S^-SP).= H'U-HU
Il résulte de là que, si [x' ,y' ^ z') est sur la courbe et si, par
conséquent, U^ = o, l'équation U = o peut être écrite sous la
forme
Sn— sP=zo.
De cette forme découlent immédiatement les conséquences suivantes :
(a) Les droites P et H se coupent sur la cubique : c'està-dire le tangentiel du point (x^^y, z'^) ou le point où la tangente P rencontre de nouveau la cubique est l'intersection de P avec n, polaire de [x' , y' , z') par rapport à la Hessienne (nM83).
(è) Les points de contact des tangentes menées de [x' , y\ z^) à la cubique, qui sont, comme on le sait, les intersections de S avec U, sont aussi les intersections de S avec S, conique polaire de [x' y y , z') par rapport à la Hessienne.
(c) L'équation S II — SP =: o est le résultat qu'on obtiendrait en éliminant une indéterminée 9 entre S + 9S = o, P-[-Qn=:o. La première équation représente une conique
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passant par les intersections de S, S; la seconde est la polaire de {x' ,y\ z') par rapport à la même conique : par conséquent, la cubique donnée peut être engendrée comme lieu des points de contact des tangentes menées d'un point {x\ y , z') à un système de coniques passant par quatre points fixes.
[d) Si S + QS représente deux droites, P + Qll passe évidemment par leur intersection : cette intersection est donc un point de la cubique, et P + Qll est la tangente en ce point : donc les quatre points de contact des tangentes à la cubique, issues de {x',y\ z')^ forment un quadrangle dont les trois centres sont sur la cubique et sont les points cotangentiels de (^2;', y, z^){yoir n^ 150).
[e) Si nous considérons les points d'intersection de la courbe et de sa Hessienne par une droite quelconque, par exemple ^ = 0, l'identité du présent numéro nous donne
a 6 — b a = 3 ( a2 ^1 — bi «2 )>
c'est-à-dire que l'invariant P des deux cubiques binaires s'annule. On voit donc encore que la Hessienne rencontre la courbe en ses points d'inflexion. En effet, puisque P est nul, l'éliminant des deux formes est Q = o [Algèbre supérieure, n* 200). Donc aux points d'intersection, u-^Xv renferme un cube parfait.
236. Je me suis servi de cette identité [Philosophie al Transactions^ i858, p. 535) pour former l'équation de la conique qui passe par cinq points consécutifs d'une cubique. Puisque S est tangente à la cubique et que P est la tangente commune, l'équation d'une conique tangente à U en [x' ^y'^ z') est S — PL = o, L = a^ 4- Pjk -h Y-S étant une droite arbitraire. Mais, au moven de l'identité que nous avons établie, l'équation de la cubique peut se mettre sous la forme
ii(S — PL)^.P(s — nL).
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Donc les quatre points où S — PL rencontre de nouveau la cubique sont ses intersections avec S — LII; et^ si cette dernière conique passe par (^^,jkS ^^)j la première passera par trois points consécutifs de la courbe. Mais, si nous remplaçons x^ y, z par œ'^ y' , z^, nous aurons S^ = 11^ = H^ et la condition pour que 2 — IIL passe par (^^, y, z') est L = i.
Maintenant, pour que S — LP passe par quatre points consécutifs, S— LII doitavoir P pour tangente au point (cc^ , y ^ z') . Mais la tangente à S — LII (qui est la polaire de x^y z' par rapport à cette fonction) est
2n — IVn — Lu'
ou bien II — ^ H^L (puisque L'= i ; n^=:H^), et, comme cette quantité doit être proportionnelle à P, nous avons
Lr=z6P+ jj7n.
L'équation générale d'une conique passant par quatre points consécutifs est donc
et
S ôP2 A pn=-o,
2 — 6Pn— j^n' = o
passe par les deux points où la précédente conique rencontre de nouveau la cubique; l'équation de la cubique est réductible à la forme
n/'s — ep2— j^Pn^=:P(^2 — epn- -^n^
237. Puisque ces deux coniques ont P pour tangente commune, il sera possible, en ajoutant les équations multipliées par des constantes convenables, d'obtenir un résultat divisible par P, et le quotient représentera la droite qui joint les
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points où la conique rencontre à nouveau la cubique. Il est nécessaire pour cela de déterminer [x de manière que
[jiS + S — rjj^' soit divisible par P; nous y arrivons en
égalant à zéro le discriminant de cette quantité. Mais on trouvera, en effectuant le calcul, que ce discriminant est
tji'^tr + 4[^^ 777^ cette quantité sera donc décomposable en
facteurs, si [J- = — 7577,; et, comme l'un des facteurs est P, si nous représentons l'autre par M, nous aurons
mS + S— -ln--=:MP. ' li^
Au moyen de cette équation, l'équation de la cubique donnée à la fin du dernier numéro se transforme en la suivante ;
(n + p.P),(S-ep^- Apn) = p^
M- j^n-e(n-i-(xP)
La forme de l'équation montre que II -+- [jlP est la tangente autangentiel du point donné sur la cubique, et que M — :^ D passe par le second tangentiel du point donné (voir n^ 155),
238. Pour que la conique puisse passer par cinq points consécutifs, les coordonnées x^ ^y ^d doivent vérifier l'équation
M--^n-6(n + ,aP)=ro.
La seule difficulté consiste à déterminer le résultat de la substitution de x\ JK^ z^ dans M. Si nous différentions l'équation
I^Sh-S- jln2=:MP, par rapport à ^, j^ ou ^ et si nous remplaçons x^ y, z par x'^
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y'^ z^ dans les résultats, en remarquant que
dx' ~~ ^ dx' dx' dx'
nous avons Rr= 2[ji, et le résultat de la substitution de x'^ y, z' à la place de x^ y, z dans
