AU2 4- BM'2 4- GN'2 + 2 FM^ N^ + 2 GN^ U + 2 HU W

Dans cette expression, U, M', N^sont les dérivées de la Hessienne. Ce covariant s'exprime immédiatement en fonction de 0, au moyen de la formule 6S^ — F (Sections coniques^ n° 381 , Ex, 1). Ici nous devons, dans cette formule, remplacer 0 par — 2 SU; S^ par ^6 H et F par 4B; nous trouvons ainsi que le covariant en question est — 4(^ + 3 SUH). Il existe de même un covariant qui représente le lieu d'un point dont la polaire par rapport à la cubique est tangente à la conique polaire du même point par rapport à la Hessienne ou bien

A^L2-hB'M2-l-C'N2 + 2FMN + 2G^NL + 2H'LM=:o.

En calculant encore cette valeur parla formule O^S — F (^'^ct ionsconiq lies ^n'^^Sï), et en jrempldiÇSinl&pair — TU+12SH, S par U et F par 4^7 le covariant en question devient

(TU2- 12SUH4-40).

232. Tout covariantde^^ + J^ + ^^ -{-Qmxyz sera évidemment une fonction symétrique àex^y^z\ il pourra donc s'exprimer en fonction de x^ -^y^'^-]-z^ ^xyz,y^ z^'-\~z^ x^-\-x^y^ et par suite en fonction de U, H, 0 et des invariants. Mais un covariant n'est pas nécessairement une fonction rationnelle de U, H, 0. En effet, nous pouvons, comme dans V Algèbre supérieure j n" 223, former un covariant dont le carré soit une fonction rationnelle de ces quantités sans que le covariant luimême jouisse de cette propriété. Soient/?, q^ r les coefficients de la cubique,

H-(i -\-%m^Y{y^z^ -\-z^x^ -f- ^3j^)p — (1 + BTn^)^^^/^-^^ — o.

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D'après la théorie des équations, si J est égal à

nous avons

Mais /?, q^ r sont immédiatement exprimables en fonction de U, H, 0; en les remplaçant par leurs valeurs dans l'équation qu'on vient d'écrire, on a

-4 0(-4S^U'^ + 2STU3H-72S'-U^-H'--i8TUH3 + io8SH*)

— 432 82 UH^ — 27 TH".

L'identité que nous venons de donner peut être mise sous la forme

40 (0 + XU^) (0 4- [i.U2) = P + H'ï>.

Cette expression montre que le système 6 (0 + )vU^)(0 + [^U-) est tangent à H, c'est-à-dire que H est tangente à chacune des courbes représentées par les trois facteurs, ou bien passe par leurs intersections deux à deux. Mais 0, U et H n'ont pas de point qui leur soit commun à toutes les trois : donc H est tangente à 0. La courbe J qui passe par les points de contact se compose des polaires harmoniques des neuf points d'inflexion. Nous donnons encore un exemple ou deux, pour montrer qu'il est possible d'exprimer les autres covariants en fonction deU, H,0.

Exercice 1. — Former V équation des neuf tangentes d'inflexion. Nous avons fait voir (n° 217) que les tangentes d'inflexion sont

U— (i-H87?i3)ir3, U— (ï-l-87?23)73^ u — (i + 8m^)^3. Faisons le produit de ces trois facteurs, nous aurons

S. — Courbes planes. 19

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si nous remplaçons

et {i-{- Sm^)xyz par leurs valeurs données précédemment, nous trouvons que l'équation cherchée des neuf tangentes est

5SU^H — H3— ue = 0.

La forme de cette équation montre que H et 6, qui sont tangentes entre elles, comme nous l'avons démontré, ont les neuf tangentes pour tangentes communes.

Exercices. — Former l'équation de la Cayleyenne en coordonnées ponctuelles.

Nous avons à trouver la réciproque de l'équation tangentielle de la Cayleyenne qui est (n° 219)

/n(a3H- p3^ ^^3)^(I^4;^3)apY = o.

La réciproque s'obtient d'après le n° 222 et en exprimant les quantités x^ -\- y^ -\~ z^ ^ ... en fonction de U, H, 0. On trouve ainsi que l'équation résultante de la Cayleyenne est

4Se-TH2— i6S2UH = o.

233. On peut de même exprimer tout contravariant de la cubique en fonction de trois contra variants fondamentaux; et, à cet effet; nous pouvons employer les trois contravariants dont nous avons déjà parlé : ce sont les évectants de S et T (n°^ 219, 221 ), que nous avons appelés P et Q et en fonction desquels tout contravariant cubique peut s'exprimer, et la réciproque F (n° 222). Nous pouvons, comme dans le n*^ 230, former les invariants de la quantité XP 4- [aQ, qui est, pour la forme canonique, [7??X-+-(i— iom3)[x](a3-i- p3 j,^3)||-(^j 4;7723)X — 6m2p,(5+ 4«^^)]a!^ï et nous trouvons

S(XP + [xQ)=:(i92S^— T2)X*-H768S2TX3[i-4-2i6(3ST2— 64S*)X2(i.2 -t-2i6(T3—64TS^)X{j.3 — 1296(582x2+645^) (jlS

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T(XP + |i.Q) = (T3H-576S^T)X6-f-288(5S2T2-i92S^)XV

+ 54o(3ST3— 32oS*T)XV2^54o(T* — 448S3T2)X3lx5

— ii664(3ST^— 32S^T2+2o48S^)X[x5 -5832(TS4-4oS^T^-i-256oS«T)ix^

R(XP-H[xQ)==[SX^-f-TXV+72S2X2{x2-f-io8STX{x^+27(T2-~i6S^)lx'^]^R^

De même que dans le n° 230, les fonctions du quatrième et du sixième degré en X et [j. qui figurent dans les valeurs de S etT sont les covariants de la fonction du quatrième degré dont le cube entre dans la valeur de R.

On a aussi

H(XP-i-{xQ)=:[TX3-t-i44Sn^(i.^+324STX{x2^io8(T2-i6S^)[x^]P

-(4SX3-H3TX2|x-i-i44S2XV-i-io8ST(x3)Q

les quantités qui multiplient P et Q respectivement étant les dérivées, par rapport à [ji et )^, de la même fonction du quatrième degré.

234. Nous pouvons former de la même manière le P et le Q de XU 4- 6 [A H, et nous trouvons

P(XU+6{xH)rrzPX5 + QXV— i2SPX(x2h-4(SQ~TP)[xS

Q(XUH-6(xH)r=:QXs + 6oSPX'^(x — 3oTPX>2~ioTQX2{jl3