aèiC|4- <2CiZ?^4- bc^al-v-ba^cX-^ cb'^aX-^- ca^b
— %m>^[\ni^{b^Ci-\-C2a2^a^b^)
■^ l'^mi^a^b^c^-^ a.^blC2)■^- f\(^b\c\-^ c\a\^ a\bl)
— 1 9 ( ^1 Cl C2 «2 + ^2 «^2 <^3 ^3 4- <^3 ^3 ^1 <^i) ] .
Le contravariant que nous venons de former est le second évectant de T, autrement dit, l'équation de la réciproque peut s'écrire
a3 -^ + 33 ^ + -V 3 ^ + a^ 8 — 4- a^ — 4- R^ — da db de da^ da^ db^
db^ ' r/ci ' ' <:/c2 ' dm)
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Nous avons indiqué (n° 91) que, pour la forme canonique, l'équation est
U^ ^ f^^ -\- f — {2-\- d>2m^){^^f -i- f OL^ -h OL^ ?>'' ]
— 2/^771^ apY ( a-^ 4- P^ + Y^ ) — ( 2/\ m + 48 m^ ) a^ p^ ^2 q,
223. Les invariants d'une cubique peuvent aussi se calculer au moyen des équations différentielles auxquelles les invariants doivent satisfaire (Algèbre supérieure^ n^ 143). A cet effet, il convient d'ordonner l'équation par rapport à une des variables et de l'écrire comme il suit :
/•^'^-h 3(^0^ H- ciiy)z^-{- 3(6o^^H- 2biœy -+- b^^y'^)z
+ (c?o<^^+ Scj^^j-h 36?2^7^4- c^y^)-=io.
Si nous voulons former un invariant d'un ordre et d'un poids donné, nous pouvons écrire sans calcul la partie littérale. Par exemple, nous pouvons prévoir que S est de la forme
dans laquelle nous désiguons par [c^b) une fonction du second degré en c et du premier en b] et nous voyons aussi qu'elle doit être un invariant de cet ordre pour b^x^ -{- . . . , et Co-^^ + • • -5 considérées comme des formes binaires, l'une quadratique, l'autre cubique; par conséquent, la théorie des formes binaires nous permet de prévoir la forme de ce terme. Il en est de même pour les autres. L'invariant doit de plus vérifier l'équation différentielle
cl ( d d
6bç,-r- -\-2b^ h ^2 T"
aco dci dc.^
Par ce moyen nous trouvons que S est
— r{c'^b)-^{c''a'^)-\-{cb'^a) — {b^)\
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{c^b)=z{coC2—cl)b2 — {coC^—CiC2)b^-i-{c^Ci—cl)bQ, (c^a2) = (coC2— c2)aj— (C0C3— CiC2)aiao4-(ciC3— c|)aj, {cb^a)=:aoCobl—{Coa^-\-SCiao)b2b^-i-{aoC2-haiCi){2bl-\-bob2) — ( <^o C3 4- 3 ai C2 ) ^0 ^1 + <^i ^3 ^ 0 ? (b')r=:b,b,-bl
De la même manière, T est égal à
r^c^) — 6r{c^ ba) -}- ^{c^ a^)
-h ^ r {c' b') - S {c'' b'^ a') — 12 (b^){cb^ a) -i- S {by, où
(c^) — clcl + ^CqcI 4- ^c^cl — 2>c\c\ — 6coCiC2<^3j ( c^ Z?a ) in «0 ^0 ( <^o C3 + 2 c| — 3 Cl C2 C3)
H-(aièoH-2(2o^l)(2C3C^— CiC^— C0C2C3)
+ (ao^2H-2ai^i)(2CoC^ — C2CJ — C0C1C3) + aiè2(<^3^? + 2cj — 3ceCiC2) (c^«^) = ^J(Coc2 4-2C^— 3C1C2C3)
H-3aJai(2C3cJ — CjC^ — CqC^c^)
{c^b')~^{b^){c^b) = clb\-6c,c,b,b\-^6c,c^b^{2b]--b,b^)
4- ^0^3(660^1^2— 8^?)4-9c2èo^2 — 1 8 Cl C2 60 ^1 ^2 + ^ ^1 c^boi^b^— bo b^ ) + 9 c^ ^2 ^2 — 6 C2C3 bybl + c^ 6g {c'^ b^ a^) =: cl bl a^^ — 2CoCi(6^ «i «o 4- 261 62(2^)
4- 2 Co C3 ( 4 60 61 a^ 4- 4 ^1 ^î ^0 — 6 6 j ao «1 — 3 60 63 aç, a^) 4- c^ ( 8 6f a? 4- 9 6^ a^ — 1 2 61 62 «0 <2i 4- 4 ^0 ^2 <^i ) 4-2CiC2(6o62ao<^i 4- 2 6jao<2i — 66162^0 — ^b^b^a] )
— 2CiC^{bobc^al 4-2 6Ja5 — io6o6iâro<^i 4- 4^?<^?)
ou bien encore nous pouvons écrire
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[cha) ^zc^aobo — ^2(^1 60 + 2ao^i) {a'^b)z=^b^al — 2biaoai -^ boa].
224. Si la courbe a un point double, nous pouvons le prendre pour orig-ine; r, a^, a^ seront alors tous égaux à zéro; S se réduit à — {b'^Y et T à 8 (^^)^ Nous voyons ainsi que ï^ + 645^ est nul quand la courbe a un point double. Cette quantité est donc le discriminant, comme on le démontrera plus tard par d'autres moyens. Sila courbe a un rebroussement, (6^^ s'annule; il en est donc de même pour S et T. Pour la forme canonique, le discriminant
22o. Dans les numéros qui vont suivre, nous nous servirons de la forme canonique. Nous avons démontré (n^^ 218) que l'équation de la Hessienne de x^ -{-J^ -{- z^ -{- Gmxyz = o est de la même forme, avec une valeur différente de m et que, par conséquent, le système des trois droites xj^z passe par les intersections de la courbe et de sa Hessienne, comme on l'avait prouvé autrement (n*' 21 7). On voit également que l'équation de la Hessienne est aussi de la même forme et que, par conséquent, les points d'inflexion d'une cubique sont aussi des points d'inflexion sur sa Hessienne, comme on l'avait démontré d'une autre manière (n^ 173). Toute équation de la forme ol(x^ +JK^ + ^^)+ ^xyz = o peut évidemment se ramener à la forme W + [jlH =: o. Nous avons en effet
^3 | ^3 ^ ^3 | Q rnyzx = U, — m^(^^ H- j^ H- ^^)H-(i -H 27?z^)^j^ = II
et, en résolvant,
(H-8m=^)(^3^73-}-^^) — (i 4-97?i^)U~67nH,
28o CHÀPITUE V.
d'où
(i + S77i^)Xz= a(i -\-27n^)-h?m\ (i + 8/71^) (x — —GmoL -h p.
Formons maintenant l'équation de la Hessienne de XU-l--6[j.n, c'est-à-dire de
(X — 6(i.m^)(^^ -h j^ -}- ^^)-h 6[Xm -H (ji(i -h 2m^)]œyz ■=. o;
le résultat est
— (X — 6(X7n^)[X7?z -}- ]x{\ -^ 2 m'^)Y {x^ -\- y^ + 2^) -1- |( X — 6 (j. 7?z^ )^ + 2 [X m + [Ji ( I + 2 m^ ) ]^ j ^^^ = o.
Gomme on vient de le démontrer, cette quautité est de la
forme VU -|- [ji'H = o ; donc
(H-8/?z^)X'=i — (i 4-2 7?iSXX — 6(x7n^)[X/n + [x(i -i-2m3)]2 4-m2j(X — 6[i-m^)3 + 2[X7?z + [x(i +2/n3)]3J,
{i-\-^m})]x! :=z6m{\ — Ç>\km})[\m -\- \i.{i-\- 2m})Y
+ j(X--6[j-m2)=^ + 2[X7?z-i- [jt.(i-}- 2m^)]^j.
En développant et en nous rappelant qu'on a
ces quantités peuvent s'écrire
X'=: — 2SX> — TX[x2 + 8SVS p/..=:X3 + I2SX[x2H-2T{x\
Les valeurs de )/ et j/ étant exprimées en fonction des invariants, les formules que nous venons de donner continueront à être exactes de quelque manière qu'on transforme l'équation ; et par conséquent la Hessiennede \\] -}- 6p,H, dans laquelle U et H ont les valeurs générales du n"* 217, est }/ U + p.^H, X' et [Ji^ ayant les valeurs qu'on vient de donner (^).
Ainsi, quand on nous donne le rapport V : p.', nous avons une
(M Dans l'édition précédente, cette relation était démontrée par un calcul direct; et c'était ainsi qu'on obtenait les valeurs de S et T.
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équation du troisième degré pour déterminer le rapport \ : [^, c'est-à-dire qu'ily a, comme on l'a déjà établi, trois cubiques qui ont pour Hessienne une cubique donnée.
Gomme cas particulier de ce qui précède, la seconde Hessienne est
H(HU)=:8S'-U-h2TH;
il en résulte que T = o exprime la condition pour que la seconde Hessienne soit la courbe primitive. Si S = o, c'està-dire (n^ 220) si l'équation est réductible à la somme de trois cubes, la Hessienne coïncide avec sa propre Hessienne et se compose de trois droites, comme nous le montrerons dans le numéro suivant.
3. La Hessienne rencontre une courbe en ses points d'inflexion, c'est-à-dire aux endroits où trois points consécutifs de la courbe sont en ligne droite; si donc une courbe n'est pas une courbe propre, mais un système comprenant une ligne droite comme partie intégrante, tout point de cette droite est un point de la Hessienne et, par conséquent, quand la courbe se compose de trois droites, ces lignes conti tuent la Hessienne. Ceci peut se vérifier en formant la Hessienne de xyz == o. Ainsi, le système de conditions pour que l'équation générale représente trois lignes droites s'obtient en exprimant que les coefficients dans l'équation de la Hessienne (n° 218), sont proportionnels aux coefficients correspondants dans l'équation de la cubique. Ce sont
aa
bi
ba
~ br
C'est un système de quarante-cinq équations, qui paraissent équivalentes à neuf, mais qui en réalité ne sont équivalentes qu'à trois équations indépendantes. En effet [Sections coniques, n^ 78) trois conditions seulement sont nécessaires pour qu'une équation du troisième degré contenant neuf con-
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slantes indépendantes représente un système de trois droites qui ne renferment que six constantes. On peut, au moyen des valeurs (n° 218) de a, b, . . . vérifier que les quarantecinq équations équivalent actuellement à trois équations, comme on l'a énoncé.
