DIAMÈTRES
127. Etant donnés n points sur une droite, un point de cette droite, tel que la somme algébrique de ses distances à ces points soit nulle, s'appelle le centre des moyennes distances des points donnés. Soit y la distance du centre à un point quelconque pris sur la droite; soient j^o 72-, y^ • * • celles des autres points au point arbitraire, les distances du centre aux points donnés seront y — y^, y — /21 • • • et la condition qui résulte de la définition est
^(/ — y\)^^^ ou bien ny — 2(ji)=r=o.
Nous voyons ainsi que la distance d'un point quelconque
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DIAMÈTRES. l63
au centre est égale à la somme des distances du même point aux points donnés, divisée par le nombre de ces points; ou, en d'autres termes, qu'elle est égale à la moyenne distance du point choisi arbitrairement aux points donnés. Par exemple, s'il n'y a que deux points donnés, le centre des moyennes distances est le point milieu de la droite qui les joint, et la distance d'un point quelconque de la droite à ce point est la demi-somme de ses distances aux deux points donnés.
Les propriétés bien connues des diamètres des coniques ont été généralisées par Newton; il a énoncé cette généralisation sous la forme du théorème suivant, qui est vrai pour toutes les courbes algébriques : Etant donné un système de cordes parallèles dhuie courbe du n^^^^ degré, si Von prend le centre des moyennes distances des n points oii chacune des cordes rencontre la courbe, le lieu de ce centre est une ligne droite qui peut être appelée le diamètre correspondant au système donné de cordes parallèles.
Pour démontrer ce théorème, nous procéderons de la même manière que dans le cas des sections coniques (^Sections coniques, n^ 141).
Supposons que nous ayons rapporté l'équation de la courbe à un système de coordonnées polaires en remplaçant ^ et ^' par pcosQ et psinô(ou par mpel Jip, si les coordonnées sont obliques). L'origine sera le centre des moyennes distances relatif à une corde faisant l'angle 9 avec l'axe des ^, si cet angle est tel qu'il rende le coefficient de p"~' égal à zéro. Cherchons maintenant la condition pour qu'un autre point quelconque {x\ y) soit le centre des moyennes distances sur une corde parallèle à la précédente; nous aurons à examiner quelles relations il doit exister entre j:' et y' pour que, en rapportant l'équation à de nouveaux axes ayant ce point pour origine, le nouveau coefficient de p'^"^ soit nul pour la même valeur de 9. Or, si nous rapportons l'équation
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l64 CHAPITRE I Y.
donnée U = o à des axes parallèles en remplaçant x et y par x-\- x^ et y -\-y\ elle devient
dx "^ dy
^'^[^'d^^^'^yd^-^y'-dp)^-''=^
Les trois premiers termes seuls peuvent renfermer les variables à un degré aussi élevé que le ( n — lyème. comme ils ne contiennent x' ^ y' qu'au premier degré, le lieu cherché doit être une droite.
Son équation est effectivement
dur^ du,.
Il est bien entendu que ^ et jk ont été remplacés dans u,i et iin-\ par cos6 et sin9 (ou par m et n^ si les axes sont obliques).
128. Newton a remarqué aussi que, si une corde quelconque coupe la courbe et ses asymptotes, le même point sera le centre des moyennes distances pour les deux systèmes de points, et que par conséquent la somme algébrique des segments interceptés entre la courbe et ses asymptotes est égale à zéro. C'est une généralir atio i du théorème bien connu {Sections coniques, n^ 107). L'exactitude de cette proposition résulte de l'équation d'un diamètre formée dans le numéro précédent, et de la démonstration donnée antérieurement (n'' 52) que les termes Un-, Un-\ sont les mêmes dans l'équation de la courbe et dans celle de ses n asymptotes.
129. Nous pouvons de même chercher le lieu d'un point te] que la somme des produits deux à deux des segments mesurés suivant une direction donnée entre ce poiiit et la courbe soit nulle. L'origine serait un de ces points si le coef-
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DIAMÈTRES. l65
ficient de p'^"^ s'annulait pour la valeur donnée de 9; le lieu s'obtiendra comme dans le n^ 127, en cherchant la relation qui doit exister entre x^ et y pour que le coefficient de p"~^ soit nul dans l'équation transformée. Mais, comme les termes du degré [n — 2) en ^ et jk ne renferment pas de puissance supérieure à la seconde en x^ et y', le lieu sera une section conique, que nous appellerons la conique diamétrale. On voit facilement que son équation est
dxdy ^ df'
où l'on a remplacé x qI y par cos9 et sin9 dans W/?2, • • • • La distance d'un point quelconque à l'un des deux points de la conique étant jk, et à la courbe y^ , r^, . . . , nous avons par définition
^(7— Jl)(j— j2)--=0.
Le nombre des termes dans cette somme est égal au nombre des combinaisons de n objets deux à deux, et par suite à ^/^(/^ — i ). Ce sera donc le coefficient de jk^? quand nous effectuerons chacun de ces produits et quand nous ajouterons les résultats. Dans le même cas, le coefficient de y se composera de \n{^n — i) termes qui seront chacun de lo forme — [y ^ 4-JK2); et, comme il doit renfermer les n quantités y,,^ ro, . . . d'une manière symétrique, il doit être égal à -~(/i — 1)2(7-). Donc
Cette équation du second degré détermine les distances d'un point quelconque à la conique diamétrale quand on connaît ses distances à la courbe; |/^(/^ — i) fois le produit de ces deux distances est égal à Yxi^y^y^)^ ou, en d'autres termes, leproduitdes distances dUin point quelconque à la conique
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l66 CHAPITRE lY.
diamétrale est égal à la moyenne des produits deux à deux des distances de ce point à la courbe , puisqu'ily a^/^(A^ — i) produits de ce genre. La somme des distances du point à la
conique diamétrale est égale à — S(jk). La moyenne distance
est donc la même pour les deux courbes, puisqu'il y a deux distances dans un cas et n dans l'autre; et les deux courbes, ont le même diamètre.
130. On voit sans difficulté qu'une courbe du ai'^"^^ degré peut avoir d'autres diamètres curvilignes dont les degrés peuvent s'élever jusqu'au [n — i )'^'"®. Ainsi le lieu d'un point tel que les produits trois à trois de ses distances à la courbe soit nul s'obtiendra en égalant à zéro le coefficient de p'^"^ dans l'équation transformée; et comme ce coefficient ne contient pas de puissances des variables plus élevées que la troisième, le lieu sera du troisième degré. Nous verrions de la même manière que
^(/— Ji)(7— 72)(J— Js)
et nous en concluons facilement que la courbe et sa cubique diamétrale auront la même moyenne distance, le même moyen produit des distances deux à deux et trois à trois. Il en sera de même pour les diamètres d'ordre plus élevé. Les considérations que nous allons développer mettront mieux en lumière les questions qui se rattachent à ces diamètres curvilignes.
131. Après les notions que nous venons de donner sur les diamètres, nous devons dire quelques mots des centres. Si tous les termes de degré n — i manquaient dans l'équation d'une courbe, la somme algébrique de tous les rayons vecteurs issus de l'origine serait nulle, et l'on pourrait, dans un certain sens, dire que l'origine est un centre.
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PÔLES Eï POLAIRES. 167
Cependant le nom de centre ne s'applique ordinairement que dans le cas où chaque valeur du rayon vecteur est accompagnée d'une valeur égale et de signe contraire. Si, dans ce cas, l'équation est rapportée à des coordonnées polaires, elle devra être une fonction de p^ seulement. Si donc la courbe est de degré pair, son équation en x et y^ rapportée au centre, ne pourra contenir aucune impuissance impaire des variables, et devra être de la forme
i/o ~f- Ui 4- a.^ -h . . . =: o,
si la courbe est de degré impair, son équation polaire divisée par p devra être réductible à une fonction de p^; l'équation en x^ y ne pourra contenir aucune des puissances paires des variables et devra être de la forme
Cette forme nous montre que, si une courbe de degré impair a un centre, ce point doit être un point d'inflexion. Il est bien évident aussi que c'est seulement dans des cas exceptionnels qu'une courbe de degré supérieur au second aura un centre, puisqu'il n'est généralement pas possible, par une transformation de coordonnées, de faire disparaître de l'équation assez de termes pour la ramener à l'une ou l'autre des formes que nous venons de donner ci-dessus.
132. Nous passons maintenant à un théorème important, énoncé pour la première fois par Cotes dans son Harmonia meiisurarum : Si, sur chaque rayon vecteur issu â!un point fixe O, on prend un point R tel que
OK ~ ôr;"^ or; ~^ ôk;~^ "*'
le lieu du point R sera une ligne droite.
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l68 CHAPITRE IV.
Prenons O pour origine; Téquation qui détermine OPv, . . , est de la forme
A^T +(Bcos6 + Gsinô)--^
H-(Dcos2Ô4-Ecos6sinô + Fsin^Ô) — ^ -f- . . . = o,
d'où
n __ B cos6 -4- G sin6 Ôîl " Â ~~'
ou, en revenant aux coordonnées x et j)^,
B^ 4-G/-H 7zA=:o.
C'est Féquation trouvée (n^ 60) pour la droite polaire de 1 origine, et la propriété qu'on vient de démontrer est la gélîéralisation de la propriété harmonique bien connue des pôles et polaires des sections coniques [Sections coniques,
133. La proposition qui précède peut aussi s'établir sans prendre le point O comme origine, en suivant une méthode analogue à celle cju'on a employée (^S^c^z^o 725 coniques, n° 92). Nous avons vu (n° 63) que, deux points 0(^y^') etR(^j^) étant donnés, réc|uation A = o, ou
\n XJ/ j ln-1 j^^U' -^\V'-^ [a2 A^ U' 4- . . . = o,
détermine les rapports RR] : ORi des segments suivant lesquels la droite qui joint les deux points donnés est coupée par la courbe. Il résulte alors de la théorie des équations que AU^ = o exprime la condition pour que la somme des racines de l'équation A = o soit nulle ; ceci veut dire que AU^ ^= o est l'équation du lieu d'un point R tel que l'on ait
