m^ ( hca.-^ a-^ H- cab^ b^ + abc^ c

— i[\m{bcb^a\-\- bcc^al-h cac^bl-\- caa^bl-h aba-^cl-i- abb^cl)

— 3{a^blcl-\-b^clal-^c^albl)-^iS{bcb^Cya^a^-hcac.a2b^bi-i-aba^b^c,c,) --I2{bcc2a^al-hbcb^a2al-hcacib^b'l-i-caa.^bibl-i-aba^c\cl-i-abbic.2cl)

— i2m^{ ab^ (?2 + bci a-^ 4- ca^ b^ )

-]-i2jn'^{abiCl-h acibl-^ ba^c\-\- bc^al-\- cb^a\-\- ca.^b\)

— 60 771 ( abi ^3 Cl c^ -H bci Cg «2 «3 4- ca<^ a-^ b^ b^ )

-^ 12 771 {aa2b^ cl -h aa^c^bl-^ bb^c^al-h bb^a^cl-h cc^a^^b] -i- cc^b^^aV) 4- 6 {ab-^ C2 4- bci ^3 4- cUi b^ ) {a^ b^ c^ 4- a-^ b^ c^ )

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-2l^{abiblcl~^ac, cl h\ -^ bc^c\a\-^ ba^ al cl + ca^ al bl -\- cb^b\ a'I) -12 {aaib^cl-i- aa-^c^bl-h bb^c^al-i- bb^a^c\-^ cc^a^b\-\- cc^b^al) - 8 m^ 4- 2 4 m* ( ^1 Cl -f- C2 «2 + (^3 ^3 ) — 36 m} {a^b^c^-i- a^b^c^) -\2m'^{b^c^c^a^-^ c^a^a^b^-\- azb^bxC^) — 2[\m^{b\c\-^clal-\-alb\) -^(^m{a^b^Cx~{- a^biC^){b^Cx-^ c^a2-\- azb^)^^{b\c\~\- c\a\-^ albl) -2-] {alblc\~\- alb\c\)— ^b^c^c^a^a^b^ -i2{b\clc^a2-^b\c\a^b^-^-c\a\a^b^-\-clalb^c^~^albl b^c^ -\-alb c^ a^).

Pour la forme canonique cet invariant se réduit à I — 2om^— 8m^.

Sa forme symbolique est (128) (124) (235) (3x6) (456)^. Nous pouvons de l'invariant T déduire un évectant

^'da-^^'db-^-'-''

dont nous n'avons pas besoin d'écrire les coefficients tout au long. Pour la forme canonique, ce contravariant, que nous représenterons par Q, est égal à

Q ~(i — iom^)(a3 4- p^-i- Y^) — (3om2-f-24/?î^)aPY — ^•

Tout invariant de la cubique peut s'exprimer en fonction rationnelle de S et de ï. Ceci peut se démoptrer de la même manière qu'on Fa fait pour le théorème correspondant relatif à une quartique binaire {Algèbre supérieures n° 213); il y a beaucoup de ressemblance entre la théorie d'une quartique binaire et celle d'une cubique ternaire.

222. Nous avons exposé aux n°^ 91 et 188 la méthode à suivre pour former l'équation de la réciproque d'une cubique. Nous donnons le résultat, en écrivant seulement tout au long les termes dont la forme est réellement distincte. Les autres coefficients peuvent se déduire de ceux-là par une permutation symétrique de lettres :

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276 CHAPITRE y.

6a^P( — bc'^b]^-\- ibcmc^-^r- bcb^c^ — [\mcbl -\- ScCib^bi — 2 bci c\-\- 2 mb^c\ 4- 5^ Cl C2 — 2 èi Cg),

?>(i^^'^{ibc'^a^~ [\mbcc^-\- Zc^b\ — ibcc^a^-\- i6m^-cbs

— 12 mcbiC2-\- f\bc\c2-\- l\ca^bl — ^ca^b^c^ — ^cb^b^C]^

— [\m}c\ — SmbsCiC2 — blcl — 2a-^b.^cl-\-lAa2cl-\-i2biCiCl),

6 a'^ ,3y [ ^^ ( — 4^^^ + 5 61 Cl — 2 «3 Z?3 — 2 C2 <^2 ) + ^(2mCiC2 4- 4<^3<^2 — 3^3^l) 4-c(2mèi&34-4<^2 ^3 — 3c2^i)

— Sm^ b^C2-ï- 10 m {b?^Ci^ cl bi)

— 2a3C2^3 — 2a2^3C^ — 1 1 èi^gCiCg],

2 a3 ps j- — ^^^2 — g c^ (^2 ^1 4- 3 ^cci a3 4- 3 ac^3 Cj — 2 ac^

— 2bcl — lôcm^H- C7n(i8èiCi4-i8c2<22 — 24<^3^3) + 9 c ( â^2 ^3 ^1 H- <^3 ^1 ^2 ) 4- 1 2 m^ Cl Ci -\-6m{a^cl-}'bscl)-\-6a-^bsCiC2 — iS b^clc^— 18 aiC^cl],

6ai^^^^[abcc2-h 6bcma-i — ^bca^c^ — 2ac^3 + <^^3^2 + '^ntbc}

— 5 bCi C2 ^3 4- 4 cm^b^ — 1 o cma^b^ 4- 2 cb^a^b-^ — 6c^ J Ci 4- 9 ca2 C2 ^1 4- 8 ni^ C2 — 16 m^ègCi 4- 1 2 ma-^ b^c^ — ^ma^cl — 2mbiCyC2 — /i<^3^3Ci4-io^iÔ3cf4-i3a2è3CiC2 — iiay^iC^],

6 (/} p Y^ [ — 4 cibcm 4- ( ^ca2 a^ 4- ca^i b^ 4- abc^ c^ )

— 8 m ( ab^ c^ 4- ^Ci a^ 4- c^^g b^ )