o,nx—iri^^=.o d'où x^=.\{^n:ïi\] n'^ -^ Zm
si nxDus prenions le radical avec le signe négatif, nous obtenons la valeur de x qui correspond au point le plus élevé de l'ovale, et, comme elle est négative, nous voyons que ce point est situé dans la partie de l'ovale éloignée de la branche infinie etquel'ovale n'est pas, comme l'ellipse, symétriquepar rapport à deux axes. Il est bien symétrique par rapport à l'axe des x^ mais pas par rapport à l'axe desjK,' il s'élève plus rapidement d'un côté et s'incline en descendant plus doucement de l'autre. Plus n est grand pour une valeur donnée de m^ c'est-à-dire plus est grande relativement la distance entre l'ovale et la branche infinie, plus l'ovale se rapproche de la forme elliptique ; il en diffère au contraire le plus quand il s'approche jusqu'à toucher la branche infinie, c'est-à-dire quand la courbe est crunodale. Dans ce cas, le point le plus élevé de la boucle correspond au point de trisection de son axe. Si nous donnons au radical la valeur positive, la valeur correspondante de x est intermédiaire entre m et 72, et la valeur correspondante de r est imaginaire. La forme de Féquation montre que le point de contact de la droite à l'infini avec la courbe est situé sur la droite ^ = o ; c'est le contraire de ce qui a lieu pour la parabole commune, jk^=/^'^î qui est tangente à la droite de l'infini sur la droite j/ = o. Les branches infinies de la cubique tendent donc à devenir parallèles à l'axe desjK et non à l'axe des^; et il doit y avoir, à distance finie de chaque côté du diamètre, un point d'inflexion où la courbe, de concave qu'elle était, devient convexe vers l'axe des x\ c'est à cause de cela qu'on lui a donné le nom à^^ parabole divergente,
La forme de la courbe est donc celle que représentent l'ovale et la branche infinie tracée à droite dans la figure. Si
cependant, au lieu de — m^, nous avions -|- m^ dans l'équation, il n'y aurait pas d'ovale réel, mais seulement une branche infinie affectantla forme soit de la courbe située à gauche, soit de là courbe située à droite dans la figure. Ceci revient à dire
qu'il y aura ou qu'il n'y aura pas de points pour lesc[ue]s y est un maximum, et où la tangente est parallèle à l'axe des Xy suivant que Zm'^ est plus petit ou plus grand que n-. Le cas intermédiaire pour lequel Zm'^ =i n^ est celui où il y a de chaque côté de l'axe des x un point d'inflexion, dont la tangente est parallèle à cet axe.
Les figures des formes crunodale, acnodale et cuspidale ne semblent pas exiger une discussion plus approfondie que celle du n° 39.
200. Revenons au cas où la courbe a un ovale : il est évident qu'en général une droite quelconque doit rencontrer une figure fermée en un nombre pair de points réels et que, par conséquent, toute droite qui coupe une fois la partie ovale de la cubique doit encore la rencontrer une seconde fois, mais pas davantage; en effet, si une droite perce l'intérieur de l'ovale pour entrer, il faut qu'elle le perce à nouveau pour sortir, et nous savons qu'elle ne peut pas le rencontrer en quatre points : donc toute droite doit couper une fois la branche infinie de la courbe . Il en résulte qu'aucune tangen te à la courbe ne peut rencontrer l'ovale à nouveau et que, par conséquent, il ne peut exister aucun point d'inflexion sur l'ovale.
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11 est facile de voir, à un simple examen de la figure, que d'un point extérieur à Fovale on peut lui mener deux tangentes.
Ainsi l'ovale est donc formé par une série continue de points, tels que d'aucun d'eux on ne peut mener à la courbe aucune autre tangente réelle distincte de la tangente au point considéré. La cubique, qui renferme un ovale, est donc de la classe de celles (n^ 167) dont les quatre tangentes menées d'un point quelconque sont toutes réelles ou toutes imaginaires. Pour tout point de l'ovale, elles sont toutes imaginaires, et pour tout point de la branche infinie elles sont toutes réelles; on peut en effet en mener deux à l'ovale et deux à la branche infinie elle-même; car la tangente en un point de la branche infinie doit rencontrer de nouveau cette branche, puisque le troisième point où elle rencontre la courbe ne peut se trouver sur l'ovale.
201. Ce que nous venons de dire peut être mis à profit pour faire comprendre la propriété essentielle des courbes unicursales (n^ 44). Les coordonnées d'un point quelconque d'une courbe de ce genre peuvent s'exprimer rationnellement en fonction d'un paramètre, de telle manière qu'en donnant à ce paramètre des valeurs qui croissent d'une manière continue depuis l'infini négatif jusqu'à l'infini positif, nous obtenions tous les points de la courbe; ces points formeront une série continue, puisque les coordonnées sont toujours réelles. Dans l'exemple actuel, au contraire, il est géométriquement évident que, si nous partons d'un point quelconque de l'ovale et si nous procédons de proche en proche, nous reviendrons au point d'où nous sommes partis, sans passer par aucun point de la branche infinie, et il est algébriquement impossible d'exprimer les coordonnées d'un point quelconque, en fonction d'un paramètre, sans introduire un radical dans les expressions de ces coordonnées. Par exemple, nous
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24o CHAPITRE V.
pourrions prendre ^ =: i , ^ = Q , j^r=:y/(a9^ + 3 ^ 9- -|- ^c (i + 6/) . D'après cela, nous dirons que la courbe que nous avons éliidiée est une courbe bipartite, parce qu'elle se compose de deux séries continues de points bien distinctes.
Une courbe de la seconde espèce comme celle qu'on a considérée (n° 196) n'a pas d'ovale et est unipartite : tous les points réels de la courbe forment une seule série continue; mais il ne s'ensuit pas que la courbe soit unicursale. En effet, les coordonnées d'un point quelconque ne peuvent pas s'exprimer rationnellement en fonction d'un paramètre, et une courbe unipartite n'est pas nécessairement unicursale, pas plus qu'une équation qui n'a qu'une racine réelle n'est nécessairement une équation simple. Une cubique crunodale ou à boucle est au contraire unicursale et unipartite : tous ses points se succèdent les uns aux autres dans un ordre déterminé et forment une suite unique. Cependant cette courbe peut être regardée comme composée d'une boucle et d'une branche infinie, formée de deux parties séparées par la boucle. Le raisonnement dont nous avons fait usage au n"" 200 montre qu'il ne peut y avoir aucun point d'inflexion sur la boucle et qu'aucune tangente ne peut la couper. Cette boucle se compose donc d'une série de points par lesquels on ne peut pas mener de tangente réelle à la courbe (autre que la tangente au point considéré), tandis que de tout autre point de la courbe on peut mener deux tangentes, l'une à la boucle, l'autre à la branche infinie. De même aussi une cubique acnodale et une cubique cuspidale sont chacune unicursale et unipartite.
202. Après avoir ainsi divisé les cubiques en cinq genres, nous allons les subdiviser en espèces, suivant la nature de leurs branches infinies. Nous aurons évidemment au moins quatre espèces dans chaque genre, suivant que la droite à Finfini rencontrera la courbe (a) en trois points réels et
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distincts, (6) en un point réel et deux points imaginaires, (c) en un point réel et deux points coïncidents, [d) en trois points coïncidents. Dans le cas des cubiques crunodales, acnodales ou cuspidales, nous aurons à distinguer dans la troisième espèce (c) si la droite de l'infini est à proprement parier une tangente ou bien si elle passe par un point double ; et, quand il s'agira des cubiques crunodales et cuspidales, nous devrons aussi, dans le cas (<i), distinguer si la droite de l'infini est tangente en un point d'inflexion, ou au point double, ou au point de rebroussement. Enfin dans le cas d'une cubique bipartite ou crunodale, il estimportant de distinguer dans les cas (a) et (c) si les trois points où la droite de l'infini rencontre la courbe appartiennent tous à la branche infinie, ou bien si d'eux d'entre eux sont sur l'ovale ou sur la boucle, et le troisième sur la branche infinie. Les difierences qui résultent de là pour les figures de la courbe sont si grandes que les deux cas peuvent être classés comme deux espèces distinctes. Voilà les seules distinctions que nous ferons dans ce qui suit et qui formeront les bases de la classification des espèces. Les seules autres diff'érences qui sembleraient avoir des droits à être mises sur le même rang sont celles qui résultent de ce que les points à l'infini de la courbe peuvent être des points ordinaires, ou que un ou trois d'entre eux peuvent être des points d'inflexion. Mais, comme les changements que cela apporte dans la configuration des courbes sont peu importants, et qu'il est désirable de n'avoir pas plus d'espèces qu'on ne peut facilement se rappeler, j'ai préféré classer les courbes en tenant compte des différences mentionnées en dernier lieu, pour en faire, non pas des espèces différentes, mais des variétés différentes d'une même espèce. Il y a évidemment beaucoup d'arbitraire dans la manière de compter les variétés des cubiques, et le tout dépend du point de vue auquel on se place pour discuter ces courbes.
S. — Courbes planes» i6
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203. On a déjà étudié les figures de la courbe dans le cas où la^ droite de l'infini est une tangente stationnaire^ et la configuration de la courbe pour un autre cas quelconcjue peut être regardée comme la projection d'une des figures étudiées dans le premier cas. Commençons parles cubiques bipartites et considérons d'abord la projection de l'ovale. On compTcndra aisément que, si la droite projetée à l'infini ne rencontre pas l'ovale, la projection de cette courbe restera une courbe fermée; tandis que, si cette droite est tangente à l'ovale ou la rencontre en deux points réels, la projection présentera le même degré de ressemblance avec la parabole ou l'hyperbole que l'ovale lui-même avec l'ellipse; c'est-à-dire que, si les figures n'ont pas la symétrie des sections coniques, la projection dans l'avant-dernier cas est, comme la parabole, une courbe unique dont les branches s'en vont à l'infini suivant une direction commune, mais sans approcher d'une asymptote finie jusqu'à lui devenir tangente; dans le dernier cas, là courbe se compose d'un couple de courbes ayant deux asymptotes communes et situées dans chacun des angles opposés par le sommet que forment ces droites. Nous les nommerons par abréviation un couple hyperbolique de courbes. Remarquons que, pour une asymptote ordinaire d'une courbe, il y a une branche positive et une négative, situées chacune de part et d'autre de cette droite. La théorie de la projection nous enseigne qu'il faut regarder les extrémités d'une ligne à l'infini positif et négatif comme les proiections du même point; elle nous conduit de même à considérer les branches d'une courbe tangentes à une asymptote à l'infini positif et à l'infini négatif comme la continuation l'une de rautre. Ainsi, l'ovale étant une courbe fermée, ses points forment une série continue telle, qu'en partant d'un point et en continuant à nous avancer de proche en proche le long de la courbe, nous reviendrons au point de départ : il en est de même pour toutes ses projections, et les doubles branches
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hyperboliques doivent être regardées comme formant une courbe continue; la partie où une branche est tangente aune asymptote à son extrémité positive constitue la continuation de la partie où l'autre branche est tangente à la même asymptote à son extrémité négative.
204. Considérons à présent la projection de la portion infinie de la courbe (n^ 198) qui doit être rencontrée par une droite quelconque en un ou en trois points réels. Supposons, en premier lieu, que la droite projetée à l'infini ne rencontre la courbe qu'en un seul point; les branches de cette courbe projetée, au lieu de se développer indéfiniment, se rapprocheront jusqu'à devenir tangentes à une asymptote finie, comme
Fig. 3i.
le représente la partie de gauche de la figure. La courbe que, pour abréger, nous désignerons dans la suite sous le nom de serpentine doit évidemment avoir trois points d'inflexion. En effet, elle est convexe vers l'asymptote à son infini positif (puisque toute courbe est convexe vers sa tangente de chaque côté du point de contact); elle doit changer sa convexité en concavité pour couper une seconde fois l'asymptote; après l'avoir coupée, elle doit se replier à nouveau, car autrement elle s'éloignerait d'une manière continue de l'asymptote; enfin elle doit encore une fois s'infléchir pour devenir convexe vers l'asymptote à son infini négatif. Les points de la courbe représentée dans la figure forment une série continue; en
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2/^.^t CHAPITRE V.
effet, d'après ce cju'oii a dit dans le numéro précédent, les branches de la courbe, C|ui sont tangentes à l'asymptote à ses extrémités opposées, doivent être regardées comme la continuation l'une de l'autre.
Dans ce qui précède, nous avons supposé que le point à l'infini sur la serpentine est un point ordinaire de la courbe. Si cependant c'est un point d'inflexion, la différence consistera en ce cjue les branches infinies, positive et négative, au lieu de se trouver, comme d'habitude, de part et d'autre de l'asymptote, seront d'un même côté de cette droite, comme dans la courbe de droite de la figure. Il est évident que la courbe n'a alors que deux points d'inflexion à distance finie. Nous dirions que la courbe a la forme d'une conchoïde.
20o. Supposons maintenant que la droite projetée à i 'infini rencontre labranclie infinie en trois points ordinaires. On verra qu^elle divisera toujours la courbe en trois parties, dont l'une n'a pas de points d'inflexion, l'autre en a un et la
Fig. 32.
troisième deux. La projection se composera de trois branches infinies : l'une, que nous appellerons une hyperbole simple, n'a pas de points d'inflexion et ne coupe pas ses asymptotes;
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la seconde, que nous appellerons une hyperbole infléchie, rencontre une asymptote et par conséquent a un point d'inflexion; et la dernière, que nous appellerons une hyperbole doublement infléchie, coupe ses deux asymptotes et présente par conséquent deux points d^infïexion (^). Aucune de ces hyperboles, considérées deux à deux, ne forme de couple hyperbolique, mais, prises toutes les trois ensemble, elles constituent une suite continue. Ainsi, dans la fig. 3'^, si nous commençons par la branche descendante de l'hyperbole doublement infléchie, la courbe, après son passage par l'infini négatif sur l'asymptote verticale, est continuée à partir de l'infini positif de la même asymptote par la branche verticale de l'hyperbole infléchie jusqu'à ce que, après être passée à l'infini sur l'autre asymptote, elle revienne le long de l'hyperbole simple, puis de là à l'hyperbole doublement infléchie.
Si l'un des p.oints à l'infini est un point d'inflexion, l'hyperbole à une inflexion devient une hyperbole simple, ou bien la branche doublement infléchie devient hyperbole aune seule inflexion. Si les inflexions sont toutes les trois à l'infini, la courbe se compose de trois hyperboles simples.
Les cubiques qui ont trois branches hyperboliques ont été appelées par Newton hyperboles redondantes, parce qu'elles possèdent une branche infinie de plus que les sections coniques; celles qui n'ont qu'une seule branche infinie, comme dans le numéro précédent, ont reçu le nom à^ hyperboles défectives; et celles qui sont tangentes à la droite de l'infini et ([ui ont en outre une asymptote à distance finie, sont nommées hyperboles paraboliques.
206. Nous énumérons maintenant les espèces suivantes de cubiques bipartites :
( ' ) Newton les nomme : la première, hyperbole inscrite, la troisième liyperhole circonscrite, et la seconde hyperbole ambigène.
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i^ La droite projetée à l'infini rencontre Tovale deux fois et Taiitre partie de la courbe une seule fois. Si ce dernier point de rencontre est (a) un point ordinaire, la courbe se
rig. 33.
compose d'une serpentine et d'un couple hyperbolique, comme l'indique la fig, 33. Si ce point est (6) un point d'inflexion, la seule difTérence consiste en ce que la serpentine se change en une courbe à forme conchoïdale.
2^ La droite de l'infini rencontre la courbe en trois points réels, dont aucun n'appartient à l'ovale. Si les points sont (a) tous trois des points ordinaires, la figure est celle du n° 205. Si l'un des points est un point d'inflexion, la courbe se compose, ou bien (6) d'un ovale avec deux hyperboles simples et une hyperbole doublement infléchie, ou bien (c) d'un ovale avec une hyperbole simple et deux autres hyperboles présentant une seule inflexion. Si i^d) les trois points d'inflexion sont à l'infini, la courbe consiste en un ovale et en trois hyperboles simples. Dans tous ces cas, l'ovale se trouve en dedans du triangle formé par les asymptotes, et les courbes peuvent encore être distinguées les unes des autres suivant que les hyperboles se trouvent dans les angles qui contiennent le triangle asymptotique ou, comme dans la figure, dans lei angles opposés par le sommet.
Z"" La droite de l'infini rencontre la courbe en deux points
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COURBES BU TROIS lilHE ORDÎÎE. aZjy
imaginaires et nous avons ain ovale (a) avec une sej-pcrili::ej OU (6) avec une branche ;conchoïdale(i;o/r n^ 2.Gi).
Fig. 34.
4^ La droite de l'infini est tangente à l'ovale qui prend la forme parabolique et est accompagné (a) d'une serpentine, [b) d'une branche conchoïdale.
5° La ligne de l'infini est tangente à l'autre partie de la courbe. L'ovale reste alors une figure fermée, tandis que l'autre
Fi g. ^b.
partie se développe suivant la forme parabolique. Si (a) le point restant est un point ordinaire à l'infini, une branche coupe l'asymptote et a deux inflexions, tandis que lîautre branche n'en a qu'une. Si (6), au contraire, c'est un point d'inflexion, les branches sont toutes deux du même côté de l'asjmptote et chacune d'elles n'a qu'un point d'inflexion.
6^ La droite de l'infini rencontre la courbe en trois points qui coïncident. C'est le cas que nous avons indiqué (n® fÉ
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248 CHAPÏTIIE V.
207. Nous arrivons mainteDant à la division des cubiques unipartites non singulières ; il est clair que nous ne trouverons ici rien qui corresponde auxespèces (i°) et (4°) du numéro précédent. Nous n'avons donc que quatre espèces de ces cubiques unipartites; ce sont des hyperboles redondantes, des hyperboles défectives, des hyperboles paraboliques et des [)araboles divergentes, suivant que les points de la courbe sur la droite de l'infini sont tous réels et distincts, que deux sont
Fig. 3(3.
Imaginaires, que deux sont coïncidents ou enfin que tous les trois points se confondent. On peut aussi tenir compte des variétés de chacune d'elles, comme dans le numéro précédent, elles figures de ce numéro serviront pour le cas actuel, en laissant toutefois l'ovale de côté : comme exemple nous donnons la figure de la courbe pour le cas où la satellite coupe les côtés du triangle asvmptotique et où deux centres critiques (n*^ 192) sont dans l'intérieur du triangle. Nous avons alors une portion de l'hyperbole doublement infléchie qui se trouve à l'intérieur de c€ triangle, et qui présente la forme d'une bourse ; on conçoit aisément que, en faisant varier la valeur de
la constante, la bourse paisse se fermer; nous avons alors un point double en un des centres critiques; d'autres changements dans la valeur de cette constante nous donneraient un ovale séparé, dégénérant finalement en un point conjugué situé sur l'autre centre critique.
De la même manière, nous avons les quatre mêmes espèces de cubiques acnodales auxquelles il faut adjoindre une cinquième forme pour laquelle le point conjugué est à l'infini. Les figures données pour le cas des cubiques bipartites suffisent pour représenter cette classe, si nous supposons que l'ovale dégénère en un point conjugué. Celles qui correspondent au cas où le point conjugué est à l'infini ne diffèrent pas notablement de celles où la droite de l'infini rencontre la courbe en un point réel et en deux points imaginaires.
208. Les cubiques crunodales nous donnent les espèces suivantes.
1^ La droite de l'infini coupe la boucle en deux points réels. Nous avons alors deux hyperboles simples et une hyperbole infléchie (figure gauche). On remarquera, en suivant la
Fig. 3;.
courbe dans ses passages à l'infini, qu'elle est unicursale. Cette espèce donne naissance à deux variétés selon que le point qui reste est un point ordinaire ou un point d'inflexion.
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25o CHAPITRE V.
Dans le dernier cas, toutes les hyperboles sont simples.
2*^ Il y a trois points réels à rinfini, et aucun d'eux n'est situé sur la boucle. La courbe se compose d^une hyperbole inscrite, d'une hyperbole mixte et d'une hyperbole circonscrite ; cette dernière forme une boucle àl'intérieur du triangle asymptotique. On distingue deux variétés suivant qu'il y a un point d'inflexion à Finfini, ou qu'il n'en existe pas.
3" La droite de l'infini rencontre la courbe en deux points imaginaires. Deux variétés comme plus haut.
Fig. 38.
4° La droite de l'infini est tangente à la boucle et 5" cette droite est tangente à la partie de la courbe qui s'étend vers
Fig. 39
rinfini. Les figures se comprennent d'elles-mêmes ; comme dans le cas précédent, il existe encore ici deux variétés : la
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COUR RE s DU TROISIÈME ORDRE. 25 T
courbe est située tout entière d'un même côté de l'asymptote quand il y a un point d'inflexion à Finfîni.
11 existe un point double à l'infini et par conséquent deux asymptotes parallèles; le point restant à l'infini peut être
Fis, 40.
6'' sur la partie qui s'étend à l'infini, ou y^ sur la boucle. Dans le premier cas, le point d'inflexion est en dehors des asymptotes parallèles; dans le dernier, il est à leur intérieur. S'il se trouvait aussi un point d'inflexion à l'infini, les deux branches, dans le premier cas, seraient situées d'un même côté de l'asymptote.
8° La droite de l'infini est tangente à la courbe en un point d'inflexion et nous avons la parabole divergente du n^ 199.
Fis. 4i.
9*^ La droite de Pînfini est tangente à la courbe en un point double^ nous avons alors la courbe représentée ci-dessus, et appelée le trident.
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252 CnAPITRE V.
209. Pour les cubiques cuspidales, il n'y a évidemment pas d'espèces qui correspondent à celles qu'on a classées sous les numéros 1°, 4"? 7° dans l'article précédent. Les espèces sont alors définies comme il suit : i- trois points réels à l'infini, deux variétés; 2° un point réel et deux points imaginaires à rinfini, deux variétés; 3^ la droite de l'infini est une tangente ordinaire, deux variétés; 4' le point de rebroussement est à l'infini, deux variétés, 5' la droite de l'infini est une tangente stationnaire ; 6" la droite de l'infini est une tangente cuspidale. Les figures qui répondent aux cas i*^, 2^, 3 * peuvent se concevoir aisément au moyen des figures du numéro précédent, en supposant qu'on a enlevé la boucle qui est pointillée dans ces figures, et qu'on a remplacé le point double par un point de rebroussement. La figure qui correspond au cas (4") se déduit de la figure de gauche (n"208) pour le cas de deux asymptotes parallèles, en imaginant que ces asymptotes se soient réunies et que la branche qu'elles renferment soit supprimée. Nous avons alors une seule asymptote avec deux branches infinies situées de chaque côté de cette droite, mais à la même extrémité. La figure pour le
Fis. h.
cas {S'')y qui est la parabole semicubique my-=^x^, a été donnée (n^ 39). Enfin la figure relative au cas (6''), la parabole cubique m-} =:^^, est représentée ci-dessus.
210. Quoique nous ayons compté environ trente espèces de cubiques, il n'est pas difficile de se rappeler la classification, si l'on se grave bien dans l'esprit qu'on n'a fait que combiner la quintuple division du n^ 196 avec celle du n^ 202
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relative à ]a nature des points à l'infini. Il reste à dire quelques mots des classifications antérieures des cubiques. La première est due à l^e\ylon ^ Enumeratio linearwn tertii ordinis; elle est en substance la même que celle que nous venons de donner; remarquons toutefois que les courbes que nous avons comptées comme variétés sont pour lui des espèces distinctes-, de même aussi, quand une branche hyperbolique est tangente àdeux asymptotes, nous ne recherchons pas, parmi les angles opposés par le sommet qu'elles forment, quel est celui où est située la branche, tandis que Newton distingue les cas où cette branche se trouve dans l'angle coupé par la troisième asymptote ou dans l'angle opposé. Les cas où trois asymptotes se rencontrent en un point sont traités comme des espèces différentes. En ayant égard à ces distinctions, le nombre des espèces monte à soixante-dix-huit. Nous avons pris la division quintuple comme caractère distinctif primordial, et celle qui dépend des branches infinies ne vient pour nous qu'en second lieu; Newton a adopté Vu marche inverse.
Voici comment Newton procède pour réduire l'équatioo générale : un des axes étant choisi parallèle à l'asymptote réelle, le coefficient de j^^ s'annule par exemple, et l'équation de la courbe est de la forme
j'2(a^ + h)^y{^fx'- -\- gx -^ h)-\- px^ -i- qx^- ^ rx -^ s -=10,
Le lieu des points milieux de cordes parallèles à l'asymptote est évidemment
2 aœy + 2 by 4-/^^ + g oc 4-/1 = 0,
et, si nous supposons que nous ayons fait une transformation de coordonnées, par suite de laquelle les axes deviennent \eii asymptotes de cette hyperbole, les termes è, /, g s'annuleront évidemment, et l'on voit que cette même transforma-
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Lion ramènera l'équation de la cubique à la forme
œy^ H- h y ■=ipx^ -\- gx^- -\- rx -\- s ou bien, en prenant les notations de Newton,
xy'^ H- e j = ax^ H- bx^ -{- ex -h d.
Cette équation est, pour Newton, la forme la plus générale. Si cependant, dans l'équation écrite comme nous l'avons fait, a et b s'annulent, le lieu n'est pas une lij^perbole, mais une ligne droite; et, selon que ce sera (i*^) la droite ^ = o, (•2°) une droite arbitraire qu'on peut prendre pour jk := o ou (S"") la droite de l'infini, l'équation de la cubique peut se mettre d'une manière analogue sous les formes
xy z=z ax^ -}-- bx^ -h ex -\- cl, y^ :=: ax^ -^ bx^ -i~ ex -^ d,
y :=! ax^ -\- bx^ -\- çx -]- d.
Le seul cas qui soit différent en apparence est celui où, dans l'équation que nous avons écrite, la quantité a est nulle ; l'équation est une parabole; mais, dans ce cas, il existe une autre asymptote réelle; le lieu des points milieux des cordes qui lui sont parallèles est une hyperbole et la réduction s'opère, comme dans le premier cas, à cette exception près que le coefficient de x^ s'annule dans l'équation transformée. Les résultats de Newton se déduisent de la discussion de ces quatre formes. Siy^= ^{^) est l'équation d'une courbe quelconque. Newton appelle la courbe xy = ^(^) nn hyperbollsme de cette courbe. Ainsi il appelle des cubiques qui ont un point double à l'infini et dont l'équation peut par conséquent se mettre sous la forme
xy'^ + ey ■=. ex -v- d
les hyperbo Usines de l'ellipse, de l'iiyperbole ou de la parabole, puisque l'équation qu'on vient d'écrire devient celle d'une conique quand on remplace xy par y.
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2'H. Nous avons déjà parlé de la discussion des cubiques faite par Pliicker dans son System der Analytischen Géométrie, Dans cette discussion, ]a nature des points à l'infini est le fondement primordial de la classification. Si l'on commence par le cas de trois asymptotes réelles, où l'équation est de la forme xyz'^=- ku^ i^, on distingue d'abord les cas où les asymptotes se rencontrent en un point, ou forment un triangle. On examine ensuite toutes les positions possibles de la droite satellite v; on cherche, par exemple^ si elle coupe le triangle, si elle passe par un sommet ou rencontre tous les côtés prolongés, si deux centres critiques coïncident (n° 192) et ainsi de suite. On dit que toutes les courbes qui peuvent être représentées par l'équation ci-dessus pour une position donnée des droites x^ y^ z, ç forment un groupe^ et, en donnant toutes les valeurs possibles à A", on
Fig. 43.
distingue les différentes espèces renfermées dans le même groupe. On comprendra plus facilement ces considérations
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en examinant la figure du premier groupe de Plucker; nous îa reproduisons ici : elle répond au cas où la droite satellite rencontre les côtés prolongés du triangle asymptoticjue et où nous avons trois centres critiques, un en dedans e* deux en dehors du triangle, l^di fig. i représente une courbe bipartite de fespèce désignée par I.2 dans le présent Volume. k changeant de valeur, Tovale se réduit à un point et nous avons (2) la courbe acnodale III. 1. Quand k continue à varier, la courbe devient unipartite II. i, et les branches s'écartent davantage de leurs asymptotes. Dans (4) les branches coupent les autres asymptotes et la courbe devient crunodale IV. 2. La j^^-. 5 est bipartite I.i. La /Zg\ 6 est, dans notre classification, de la même espèce que 5, 7 que 4 et 8 que 3, mais la position des branches par rapport au triangle asjmpto tique est difi^érente. La division en groupes de Plucker a été soigneusement examinée à nouveau ( Transactions of the Cambridge Philosophicat Society, 1864) par M. Gayley, qui a fait la comparaison des espèces de JNewton avec celles de Plucker; ces dernières sont au nombre de deux cent dix-neuf. Il n'entre pas dans le plan de ce Traité de donner une analyse plus complète de cette classification. Il nous suffira de signaler, pour le cas des courbes paraboliques, le rôle important que joue la parabole asymptotique osculatrice, ou parabole qui passe par cinq points consécutifs de la courbe, au point où cette dernière est tangente à la droite de l'infini. L'équation de la courbe peut se mettre sous la forme
il est évident que la parabole y- -\-izx-\- z^ rencontre la courbe au point yz compté cinq fois. Les groupes se trouvent ainsi déterminés par la position de la parabole osculatrice, par rapporta l'asymptote linéaire ^ et à la droite satellite a y -\- hz.
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Section IV. ~ Courbes unicursales.
212. Nous avons vu [Sections coniques , n° 270) que les calculs se trouvent singulièrement facilités quand les coordonnées d'un point d'une courbe peuvent s'exprimer en fonction d'un seul paramètre, et nous avons démontré (n° 44) que ceci est toujours possible dans le cas d'une courbe unicursale. Nous allons donner quelques exemples de l'application de ce principe aux cubiques. L'équation d'une cubique cuspidale peut toujours se ramener à la forme x'^Z^=^y^\ xy est le point de rebroussement, oc la tangente cuspidale et z la tangente stationnaire. Un point quelconque de la courbe peut donc s'exprimer comme intersection de 9^=j^, Q-j/ = ^(\), ou, en d'autres termes, les coordonnées d'un point quelconque peuvent être prises dans le rapport de i, 9, 9^; 9 étant un paramètre variable. La droite qui joint deux points quelconques de la courbe aura pour équation
comme on peut le vérifier facilement.
Faisons coïncider 6 et 9', et nous avons l'équation de la
tangente
Supposons que nous cherchions les points où une droite ax -\- by -\-- cz =:^ o rencontre la courbe ; remplaçons x^y^z par I, 9, 9% et nous avons l'équation a -H 69 -f- c9^ = o ;
(*) Ces équations, considérées comme exprimées en coordonnées tangentielles, donnent ce théorème : Si I est un point d'inflexion, G un rebroussement, et T l'intersection des tangentes en ces points, une tangente quel-
