La Hessienne de )vUH-6[jiH étant VU -{- pi^H, la
première courbe représentera trois lignes droites si-r-^yl
en introduisant les valeurs (n° 225) de 1' et p.^, ceci donne l'équation
X4 + 24SX2 {x2 -h 8TX(x3 48S2 ^^ — o.
Cette équation est du quatrième degré et nous voyons ainsi, comme on l'a déjà énoncé plus d'une fois, qu'on peut mener quatre systèmes de trois droites par les intersections de U et H. Cette équation, résolue par les méthodes ordinaires (voir ToDHUNTER, Theory of équations) {^)j donne
où t^^ ^2î h sont les racines de l'équation
^8^i2S^2(48S2^-T2 = o ou (^4-4S)''^ = r- + 64S^
Ainsi, étant donnée l'équation d'une cubique c|uelconque, nous pouvons former l'équation de sa Hessienne (n*^ 218) et calculer les valeurs des invariants S et T (n"^ 220, 221). Le présent numéro montre alors comment nous pouvons former une équation W] + 6[JiH = o qui soit décomposable en trois facteurs linéaires. Nous pourrons trouver ces facteurs X, Y, Z en résolvant une équation du troisième degré; si nous comparons alors l'équation donnée avec la forme
«X3+ èY^-f-cZ^-hômXYZrzzo, (') Voù' aussi Sehrjet, Algèbre supérieure, t. II, p. 44? ^^ suiv.
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nous pouvons déterminer a, b^ c, m par des équations du premier degré. C'est de cette manière qu'on peut effectuer la réduction de l'équation d'une cubique non singulière à la forme canonique.
ExEaciCE 1. — Calculer les inçariants de la cubique
a^(j2^2)| èj(^2^2)| cz{x'^—y^)-=^ o.
228. Parmi les quatre tangentes qu'on peut mènera la cubique par un point de cette courbe, deux coïncident seulement lorsque la courbe a un point double, puisqu'une cubique n'a pas de tangentes doubles. L'équation des quatre tangentes est (n° 78) A^ =z=: 4 A'U et, si l'on prend
U = ^^ + j^ -h 5^ M- 6 myzx^ L-=.Z\^x\x'^ -\-imyz) -\- y' {y^ -\- 2 mzx) -{- z'{z'^-h '^mxy)], ^'^=z^[x{x'^ -{-2my'z')-\-y{y'^-\-2mz^ x')-\-z{z''^-\-2mx'y)].
En faisant z =^ o dans ^^=4\'IJ^ nous obtenons une équation du quatrième degré qui détermine les quatre points où les tangentes rencontrent la droite z] cette équation est
3(x' x^ -h y' y'^ H- 2 mz^ xyY ^=. [\{x^ -{- y^)[x {x'^ -\- 2my z')-^ y{y'^-\- 2mz'x')]
ou bien
{x"-~}-Smy'z')x'*-{-fi{y'^ — mz'x')x^y — 6{xy'-i-2m^z'^)x''y'^ -\- l^{x'^ — my' z')xy^ -\-{y''^ H- % mz' x' ) y^ ^=. o.
D'après ce qu'on a dit, il est clair que le discriminant de cette quartique doit contenir comme facteur le discriminant de la cubique. Si maintenant nous nous rappelons que
x'^ -^ y'^ -\- z''^ ■^-Ç)mx' y' z' ^=10^
nous trouvons pour les invariants 5 et t de la quartique
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Par suite, le discriminant de la quartique 2y t- ~ s^ esl2yz'^{T^ -\- 64 S^), et l'on voit facilement d'après cela que le discriminant de la cubique est T^ + 648^.
229. La fonction anharmonique des quatre points déterminés parla quartique du numéro précédent est évidemment la même que la fonction anharmonique du faisceau des quatre tangentes. Mais, si les racines sont a, [3, y, S, la fonction anharmonique de ces racines est un quelconque des rapports mutuelsdesquantités(a~P)(Y— S),(a— y)(P— 8),(a— S)(P— y). Nous pouvons former par la méthode des fonctions symétriques l'équation qui détermine ces quantités; et si l'équation de la quartique a pour coefficients a, 4^? 6c, 4^> ^y nous trouvons pour résultat
a^jA — 12 as j -\- iGs/s'"^ — 27^^== o.
Les rapports mutuels des racines ne sont pas altérés, si
nous les faisons croître toutes dans la même proportion, en
substituant par exemple aj^ = 2zs^^ ce qui nous montre que
les rapports anharmoniques sont les rapports mutuels des
racines de
OU
La fonction anharmonique dépend donc seulement du rapport T^ : S^, mais nullement du point par lequel on mène les tangentes (n^^ 167). Si T = o, l'équation qu'on vient de donner se réduit àz^+3^ + 2 = o dont deux racines sont égales; donc un des rapports devient l'unité et le rapport anharmonique devient un rapport harmonique ordinaire.
Si S = o, l'équation en y manque de second terme et devient de la forme y^ == fn^ ; ses racines sont de la
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forme m, mto, mi^-, en désignant par o) une des racines cubiques imaginaires de l'unité et le rapport commun des racines est co. C'est ce qu'on appelle la section équi-anharmo nique.
230. A l'aide de la forme canonique, nous pouvons former, comme dans le n^ 225, les invariants S et T de \\] + ôp^H, ou de
(X — Ç)\knv^){x^-^-y^-\-z^)-i-6[m\ + {j.(i + 2m^)]œyz,
et nous trouvons sans difficulté
S(XU+6{xH)=SX^+TX>-24S2YV'-4STX.j.^~(T2-lr48S^)^*
T(XU-h6jxII)~TX« — gôS^X^^ — eoSTX^^
— 2oT2X3(i-^+24oS^TX2p/^
— 48(8X2 + 96S^)X(x^ — 8(728=^X4- T3)ji<%
et si, au moyen de ces valeurs, nous formons le discriminant R ou T^ + 64 S^, nous obtenons
R(XU -l-6[j.II)=:R(X'^ + 248X^2 }8XX{j.^— 488*^ (x^)%
Dans cette relation Je facteur qui multiplie R est le cube de la fonction du quatrième degré en )v et [j. formée au n' 227; nous aurions pu le prévoir, car, si la cubique U n'a pas de point double, les seules cubiques à points doubles qu'on peut mener par les points d'inflexion sont les quatre systèmes de lignes droites. Les valeurs que nous venons de donner pour les S et T de lU + 6 piH sont des covariants de celte fonction du quatrième degré en 1 et jji; elles diffèrent seulement par les facteurs numériques 4 et 2 respectivement de la Hessienne et du covariant appelé J {Algèbre supérieure^ n^ 209); et les coefficients de U et H dans la valeur de H()^U + 6[jiH) ne diffèrent que par des coefficients numériques des dérivées par rapport à X et p. de la forme du quatrième degré.
Tous les covariants cubiques peuvent s'exprimer sous la
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F == m'^yz -
G — rn^zx-
H — m^ xy -
-mz^'\
forme lU + [xH; les exemples qui suivent en donnent la preuve.
Exercice 1. — Si a,b,c, . . , représentent les dérivées secondes et A, B, ... les quantités bc — Z^, . . . , comme dans le n** 18i, et si a\ h\ ... ; A', B' représentent les quantités correspondantes pour la Hessienne, alors
Aa'+ B6'+ Gc'-H 2F/'4- 2G^'4- 2H/i' = o
est un covariant cubique.
Nous employons les valeurs
a=^x^ f=mx, k — yz — m-x'^^ h ^y^ g^rny, B =^ zx — m'-y'-, c = z, h = mZy G = xy — m^z'^j
a' — — 6 7?^2 X, y = (i 4- a m^ )x, b' = — 6 7n2 j, ^' = (1 + îi m^ )y, c' = — 6m^z, h' =(i-{- im^)z; A =^^6m'*yz—{i-him^)^x^, F'={i-\-im^yyz-[-Qm^{i-^im^)x'^. B' =:36m''zx—{i-h-2m^yy^, G'=(i-+-2 77i^y zx-i- 6 m^ (1-^2 m^)y^-. G' ==36m^^7— (1-4-27^3)2 ^-2, W ={i-^2m^yxy-h6m^{i-i-2m^)zH
Donc le covariant en question est — 2 SU. On aurait pu prévoir qu'il n'en pouvait différer de SU que par un facteur numérique, car c'est un covariant du cinquième degré par rapport aux coefficients, et par conséquent, s'il est de la forme aU + è H, a doit être du quatrième degré et b du second en fonction des coefficients ; mais il n'a pas d'invariant du second degré et S est le seul invariant du quatrième degré.
Exercice 2. — Calculer de la même manière le covariant
A'a + B'^>-4-Gc-+-2F7-h2G'^-4-2ir^.
Réponse. — TU + \ 2 SH.
231. L'ordre d'un covariant d'une cubique en fonction des variables est un multiple de trois, et, en général, si l'ordre d'une forme ternaire est un multiple de trois^ il en est de même pour tout covariant de cette forme. Ceci résulte immédiatement de la méthode de représentation symbolique exposée à^nsV Algèbre supérieure, Chap. XIV; en effet, tout symbole (i23) diminue de trois unités l'ordre de la fonction
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sur laquelle il opère et, dans cette méthode symbolique, Tordre de la fonction sur laquelle on opère est un multiple de celui de la forme donnée.
Il est facile de voir que Féquation de tout covariant cubique de x"^ +^^ -f-^^ + bmxyz = o est de la forme a(^3 -j-j/3 |^3^ j ^xyz = o; et cette expression est, comme nous l'avons vu, réductible à la forme XU + [jiH ==: o; cependant, pour exprimer les covariants d'ordre plus élevé, il est nécessaire d'avoir un troisième covariant fondamental. Celui que nous choisissons peut se définir comme il suit : considérons la polaire conique d'un point ax'^ + ... et la polaire conique du même point par rapport à la Hessienne a^^^ 4- . . . ; il existe alors (Sect. coniques, n°378)une conique covariante de ces deux courbes qui est donnée par l'expression
(B'G-t-B'G — 2FF)^^4- ... =0,
et la condition pour que cette conique passe par le point primitif fournit un covariant de la cubique. PuisqueB, C, . . . contiennent chacun les variables au second degré, le covariant est du sixième degré par rapport à ces variables ; et, comme B, C, ... sont du second degré et B', CJ du sixième, par rapport aux coefficients, il est du huitième ordre, par rapport à ces coefficients. La valeur effective de ce covariant pour l'équation générale n'a pas été calculée; mais, si nous nous servons des valeurs de A, B; ... données dans le numéro précédent, nous trouvons que, pour la forme canonique, ce covariant est 4® î ^ est égal à
^3m^{i — 2om^-{-Sm')x'^y^z'^ — {i-^Sm3y{j^z^-hx^^z^x^y')
ou
-{-37n'-IP — {î + Sm'y{j'z^-{-z'^^-i-xY)
Il existe deux autres covariants du même ordre que 0 parraj -
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port aux variables et aux coefficients, qui ont les mêmes titres à être choisis pour le covariant fondamental du sixième ordre. Le premier représente le lieu d'un point dont la droite polaire par rapport à la Hessienne est tangente à la conique polaire du même point par rapport à la cubique ; ou bien
