A. TB

conque AB coupe les cotés du triangle ICT de manière que ~ — = k —

et, quand la droite de l'infini est une tangente^ k ^ i. (Voir Sections co niques, n*' 327).

S. — Courbes planes, i-^

Hosted by

comme cette équation en 9 n'a pas de second terme, la somme de ses racines est nulle, et nous voyons ainsi que les paramètres de trois points en ligne droite sont liés par la relation 9 4- 9^ -j- 9'^ = o. Donc, en particulier, le tangentiel du point 9 est — 2 9, et le point de contact de la tangente menée par 9 est — ^9.

Si nous remplaçons de même x^ y, z par 1, 9, 9^ dans l'équation d'une courbe d'ordre />, le terme ^'^P~^ manquera dans l'équation, et la relation qui lie les paramètres des 3/> points d'intersection de la courbe avec la cubique consiste en ce que leur somme est nulle. Ainsi le 9 du résiduel d'un système de points est la somme des 9 de ces points prise négativement, et celui de leur corésiduel est la somme même de ces 9; et, en général, les théorèmes relatifs à la résiduation (n"^ 158 et suiv.) deviennent ainsi intuitivement évidents pour les cubiques cuspidales. Si, par exemple, nous représentons les paramètres des points par a, 6,..., la condition pour que six points soient situés sur une conique est

Cette relation nous fournit immédiatement ce théorème (n'' 154) : Étant donnés quatre points sur une cubique, la droite qui joint les points e^foit une conique menée par ces points rencontre de nouveau la courbe, passe par le point fixe (a + 6 + c + rf); on peut construire ce point en traçant aft, cd et joignant les points où ces droites coupent à nouveau la courbe, puisque

On obtiendra de la même manière diverses méthodes pour construire le neuvième point où une cubique passant par huit points rencontre de nouveau la courbe, à la seule inspection de l'équation

Hosted by

COLÎIBES DU TROISIÈiaE ORDRE. 2D9

213. On trouvera les paramètres des points dont les tangentes passent par un point donné en portant les coordonnées de ce point dans l'équation ^9^r — 3 9^^^ 4- ^ =: o; <yt, comme le coefficient de 9 est nul dans la cubique résultante, la somme des inverses des racines est nulle ou, en 'autres termes, trois points dont les tangentes se rencontrent

en un même point sont liés par la relation --[-+ — z=r o.

De même on sai t que la condi tion pour que 2 9 ^^ — 3 9 '^ j' -f- :6 = o soit tangente à une courbe de la p^^^^ classe est une relation du p'^"^^ ordre entre les coefficients ^9^, 39^, i ; or une relation de ce genre ne contient évidemment pas le terme 9 : il en résulte donc que les 3/? points, où les tangentes sont tangentes à une courbe de la ^'®"^<^ classe, sont liés

par la relation \ ( -- J = o. Voici quelques exercices qui montrent comment on applique cette méthode à des exemples.

Exercice 1. — Troiwe?^ le lieu de V intersection des tangentes dont la corde de contact passe par un point fixe d^ une cubique cuspidale. Ceci revient à éliminer a et j3 entre les trois équations

2 "jfix — 3 'Jp-y -+- z = o, 2 |j'5 ^ — 3 [j^f -4- xî — o, a -h p + y = o?

clans lesquelles y est connu. Nous trouvons aisément

équation d'une conique.

Exercice 2. — Si un polygone d'un nombre pair de côtés est in^ scrit dans une cubique et si tous les côtés, sauf un, passent par des points fixes situés sur la courbe, le dernier côté passera aussi par un ponit fixe de la courbe.

Représentons les paramètres des sommets par «i, a^^ . . ., et ceux des points fixes par bi, b^, . . . . Nous prenons, pour plus de simplicité, le cas du quadrilatère, mais la démonstration est générale. Nous avons alors les équations

-h ai

rrz: 0,

<^4 -h bf, H- ai

Hosted by

En les ajoutant membre à membre, nous obtenons

b -\ bs ~ b^-^ bi,.;

cette relation montre que les droites qui joignent b^, b^ ; b^^ bi^ se rencontrent sur la courbe et que, quand trois des points sont connus, le quatrième est aussi connu. Le théorème est vrai pour toutes cubiques, car la démonstration donnée ici peut se traduire aisément dans le langage de la résiduation; on voit que les couples de points èi, bz\ ^2j ^4 sont corésiduels, et que le système de sommets ai, a^^ «3, «4 leur est un résiduel commun.

Il résulte, comme cas particulier de ce théorème, que si les côtés d'un polygone d'un nombre impair de côtés passent par des points fixes de la courbe, la tangente en un sommet quelconque passe aussi par un point fixe; et, par conséquent, le problème qui consiste à construire un polygone de cette nature dont les côtés passent par des points fixes d'une cubique non singulière admet quatre solutions.

Exercice 3. — Trouver la quasi-développée, en supposant que les deux points fixes soient sur la courbe. (Voir aussi Ex. S, n° 99). L'équation de la quasi-normale est (n° 107)

(p + pô — 262) [ ea(e-i-a)^— (02-+-0a+a2)7 + ^]

Si nous la transformons en posant 6 = *y ' nous obtenons, con-

formément au n"* 108, une équation biquadratique en X, dans laquelle les deux termes extrêmes ne diffèrent que par un facteur constant, et le discriminant, qui renferme comme facteurs les équations des tangentes en a et p, représentera par sa partie restante une courbe du quatrième degré seulement.

214. Il nous reste à faire connaître quelques-uns des exemples les plus remarquables de cubiques de la troisième classe. Hpus avons déjà parlé de Isl parabole semi-cubique qui est la développée de la parabole du second degré. Dans son équation py'^z^x^, le point de rebroussement est à l'origine et le point d'inflexion à l'infini. Dans la parabole cubique^ au contraire, p'^y = x^ le point d'inflexion est à

Hosted by

COUllBES DU TROISIÈME ORDRE. 2G1

Torigine et le rebroiissement à l'infini. Dans la parabole cubique, l'origine est un centre et tous les diamètres de la courbe coïncident avec l'axe des^^; en effet, si nous menons une droite quelconque y = mx + tz, la somme des valeurs de X est égale à zéro.

La cissoïde de Diodes fait partie de la classe des cubiques cuspidales ; cette courbe a été imaginée par le géomètre de ce nom pour résoudre le problème qui consiste à trouver

Fig. fi\.

deux moyennes proportionnelles. On peut la définir comme le lieu d'un point M', où le rayon vecteur du cercle AM est coupé par une ordonnée telle que AP^ = PB. Nous aurons ainsi

AM' r= RM et par suite

p =: AR — AM == 2r séc to — - 2r costo=i= 2r tangto sinw,

ou, en coordonnées rectangulaires,

^ ( ^2 | ^^.2 ^ __ 2 j^yî^ Q^i ( 2 /• — œ) y^ ■= x^\

L'origine est donc un point de rebroussement et ir — x une asymptote qui rencontre la courbe en un point d'inflexion situé à une distance infinie.

Newton a donné la construction élégante qui suit pour

Hosted by

décrire celte courbe d'un mouvement continu. Un angle droit a le côté GF de longueur constante ; le point F se meut le long de la droite fixe Cl, tandis que le côté GH passe par le

Fiff. 45.

point fixe E; un crayon fi^é au milieu de GF décrira la cissoïde. Nous laissons au lecteur le soin de démontrer cette proposition. (Lardneb, Géométrie algébiHque^^, 196-472.) La cissoïde est aussi le lieu que nous trouverions en prenant sur chacun des rayons vecteurs menés du sommet d'une parabole une longueur égale à l'inverse de celle du rayon vecteur. Par conséquent, c'est aussi le lieu du pied d'une perpendiculaire abaissée du sommet d'une parabole sur la tangente; ou, en d'autres termes, si une parabole roule sur une autre parabole égale, le lieu du sommet de la parabole mobile sera la cissoïde.

215. Nous pouvons de la même manière exprimer en fonction d'un seul paramètre les coordonnées d'un point quelconque d'une cubique crunodale ou acnodale. Le point double étant pris pour origine, l'équation de la courbe est le la forme

ax''^ H- ?>bx- y -^ ?tcxy- -h cly^ 4- 3/^^ -\- 6 gxy -+- 3 hy'^ =1 o ;

et, si nous posons^ = 9^, nous avons immédiatement pour X et y des expressions rationnelles en fonction de 9. La discussion sera toutefois plus simple si nous supposons l'équation transformée, comme cela se peut toujours, de manière

Hosted by

c|ii'elle ait la forme (^z:- ±y^) z = x^. Ici ^ est la tangente au point réel d'inflexion que la courbe doit avoir ; x est la droite qui joint le point d'inflexion au point double et^- =tjKsont les tangentes au point double; le signe supérieur se rapporte au cas de la cubique acnodale, le signe inférieur au cas de la cubique crunodale. On peut alors prendre pour coordonnées d'un point quekonque de la courbe des quantités proportionnelles à ( i dz 9-), 6 ( i d= 6^^^ ^ gi nous substituons ces valeurs dans l'équation d'une droite arbitraire \œ -^ [j.y -4- v^ = o, nous avons, pour déterminer les paramètres des poirwts où cette droite coupe la cubique,

(X +v) + jx6±X02±:p.6s=:o;

et ces paramètres sont liés par la relation

Si la droite est tangente en un poi-iit d'inflexion, Q' = B'^ ::^ 0'^^ et, par conséquent, 9- = ±: |. Donc une cubique acnodale a trois points d^ inflexion réels; une cubique crunodale a un seul point cV inflexion réel et les deux autres sont imaginaires.

On trouve que l'équation de la droite qui joint deux points est

(62 ^ eO' H- e'2 dz I ) ^ — ( 0 -H ô^ ) 7 == ± ( I ih 6'- ) ( I ±: Ô'2 ) 5 ;

donc l'équation d'une tangente est

Nous voyons par là que, si quatre tangentes se rencontrent en un même point, la somme des paramètres coiTCspondants est nulle; et que si deux des points nous sont donnés, nous pouvons immédiatement former l'équation quadratique qui détermine les paramètres des deux autres.

li n'y a aucune difficulté à appliquer cette méthode à. des

Hosted by

26f\ CHAPITRE V.

exemples. Dans le n° 122^ £Jx. 1, nous avons parlé de la

cubique crunodale dont l'équation polaire est p^cos|(o = 7?z^ et dont l'équation en coordonnées rectangulaires est

cette courbe a trois points d'inflexion à l'infini: l'un est réel, et les deux autres sont les deux points circulaires. Le nœud est sur l'axe des x^ à la distance ^ = — 8 m.

216. Si une cubique nodale a ti^ois points d^ inflexion réels ^ le point conjugué est le pôle de la droite qui joint ces trois points, par rapport au triangle formé par les trois tangentes. Supposons que l'équation de la cubique soit

(^-t- j-H zY^=.mxyz.

Si cette courbe a un point double, les coordonnées de ce point doivent vérifier les équations qu'on obtient par la difFérentiation et qui sont

3 {x^ y-^ zy- = inyz-=. nizx^=. mxy.

De ces équations nous déduisons ^ = j^' = ^, ce qui prouve (n^ 165) le théorème énoncé. Pour la cubique nodale nous avons alors /n = 27, et l'équation de cette courbe peut être mise sous la forme

On peut, dans ce cas, prendre pour coordonnées d'un point quelconque de la courbe des quantités proportionnelles à

Q'^ (i - — 9)3, — I, et l'équation de la tangente correspondante est

216 a. Nous pouvons traiter autrement la question des cu-

Hosted by

biques unicnrsales ('). Nous pouvons partir des expressions les plus générales des coordonnées en fonction d'un paramètre X ; [Ji :

x-=za ).3-h3^ }.-[j--}-3c \\x^ ~v- d (j-^ / — a' X3 + 3 y X-[x -\^Zd\)^- -\-d [j.S z = a" l' -h 3 M X-^ii. -H 3 c' X[x2 -}- ^'^ îx%

et écrire immédiatejnent l'équation de la cubique résultante sous forme d'un déterminant (comme dans le n*^ 44). Mais, d'autre part, il y a en général trois fonctions linéaires de x^ /, z dont les expressions en fonction de X et ^ sont des cubes parfaits. En effet, si dans l'expression

Lœ + M/ + N^ — (aX -f- Pp.)'

nous remplaçons ^,JK5 s par leurs expressions en "k',^, si nous égalons les coefficients de ).^, ).^ jjl, . . . , et si nous éliminons linéairement L, M, N entre les relations ainsi obtenues, nous trouvons

Autrement dit, nous avons pour déterminer a: [3 une équation du troisième degré que nous pouvons écrire

Aoc^ + 3Ba- p -h 3Gap- 4- D p^ = o,

et A, 3B, 3 G, D sont les déterminants du système

(') Pour plus de détails sur la méthode indiquée ici, voir Igel, Math. Annal., t. VI, p. 663, et Haase, Math. Annal., t. II, p. 626.

Hosted by

266 CIIAPITIU; Y.

z\uK trois valeurs de a : ^ correspondent trois valeurs de ■Mj^ + N^. Si donc nous écrivons les trois équations

jX ■

\Jx + Wy ~v ^'z =: (aOv + '^'xxf

si nous prenons les racines cubiques des deux membres et si nous éliminons linéairement \ \ jj., nous aurons l'équation de la courbe sous forme d'une relation linéaire entre les racines cubiques de trois fonctions linéaires. On peut exprimer ce résultat de la manière la plus simple en posant

X=(a^ X-f- ?^ x^Y {'^' ^/ — fj!"f)\

jNous obtenons alors l'équation de la courbe sous la forme

aui représente une cubique nodale ; X^ Y, Z sont les trois tangentes d'inflexion; X + Y -f- Z == o est la droite qui joint les trois points d'inflexion et X = 1 = Z est le point double.

216 h. Nous pourrions arriver par un autre procédé à une cubique identique avec la cubique canonisante du numéro précédent. La condition générale pour que trois points soient en ligne droite s'obtient en égalant à zéro le déterminant des coordonnées ^', JK^ 5', . . . des points. Si dans cette expression nous remplaçons x^ par a^^l'^ -j- . . . , nous avons la condition pour que trois points de la courbe soient situés sur une même droite. Il est facile de voir qu'elle peut se décomposer en déterminants, divisibles chacun par

Hosted by

et la condilioii en question peut êtra écrite aussi sous la forme

A |i.' i^" i^" -h B ( X' ik' ix" + y ix" ix' 4- X''' [jJ [x" )

dans laquelle A, B, . . , ont la même signification que clans le numéro précédent. En d'autres termes, si lesX : p. des trois points sont déterminés par l'équation

A'X^ + 3 B'XV 4- 3G'X[j.^^ + D^ p.^ r= o,

la condition pour que ces trois points soient en ligne droite

est

(AD' - A'D ) — 3 (BC — B' G) =z o.

Nous obtenons le )v : [Ji d'un point d'inflexion en posant V =:y =:zY\ ^' =: y,'^ z=z '^'^^ daus l'équatiou précédente, et nous retombons ainsi sur la cubique

A [x^ -H 3bX[j,- 4- 3C X^ IX + DX^ =: o.

Nous pourrions arriver à la même cubique sous une forme un peu différente. L'équation générale, sous forme de déterminant, de la droite qui joint deux points, montre que, pour une cubique unicursale dont les coordonnées x, y, z nous sont données en fonction d'un paramètre, l'équation de la tangente en un point quelconque est

Les indices représentent ici le symbole d'une différentiation des expressions de os, y, z par rapport à \ ou p.. On trouvera de même que la condition pour que trois points conséculii's soient sur une même droite est

Ju

•^[XUl