà vu, regarder ce problème comme se ramenant à celui-ci : Trouver V enveloppe d^un cercle de rayon donné

dont le centre {cf..^ ^) satisfait à récjuation de la courbe ; on encore, ce qui revient au même : Trouver la condition pour que ce cercle soit tangent à la courbe donnée. Le résultat sera évidemment une fonction de A*^. Dans quelques cas ex-

(') Cette démonstration m'a été communiquée par le D*" Atkins,

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ceptionnels que nous allons faire connaître ici, le résultat peu l se décomposer en facteurs ; par exemple, la courbe parallèle à un cercle et à une distance k de ce cercle se compose d'un couple de cercles dont les rayons sont a± k. Mais ordinairement une décomposition de ce genre n'est pas possible, et les deux tangentes situées à la distance ± k d'une tangente quelconque de la courbe donnée seront toujours tangentes à la même courbe parallèle. Par conséquent, le nombre de tangentes qu'on peut mener à cette dernière parallèlement à une direction donnée est double du nombre des tangentes qu'on peut mener de la même manière à la courbe donnée, en d'autres termes n' =^ ^n. De même, à chaque tangente inflexionnelle de la courbe donnée correspondent deux tangentes de même espèce sur la courbe parallèle, c'est-à-dire que !.^= 11, Pour trouver l'ordre de la courbe parallèle, il suffit de faire A' = o dans son équation, ce qui n'affectera pas les termes du degré le plus élevé dans l'équation; mais on a démontré pour les coniques (Sections coniques, n° 372, ^a^. 2), et ceci est vrai en général, que le résultat obtenu en faisant /{• = o dans l'équation de la courbe parallèle se compose delà courbe originale comptée deux fois et des deux systèmes de 71 tangentes menées à la courbe par les points I, J.

L^ordre cherché est donc i[m -\- n). Il n'y aura aucune difficulté à trouver les modifications que subissent ces nombres quand la courbe originale est tangente à la droite de l'infini ou passe par les points I, J. Nous arrivons de cette manière aux formules de M. Gayley :

m' -=-2 {m + n) — ■%{/-+■ g), n^ ^=.in^ t' — 2 t =: — 67^^ -|- 2 a, >^'=2a — 6(/-}-<^), f-=:.i{n—g), g'^'ig

La courbe parallèle et la courbe originale ont les mêmes normales et la même développée ; mais toute normale à la courbe parallèle est généralement normale en même temps en deux endroits qui correspondent aux valeurs ±: k.

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l48 CHAPITRE III.

Exemple 1. — Trouver la courhe parallèle àVellipse ou à la parabole, (Voir Sections coniques^ n° 372.)

Exemple 2. — Trouver la courbe parallèle à x^ +jk^ = a'^ . L'équation d'une tangente quelconque est {voir\i° 99) ^ eos cp -H j^ sin cp = a sin cp cos cp. Donc la droite parallèle située à une distance k est X coscD -Hj^sincp =:. k -\- a sincp coscp

et son enveloppe est {voir n° 85^ Ex. 3)

C'est là un des cas où les courbes parallèles qui correspondent aux valeurs ± k sont des courbes distinctes et non des branches différentes d'une même courbe.

La courbe dont on vient de former l'équation est l'enveloppe d'une droite sur laquelle deux droites fixes déterminent un segment de grandeur constante. Si ces droites sont rectangulaires et si on les prend pour axes, on voit immédiatement que l'équation d'une droite de longueur a et qui fait un angle cp avec l'axe des x sera

X sin o -h y cos cp = a sin cp cos cp,

dont l'enveloppe est ^^+jK^=a^.

Considérons pour un instant un diamètre d'un cercle et une corde qui lui soit parallèle; il est évident que, si une droite de longueur a sous-tend un angle droit en un point quelconque, une droite parallèle située à la distance \a coscp sera coupée suivant un segment a sincp par un couple de droites comprenant un angle cp et également inclinées sur les droites rectangulaires. Il est donc évident que l'enveloppe d'une droite sur laquelle deux axes obliques interceptent un

segment de longueur égale à a sincp est une courbe parallèle ( qui

correspond à la valeur /c=-acoscpj à l'enveloppe ^"^ -i-r^ = a-^

étudiée dans le cas des droites rectangulaires.

H 8. Si OLX -{- pjK + Y est une tangente à une conrbe (dont Féquation est exprimée en coordonnées rectangulaires ordi-

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COURBES PARALLÈLES ET PODAIRES NÉGATIVES. l49

Tiaires), il est évident que clx -\-^y -\- ^ -\- k \J cf.- -\- ^' est une tangente à la courbe parallèle; il résulte immédiatement de là que, si nous avons Féquation tangentielle d'une courbe donnée^ nous obtiendrons celle de la courbe parallèle en y remplaçant y par y + A-p, oii p = y/a^+ p^. L'équation tangentielle de la courbe parallèle à une courbe dont l'équation tangentielle est V = o sera donc

^ ch( 1.2 a Y

Nous débarrasserons l'équation des radicaux en faisant passer dans un même membre toutes les puissances impaires de p et élevant au carré. Nous obtiendrons ainsi une équation dont l'ordre sera double de celui de l'équation tangentielle primitive : ce résultat s'accorde avec ce qu'on a démontré dans le numéro précédent.

Exemple 1. — Trouver V équation tangentielle de la courbeparal-

L'équation tangentielle de l'ellipse est {Sections coniques^ n* 163, Ex. 1 ),

par suite, celle de la courbe parallèle sera

ou bien

Exemple 2. — Former V équation tangentielle de la courbe parallèle à la parabole y'^ =: pcc.

L'équation tangentielle correspondante est /?|32 = 4aY.

Celle de la courbe parallèle sera donc

(p [32 4 ay )2 = 4 /:2 a2 ( «2 + p ).

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l5o CHAPITRE III.

Exemple 3. — Trouver V équation tangentielle de la courbe parallèle à un cercle.

L'équation tangentielle du cercle dont le centre est au point [a, b) et dont le rayon est égal à c est {Sections coniques, n° 86)

celle de la courbe parallèle sera donc

(aa-f- ^>p-f- Y-i- /cp)2= c2p^ Elle se décompose en facteurs et donne

aa -f- è P -f- Y + A:p = ± c p, ou, en faisant disparaître les radicaux,

Cette équation représente un couple de cercles concentriques dont les rayons sont respectivement c d= ^, comme cela est évident géométriquement.

H9. En procédant de la même manière que dans le dernier exemple, nous démontrerons que, si l'équation tangentielle d'une courbe est de la forme i/-(a- + P^)= ^^? l'équation de la courbe parallèle se décomposera en deux facteurs de même forme que la courbe primitive ; les courbes parallèles correspondant aux valeurs ± k seront des courbes distinctes et non des branches différentes d'une même courbe. En effet, supposons que, en remplaçant y par y + A'p, u devienne

et qu'il en soit de même pour v] u^p^z=z ç- deviendra alors

Cette équation se décompose en facteurs qu'on peut rendre séparément rationnels et qui donneront le résultat

[w4- a"k''f-^,..±.{v'k-^v"'k^p^^..,)Yf

^[^>+ v" k^f ^ . . .±i{u' kf -^ u" k^ p'* -^ , , .)'\\

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COURBES PARALLÈLES ET PODAIRES NÉGATIVES. l5l

A^insi l'équation donnée pour la courbe parallèle à une conique présente la forme considérée dans ce numéro, et il est facile de vérifier que la courbe parallèle à cette parallèle menée à la distance k' se compose des deux parallèles à la conique aux distances k -^ k' , comme cela doit évidemment

être. Reprenons la courbe déjà considérée, ^'^ +jK^ = <^<^^? dont l'équation tangentielle est (a^ -+- P^)^'^ = a^a- p^ ; cette dernière ayant justement la forme que nous considérons, nous trouvons que la courbe parallèle se décompose en facteurs. L'équation tangentielle de cette courbe parallèle est en effet

Si nous prenons pour u et ^ respectivement les fonctions les plus générales du premier et du second degré en a, p, y, a-p2 r=; (;2 représentera une courbe de la quatrième classe qui a deux tangentes doubles, et qui par suite est du huitième ordre. Mais nous pouvons choisir ces fonctions de telle sorte que les tangentes doubles deviennent des tangentes stationnaires, et que la courbe puisse avoir une autre tangente double ou stationnaire ; nous pouvons de cette manière formel l'équation d'une courbe du troisième ou du quatrième ordre dont les parallèles se résolvent en facteurs. C'est à ce genre qu'appartient la réciproque d'une cartésienne, comme on le montrera plus tard.

120. Si nous avions employé des équations en coordonnées trilinéaires au lieu de nous servir de coordonnées rectangulaires, nous aurions trouvé [Sections coniques , n^ 61) que l'équation d'une parallèle à clx -\- ^y -{-^z, et à distance constante de cette droite, est de la forme

a^ H- Py + Y^ -}- /?i(.r sin A -H/sinB -h z sinG)y/S :— o,

S étant la c[uantité

a^ -f- P'^ 4- Y^ ■ — 2 Py cos x\ — 2 yj^ cos B — 2 ajii ces G,

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l52 CHAPITRE III.

et nous en concluons que si dans l'équation tangentielle d'une courbe nous remplaçons ol, p, y respectivement par

a H- ^7z sin A \/S, p -h 7?2 sinB yS, -^ -^ m ûnd y^ ,

nous aurons Téquation tangentielle d'une courbe parallèle. Nous avons vu que [Sections coniques, n" 382) S = o est l'équation tangentielle des pointsi, J; etil vient immédiatement à la pensée que, si S = o est l'équation tangentielle de deux points quelconques, elax -^ hy -\- cz = o celle de la ligne qu i les joint, en considérant les points circulaires à l'infini comme remplacés par les deux points en question, l'enveloppe de a^ + ^y + Y^ et celle de a^ + j3jK + Y-^ + (<^^ + ^f H- cz) ^/S sont des courbes quasi-parallèles.

121. Nous avons appelé (n^ IIQ) podaire d'une courbe donnée le lieu du pied de la perpendiculaire abaissée d'un pôle ou centre donné sur la tangente à la courbe. Après avoir trouvé la podaire, nous pouvons former la podaire de cette dernière . . . , et nous avons ainsi une série de seconde, troisième, . . . podaires de la courbe donnée. Nous pouvons au contraire continuer la série dans le sens iaverse, et considérer la courbe dont la courbe donnée est la podaire comme la première podaire négative, et ainsi de suite. Le problème qui consiste à trouver la podaire négative revient à la recherche de l'enveloppe d'une droite menée perpendiculairement à l'extrémité du rayon vecteur; ou, en d'autres termes, à trouver l'enveloppe de

OÙ a, [3 satisfont à l'équation de la courbe. Nous veaons de voir que la recherche des courbes parallèles se ramène à celle de l'enveloppe de

cette droite étant soumise aux mêmes conditions; c'est en se

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COURBES PARALLÈLES ET PODAIRES NÉGATIVES. l53

fondant sur cette analogie que M. Roberts a fait remarquer que les deux problèmes géométriques conduisent tous deux au même problème d'Analyse, celui où il s'agit de trouver une enveloppe de la forme

et que, si nous avions l'équation de la courbe parallèle, nous en déduirions celle de la podaire négative, en y posant ^2 — - J.2 4-^2 Qi Qj^ remplaçante etj>^par ~x et ^y. Généralement, il faut le dire, la recherche de la courbe parallèle est la plus difficile des deux; mais cette méthode donne immédiatement la podaire négative de la ligne droite ou du cercle. En effet, la courbe parallèle à une droite est le couple de deux droites parallèles équidistantes, et la parallèle au cercle de rayon a se compose de deux cercles concentriques de rayons a±k. Ainsi, dans l'un et l'autre de ces cas, l'équation de la courbe parallèle peut s'écrire sans calcul, et la podaire négative s'en déduit en suivant la marche qu'on vient d'indiquer.

122. Etant donnée une courbe quelconque, si l'on prend sur chaque rayon vecteur OP, et à partir d'une origine arbitraire ou centre d'inversion O, une longueur OP^ égale à l'inverse de OP, le lieu du point P^ est dit la courbe inverse de la courbe donnée. De cette définition on conclut aisément que la podaire d'une courbe est l'inverse de sa polaire réciproque, et que la première podaire négative est la polaire réciproque de son inverse, la construction des courbes réciproques s'effectuant par rapport à un cercle décrit autour de l'origine ou centre d'inversion pris comme centre.

On peut sans difficulté, au moyen de raisonnements analogues à ceux qu'on a employés dans d'autres cas similaires, déduire les caractéristiques de la courbe inverse d'une courbe donnée, puis celles de la podaire négative; il nous suffira de

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l54 CHAPITRE III.

donner les résultats. Nous employons/ et ^' dans le même sens que plus haut, pour indiquer combien de fois la courbe passe par un point I ou J ou est tangente à la droite IJ ; f et g^ indiquent les singularités réciproques, c'est-à-dire combien de fois la courbe est tangente à une droite 01 ou OJ, ou bien passe par l'origine;/) et ^représententle nombre de coïncidences de tangentes, quand l'origine ou quand un point I ou J est un point multiple (par exemple, nous aurions /? =: i si l'origine était un rebroussement) et/>^ et q^ s'appliquent aux singularités réciproques. Nous avons alors les relations suivantes pour la courbe inverse :

Nous déduisons de là pour la podaire

F=2«-2^o./', G=p', F:=./, G'=«-/', Pz..^', Q=/,

et pour la podaire négative

M^n-\-2m — 2{f-^g') — {f'-{-g)-\-p + q,^r=z2m-~f—g' F ^q, G = m-f, ¥'^2m-f-2g', G'=p, F^ = g, OJ^f.

Exemple 1. — Trouver la podaire négative de la parabole, en supposant le pôle au foyer {}).

Soit j2 — 4 (^^-H ^^) réquation de la parabole. Nous pouvons représenter les coordonnées d'un point quelconque de la courbe par

X -\- m = \^ 7n, y = 2\/?i; l'équation ax -^ ^y =z ol^ -^ ^^ devient

(') Il est facile de voir que ce problème est le même que celui où Ton cherche la caustique par réflexion, dans l'hypothèse où les rayons lumineux sont perpendiculaires à l'axe.

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COURBES PARALLÈLES ET PODAIRES NÉGATIVES. l55

Les invariants de cette équation du quatrième degré en X sont

8 = 3 (^-4-4//i)2, T ==(^-i- 4m)3 — 547n(a72-Hj2).

Le discriminant S^ — 27 T^ devient divisible par x'^ +JK* et nous donne l'équation

{x ~^r l\nxf ~- 27 w(^'2 -+-JK^).

C'est l'équivalent de l'équation polaire p*^ cos 0 ^ — ^^"^ qu'on aurait

pu obtenir autrement; en effet, il résulte du n° 95 que, si l'équation d'une courbe quelconque peut s'exprimer sous la forme

p^'i =r a'^^ cos /?zto,

les équations de sa podaire et de sa podaire négative sont de la

même forme, les nouveaux m étant respectivement et •

On peut remarquer que l'équation de la tangente à une courbe parallèle à cette courbe est

Son enveloppe est du cinquième ordre, et les courbes qui correspondent aux valeurs dz k sont distinctes. Et de môme, en général, pour les courbes dont la tangente a pour équation

( X2 — I ) ^ -H 2lf = O (1),

Ijs courbes parallèles seront unicursales. Si nous prenons cp(X)= ml^, nous obtenons une courbe de la troisième classe et du qîjatrième ordre, tangente à la droite de l'infini et passant par les pDints I, J.

x^ y- ExEMPLE 2. — Trouve/^ la podaire négative de — 4-*--= i, en

supposant que le pôle soit le centre.

Ecrivons comme d'habitude les coordonnées d'un point sous la forme a coscp et b sincp; nous aurons à trouver l'enveloppe de la droite

ax cos cp -+- by sin cp = a^ cos^ cp h- ^2 sin2 ^ = l(a2 4-62)^i(^^2 62)cos2cp.

Par suite, en posant pour un instant 4- (<^^ -4- ^2) = w, ^{a- — b^)^ /i, l'enveloppe est {voir n° 85, Ex. 3)

-H [9 (m — '6n)a-x^- -^ ^{m-{- jn)b^y'^ — %7n{m^- — 9/1^)]- = o.

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l56 CHAPITRE III.

Consulter aussi la Géométrie à trois dimensions (n'' 4Si) pour voir la solution que M. Gayley a donnée de ce même problème.

Exemple 3. — Trouver la podaire négative de V ellipse en supposant le pôle au foyer.

La coordonnée .-r mesurée à partir du foyer est c-}-acoscp et le rayon vecteur focal est a -I- ccoscp. Nous aurons donc à chercher l'enveloppe de la droite

x{c -^- a coscp) -\- yb ûno — {a-^ c coscp)^

ou bien

c2 cosacp -h a(4 c — ix) coscp — 2 6j^ sincp + (aa^ -+- c^ — 1 ex) ~ o.

L'enveloppe est

[3b^-(x^--^r^)—-{ia^--\-cxfY H- [9^2 (a2 — ex -i- ic^)(x^ -i-J^) — (2b^ -\- c^)3]2 — o.

Cette équation développée sera évidemment divisible par x^ 4- j^ et représentera une courbe du quatrième degré, ayant les droites :c- +.X" comme tangentes stationn aires.

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PROPRIÉTÉS MÉTRIQUES DES COURBES. I Sy

123. Dans ce Chapitre, nous allons faire connaître quelques-unes des propriétés métriques les plus importantes des courbes. Pour étudier ces propriétés, les coordonnées dont l'emploi présente le plus d'avantages sont les coordonnées cartésiennes rectangulaires. Par exemple, nous avons déjà vu, dans le n*^ 35, qu'en remplaçante et jk par p cos9 et psinQ nous obtiendrons les longueurs des segments interceptés par la courbe sur une droite quelconque issue de l'origine ; ii en est de même pour une droite généralement quelconque, puisque, par une transformation de coordonnées, nous pouvons amener un point quelconque à devenir l'origine.

Le théorème énoncé [Sections coniques, n° 148) peut se

généraliser comme il suit : Si, par un point O, on mène

deux cordes qui rencontrent respectivement une courbe

du n^^^^^^ de gré j ceux points R^ , Ro, ... B,^ , S^ , So, . . . S,;, /e

, . OR,. OR. ... OR,, , ^ jj

rapport des produits -j^ — ^^r^-= ..^ seraconstant, quetle

que soit la position du point O, -pourvu cjue les directions des droites OR, OS soient constantes (').

La démonstration est la même que celle qu'on a déjà donnée dans le cas des coniques. L'équation en coordonnées polaires (n° 26) nous montre que le produit de tous les seg-

(') Ce théorème a été énoncé pour la première fois par Newton dans son Enumeratio linearum tertli ordinis.

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l58 CHAPITRE IV.

ments déterminés par la courbe sur un rayon vecteur mené par l'origine et faisant un angle 9 avec l'axe des x est égal à

Pcos'^e-h Qcos''-i0sin6 + . .

Le même produit pour l'autre droite sera

P cos''0i + Qcos"-^6i sinOi -h . . .

Leur rapport est par conséquent égal à

Pcos"0 -HQcos'^-iOsine H- . . .

Pcos'^ôi -h-Qcos'^-^eisin0i-i- . . . '

Mais nous avons vu [Sections coniques^ n*^ 134) qu'en rapportant la courbe à de nouveaux axes parallèles aux anciens, les coefficients des puissances les plus élevées des variables ne changent pas ; il en est donc de même du rapport qui précède.

Nous pouvons aussi (Sections coniques^ n° 148) énoncer ce même théorème de la manière suivante : Si par deux points fixes O et o on mène deux droites parallèles^ le rapport des produits OR, ORo. . . . , or^ , or 2, . . . sera constant^ quelle que soit la direction commune de ces droites.

A' En effet, la valeur du second produit est ,-.: ;

dans cette expression A' est le terme absolu quand o devient l'origine; le rapport des produits est donc A : A^, quantité indépendante de 6. Nous avons \ii (Sectio/is coniques, n° 134) que le nouveau terme absolu sera le résultat de la substitution des coordonnées du point o dans l'équation donnée. Nous trouvons de la sorte que le résultat d'une substitution de ce genre est toujours proportionnel au produit des segments interceptés entre le point 0 et la courbe sur une droite dont la direction est donnée.

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PROPRIÉTÉS MÉTRIQUES DES COURBES. iSq

124. Du théorème précédent nous déduisons immédiatement celui de Carnot, dont nous avons donné un cas particulier [Sections coniques, n^ 313). Supposons que chacun des côtés d'un polygone ABC . . . rencontre une courbe du n^^^^ degré en n points réels. Nous représentons par (B/ le produit des n segments successifs déterminés sur le côté BC entre B et la courbe; par '(B) le produit des segments interceptés sur le côté BA. Nous aurons alors la relation

(A)'(By(C)'(D)' . . . z='(Â)'(B)'(C)'(D) . . .

En effet, menons par un point quelconque des rayons vecteurs parallèles aux côtés du polygone, et représentons le produit des segments successifs déterminés sur chacune de ces droites par (a),(ô),(c), ... ; si nous faisons abstraction des signes,

'(B):(B)'::(a):(fc) '(C):(C)'::(6):(c) '(D):(D)'::(c):(./)

et, en composant tous ces rapports entre eux, l'exactitude du théorème devient évidente.

125. On peut éviter toute ambiguïté en ayant égard aux signes ±:. Si nous considérons les segments interceptés sur la droite AB, la quantité (Ay représente le produit des ji segments mesurés de A vers B; de même ^(B) sera le produit des n segments mesurés de B vers A; donc, par suite de la règle des signes [Sections coniques, n*^ 7), chaque terme du dernier produit doit être considéré comme ayant un signe contraire à chacun des termes du premier, en sorte que, si nous donnons à (Ay le signe +, nous devons donner à ^(B) le signe ( — i)'% c'est-à-dire -\- quand n sera pair et — quand n sera impair. Supposons que k soit le nombre de côtés du polygone; comme chacjue terme de l'équation contien-

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l6o CHAPITRE IV.

dra k facteurs tels que (Ay, cette équation devra s'écrire

(Ay(By(Gy... = (-i)«^\Ay(By(C)...;

c'est-à-dire que le second membre aura le signe + quand le degré de la courbe ou le nombre des côtés du polygone sera pair; quand au contraire ils seront tous deux impairs, il faudra prendre le signe — .

Exercices.

Exemple 1. — Une droite coupe les côtés d'un triangle AB, BC, GA, aux points c, a, b. On a

Ac.Ba.G& — — A6.Bc.Ga (Sections co7iiques, n" 4:2),

et le signe montre que, si la droite coupe deux côtés intérieurement, elle coupera le troisième extérieurement. L'équation

Aci.Ba,Cb = +A^i.Bc.G<^ {Sections coniques, n°43)

sera vérifiée si les trois droites A a, Bb, Gci se coupent en un même pointj et la droite AB est divisée harmoniquement aux points c et Ci.

Exemple 2. — Supposons que chacun des côtés du triangle soit tangent à une même conique aux points a, b, c. Le théorème de Garnot nous donne

Â7! B^! G^'^ = + A^! B^î G^^ et par suite

Ac.Ba.Cb=^±Ab.Bc.Ga.

On ne peut pas prendre le signe inférieur, puisqu'une droite ne peut couper une conique en trois points; nous voyons donc que, si une conique est inscrite dans un triangle, les droites qui joignent chaque sommet au point de contact du côté opposé se coupent en un même point.

Exemple 3. — Soient a, è, c des points d'inflexion d'une courbe du troisième degré, et BG, G A, AB les tangentes en ces points; le théorème de Garnot donne

'sTc. Ba'. ~ÔÂ)^ = — Âï! B c! G^^

PROPRIÉTÉS MÉTRIQUES DES COURBES. tÔl

dont la seule racine réelle est

Ac.Ba,Gb = —Ab.Bc,Ga.

Donc, si une courbe du troisième degré a trois points d^ inflexion réels, ils doivent être situés sur une même droite. Il en résulte aussi qu'une courbe du troisième degré ne peut avoir que trois points d'inflexion réels; car le même raisonnement montrerait ç{\ietous les points d'inflexion réels doivent se trouver sur une même droite et une droite ne peut rencontrer la courbe qu'en trois points.

Le même raisonnement prouve que, si une courbe de degré impair n a trois points réels, et que si les tangentes en ces points rencontrent la courbe en n points, ces trois points sont situés su; une même ligne droite.

Exemple 4. — Prenons une courbe du quatrième degré ayant trois tangentes doubles, nous avons

Ac ! Âc7? Bal Bâ7? GblcbC ^ kb\ Ab^\ B cT Bc^^ Ca. G t//'

nous en déduisons

Ac.Aci.Ba.Bai.G6.G6i = ±A^.A6i.Bc.Bci.Ga.Gai.

Ici, à cause du double signe, nous pouvons seulement conclure de cette relation que, si une courbe du quatrième degré a trois tangentes doubles, la conique menée par cinq des points de contact passera bien par le sixième point, ou bien par le point qui forme avec le sixième une division harmonique sur le côté oà se trouve ce dernier point. Il existe d'après cela deux genres distincts de groupes de trois tangentes doubles, suivant que l'une ou l'autre de ces relations géométriques se trouve vérifiée.

126. Il existe quelques cas particuliers pour lesquels le théorème de Garnot demande à être modifié. Supposons, en premier lieu, que l'un des angles (A) du polygone soit à l'infini, c'est-à-dire cjue deux côtés adjacents soient parallèles; nous aurons finalement (Ay = ^(A) et l'équation

subsistera toujours.

S. — Courbes planes. ii

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l62 CHAPITRE IV.

Admettons, en second lieu, que l'un des angles (A) soit situé

sur la courbe; l'un des n termes de chacun des produits (A)'

et ^(A) s'annule alors; mais, comme le rapport des deux seg-

AR , , , sinRR'A ,

ments TTT/ est e2:al a -^ — ^.^ . -> nous pouvons remplacer le AR' ^ smR'RA ^ ^

rapport des côtés qui deviennent nuls par le rapport des

sinus des angles que les côtés du polygone qui aboutissent

en A font avec la tangente en A, et le théorème devient ainsi

(Ay(Ry(Gy... __/(Ay(By(G)...

(A y et \' A) ne contiennent plus chacun que {ii — i ) facteurs, et a et a! sont les angles que font avec la tangente en A les côtés sur lesquels sont mesurés les segments qui constituent les produits (A/ et '(A). Nous pouvons ainsi déduire de ce qui précède que, si un polygone quelconque est inscrit dans une conique, le produit continu des sinus des cingles que chaque côté forme avec la tangente à son extrémité droite est égal au produit semblable des sinus des angles que chaque côté fait avec la tangente à son autre extrémité.