IX}A
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Ainsi, dans le cas de la cubique que nous considérons, les X : [Ji des points d'inflexion sont fournis par l'équation
a"\^b"\x b"\-^-c"\x c"\-{-d"ix
et l'on peut voir {Algèbre supérieure, n^ 169) qu'elle est identique avec la cubique dont on a déjà parlé.
216 c. Il y aura un point double sur la courbe quand le même point correspondra à deux valeurs différentes du rapport \ \ \x. Soient)/ \ [Ji'etTv'' ; [jt.''deux valeurs qui correspondent au même point; quel que soit l'autre point X^" \ ]jJ" que nous prenions sur la courbe, la condition du numéro précédent (que ce point soit sur une même droite avec les deux points qui coïncident au point double) devra être vérifiée. Si donc nous égalons à zéro les parties de cette relation qui sont respectivement multipliées par V^' et ]i!" , nous aurons
B \k'ix" + G (k'ix" H- X''(./) + DX'X'' = o.
D'après la théorie des équations, si les deux valeurs de \\ [ji qui correspondent au point double sont données par une équation du second degré, cette équation devra être
Si donc nous éliminons [jl', [ji^^, . . . entre ces trois équations, nous obtiendrons l'équation du second degré
cjui déterminera les valeurs du paramètre du point double. En d'autres termes (\o\r Algèbre supérieure, n° 195), cetle
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COURBES BU TROISIÈME ORDRE. âôg
équation, qui détermine les deux valeurs du paramètre nodal, est le Hessien de la cubique canonisante.
Si nous posons V' : [Ji'^ = )v^ : [jl^ dans la condition donnée au numéro précédent, nous obtenons les relations qui lient ie paramètre d'un point quelconque à celui de son tangentiel. On remarquera que les facteurs qui multiplient)/^^ et [jJ^^ sont les dérivées de la cubique par rapport à }^ et p..
216 d» Dans ce qui précède nous avons supposé que les racines de la cubique canonisante sont inégales. Pour considérer sous sa forme la plus simple le cas où il y a deux racines égales, supposons que ce et y sont deux fonctions linéaires qui, exprimées en fonctions du paramètre , soient des cubes parfaits; autrement dit, prenons cc = \^^y = ^^. Si z = a"\^ 4- 3 b"X^ p^ + 3 c"'k^^ + d" [Ji^, la cubique canonisante devient 0L^{b"^ — c'^a) = o. Elle n'aura deux racines égales que si l'on suppose que ¥ ou c" soit égal à zéro. Dans ce cas nous pouvons, à l'aide d'une transformation linéaire, ramener la troisième équation à la forme ^ = T^^p. et la cubique deviendra ^^ = ^^JK ; en d'autres termes, elle aura un point de rebroussement. Clebsch a montré {^Journal de C relie, t. 64, p. 43) qii'en général l'équation du degré 'à [n — 2) qui détermine les paramètres des points d'inflexion aura un couple de racines égales pour tout point double qui devient un point de rebroussement.
Si la cubique canonisante a trois racines égales, la courbe se décompose en une droite et une conique.
Section V. — Invariants et covariants des cubiques,
217. L'équation d'une cubique non singulière peut toujours se ramener à la forme canonique
^3 | y3 | ^3 | (3 jjixyz = O.
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o^O CHAPITRE V.
Dans cette forme x^ y, z contiennent implicitement chacune trois constantes; celles-ci, jointes à celle qui est mise en cvidence dans l'équation, donnent dix constantes, c'est-à-dire le nombre qu'une forme doit contenir d'après le n° 24, afin d'être assez générale pour représenter une cubique. Nous allons montrer maintenant comment l'équation d'une cubique quelconque peut être ramenée à la forme que nous venons d'indiquer. Nous pouvons mettre l'équation précédente sous la forme
[^x -\- y — 2m;^)(w^ -\- w-j — 1171 z) {^b:^' X -h wj — iinz)
dans laquelle (o est une racine cubique imaginaire de l'unité. Sous cette forme, on voit que la droite ^ joint trois points d'inflexion, et l'on peut démontrer de la même manière qu'il en est de même pour les droites x et j)^. Ces trois droites constituent donc un des quatre systèmes de trois droites qui^ nous l'avons vu (n° 174), peuvent être menées par les neuf points d'inflexion; et nous pouvons voir d'avance que le problème qui consiste à réduire l'équation d'une cubique quelconque à la forme canonique admet quatre solutions.
La forme indiquée ici est celle que nous emploierons généralement dans nos recherches relatives aux cubiques; cependant il est nécessaire de déterminer d'abord les invariants quand l'équation est mise dans la forme générale que nous écrivons comme il suit :
ax^ -4- hy'^ + cz^ + 3 a^ xry -f Z a^^x- z^?) h ^y^ X 4- 3 Z>3j- ^-^ 3 Cl z^^x -\- 3 (?2 5"/ 4- 6 rnxyz =z o ( ^ ).
(M Dans les Mémoires de M. Gayley, les coefficients des termes y'' z, z'^x, cc''\y, yz^, zx"^, xy"^ sont respectivement/, g^ A, i, j, k. Dans les Mémoires allemands modernes, les variables sont généralement représentées
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2] 8. Nous formerons d^abord réqualion de Ja Hessienne. Les dérivées secondes de la cubique sont, en négligeant le iacteur 6 qui leur est commun à toutes,
€1"-=- a X -\-a^iy-\- a-^z, f ^=nnx -\- b^y + c^ ^, b-:=-b^x-\' by + b^z^ g:=:a^x -^ my + c^z, c ■=! Cl X --h c^y + czy h z=z a^x -^ b^y H- jjiz.
En formant H =: abc -^ '^fgh — af- — bg- — c/z-,Hestune cubique dont les coefficients sont respectivement
a = ab^Ci — airi^ -^ 2nia^__a^ — b^al — C\a\, b rz: ba.2 C2 — bm''-' -f- 2 nib^ b^ — a^bl — c^b],
c = CG'^ b'^ — 67/i' + 2 7}IC2 Cl — «3 C\ — Z?3 C\ \
3a^=: abc^. — 2amb-^-\- abiC.^ — ba\ + m- a^ — b^Ciao-^- 2 a^a^ b-^ — c^ci:,', 3 83=1: acbi — '2.ainc2 4- ab^c^ — ca\ -f- 771^^3 — • biC^a-^-^ la^a^c, — b^a'^ 3bi=izi>ac2 — 2bma^^ ba^c^ — abl 4- m^bi — c^a^b^^i b^b-^a-^ — c^b], 3b3= bca.y— ^bmci + ba^c.^ — cb\-\- nv^ b^ — c^a^b-^ -^ 2 b^b-^Ci — a^bZ, 3 Cl :=: caby — icma^-^ ca^b^ — ■ ac\-^ nv^Cx — a^b^Ci -h iCiC^ci^ — b^c]^ 3c2 = cba-^— 2cmbi + ca^b-^ — bc\ H- ni'^c^ — ci^b^c^ -\- ^c^c^b^ — a^c\, 6 m -=.abc —{ ab-^ c^ -h bc^ a-^ + ca^ b^)
H- 2m^ — 2m{biCi-î- CyCi^-i- «3^3) -H 3(<72^3<^i + a-^biC^).
par ^,, 572, ^3 6t les coefficients en question par «3,3, a■^^^, a,,,, .... La première notation a l'avantage d'être très compacte; dans la seconde, au contraire, chaque coefficient indique le terme auquel il appartient. Dans les formules auxquelles nous aurons beaucoup affaire, l'usage des suffixes convient moins qu'une notation dans laquelle chaque coefficient est représenté par un seul caractère; mais, comme l'équation générale de la cubique est employée seulement dans les articles qui suivent immédiatement, j'ai pensé que le second avantage était celui auquel il convenait de moins s'attacher. La notation employée dans le texte concorde avec la notation allemande, en remplaçant a,i, «22? <^33 P^^' ^y ^y ^ respectivement. D'après le même principe les coefficients de x'^, y^, .z^ pourraient s'écrire a^, b-i, C3 et l'étaient ainsi dans la première édition. Je ne mets pas de suffixes dans le cas de ces trois coefficients, non seulement pour abréger, mais aussi pour diminuer les risques de confondre l'un d'eux avec l'un quelconque des six autres coelficients.
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Comme cas particulier du précédent, la Hesslenne de
^3 | ^3 ^ ^3 "| Q j^^ jQy^ __ Q
— 7?i^(^^^4- j^+^^) + (i4-2m3) xyz == o.
219. Nous pouvons aussi former l'équation de la Gayleyenne. C.e contravariant exprime la condition pour que la droite cur + ^y '\-^z soit divisée eu involution par le système de
coniques U^ U2, U3, où
U 1 ::= <2 x"-^ b^y^- 4- Cl ^^ 4- 2 myz -^ 2a^zx -^ 1 ^2 œy^ U2 -~ a^x^- -f- 6 /- + C2 s- + 2 h^yz -\- imzx -F 2 6| xy, \}..-=z a^x^- -\- b^y^ -t- c z^-^ 2 c^yz -\- ^c^zx + 2 Jii xy,
La méthode pour former ce contravariant a été donnée (Sections coniques^ n^ 388 a) et le résultat y est exprimé en (onction des coefficients des trois coniques. En appliquant cette formule au cas actuel, nous trouvons
P == Aa^-f- Bp-f- Gf -h SA^a^p + 3A3a^-Y
+ 3Bii3^-a-f-3B3P^Y+3Grr^a4-3C2Y^-p + 6MapY,
A= bc77i — bCiC^ — cb^b^ — mb^c^ -h b^cl -h Cj ^^, B = cain — ca^a-^ — cic^ c^ — iria^c^ -^ a^c\-^ c^al, G = abm — ab^ 63 — ba^a^ — inb^a^^ b^a\-\-azb\^ 3A2^= — bca-i — cinbi-\- bc\-\- 2ca^b->^
-\- iin'-c^ — Zmb^c^ + C2<^3^3 4- h^CiC^ — 2^2^^,
3A3= — bca^ — bmc^ H- cb\ 4- iba<^c^
