inx'-b^— Zmc^b]^^ b^a^C:^-\- b^Cib

3 Bi =: — cab^ — cma^ + ac\ -f- 2 ca^ b^

H- 2771^ c^ — 3ma3C2 + c^a^b^-^- a^c^c^— 2b^cl, 3 B3 ==: — cabi — a77iC2 + ca^ -+- 2 ab^ c^

-\- i7ri^a^ — ^7nc^a2 H- <^3^iCi+ a^c^az — 2(^3^^, 3 Cl = — abc^^ — br7ia^ -^ ab\-\- 2 ba^ c^

-f- 2 771- bi — 377ia,b.^ -+- bya^c^^ a^b^ b^ — 2C^b\,

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3G2= — abcx — anib^-^ ba\ 4- ^abiC^

-\- imP'a^ — Zma^b^ -\- a^b^Ci-h a^a-^h^ — ic,2Ci\^

6 M 1= abc — {ab^c^-\- bc^a-^-\- ca^b^) — ^ni^

+ [^m{b^c^-^ c^a^-V- a^b^)— Z{a^b.iC^-\- a^b^Cj).

En particulier, la Cayleyennede ^^ +JK^ + ^^ H- 6mxyz est

220. Si, dans le contravarlant qu'on vient de trouver, nous remplaçons a, p, y par des symboles de difFérentiation par rapport à x^ y^ z^ respectivement et qu'ensuite nous opérions sur la cubique donnée U, le résultat sera un invariant (^Algèbre supérieure, n° 139).

Cet invariant, que nous représenterons par S, est du quatrième degré par rapport aux coefficients ; il est égal à

S = abcm — ( bca^ a^ H- cab^ b^ -\- abc^ Cg )

— m{ab^C2-i- bc^a^-h ca^ b^ )

4- ( a^i cl -f- ac^ bl + ba^ c\ + bc^ al -H cb^ al + ca^ b\ )

— m* H- 2 772^ ( b^ Cl -\- c^a^-h a^ b^ )

— Zm^a^b^c^-^- a.^b^c^) — { b\ c\ -\- c\al-\- al bl ) -^{c^a^a-^b^^ a-^b-^biCi-i- biC^c^a^).

Il revient au même de dire que l'équation de la Cayleyenne peut s'écrire

da db ^ de da^ da^ '^ ' d,b.^^

Nous avons indiqué {^Algèbre supérieure, n^ 162) la méthode symbolique par laquelle Aronhold a primitivement obtenu cet invariant S ; sa notation symbolique est(i 23)(234)(34 1) (412); celle de son évectant, la Cayleyenne, est (i23)(a23)(a3 1) (a 12). Pour la forme canonique, S est /rz — m^ ^ et, comme S est nul quand m = o, c'est-à-dire quand l'équation est de la

forme x^ -hf'^ -^z^ =^ o, il en résulte que S est nul quand l'équation peut se ramener à la somme de trois cubes.

2M. Supposons que nous ajons une forme

U ~ a^'^ -f- bj'' + cz" -4- . ., .

et un covariant V du même degré

a .3;'^+ bj'^4- cz^^-h ... ;

si nous connaissons un invariant quelconque de U et si nous formons l'invariant correspondant de U+/^V, les coefficients des différentes puissances de "k seront évidemment des invariants. Nous concbions de là que, dans le cas supposé, de tout invariant de U nous pouvons déduire un nouvel invariant,en effectuant sur lui l'opération

a-7-4-b-jy-4-c-7- 4-..., da do de

Appliquons ce principe à la cubique et à sa Hessienne; nous pouvons de l'invariant S déduire un nouvel invariant T du sixième ordre par rapport aux coefficients; ou, ce qui revient au même, nous pouvons obtenir T en remplaçant dans la Cayleyenne a, [3, y par des symboles différentiels, et opérant ensuite sur l'équation de laHessienne. Nous trouvons ainsi pour T la valeur

^2^2^2 5^^ç^^^^^2 j^<^^^^l(.^2^j)__2oa^C7?z^H-i2aècm(/^iCi4-C2<^2+<^3^3)