NOMBRE DES TERMES

vv/i

Ces 1008 et 5o4o hexades ont été étudiés par Hesse et Steiner comme bitangentes dont les douze points de contact sont une cubique proprement dite, le premier système n'ayant pas six points de contact sur une conique; le second, au contraire, ayant ses douze points de contact divisibles en deux groupes de six points situés chacun sur une conique. On peut ajouter que les six tangentes de chacune des 1008 hexades

Hosted by

COURBES DU QUATRlÈ?tIE OR DUE. 33 1

sont toutes tangentes à la même conique, comme le montreront les recherches d'Aronhold que nous allons indiquer ici. Les six tangentes de chacun des 5o4o hexades peuvent se distribuer en trois couples dont les points d'intersection sont sur une même droite (voir n^ 258).

263. Nous terminons cette discussion des bitangentes en donnant un aperçu de la méthode par laquelle Aronhold a démontré (^Monatsherichte de Berlin, p. 499 ; i864) qu'étant données sept droites arbitraires, on peut trouver une quartique qui ait ces droites pour bitangentes et dont les autres bitangentes peuvent se déterminer par des constructions linéaires. La méthode repose sur les propriétés d'un système de courbes de la troisième classe ayant sept tangentes communes; mais il semble à propos de les établir d'abord sous la forme réciproque avec laquelle le lecteur est plus familier, c'est-à-dire de les déduire comme propriétés d'un système de cubiques passant par sept points donnés.

1° Considérons une cubique quelconque du système; si l'on joint le huitième et le neuvième point ou elle est coupée par une autre cubique du système, la droite qui réunit ces points passe par un point fixe de la première cubique, qui est le corésiduel des sept points donnés (n^ 160).

2° Par un point arbitraire 8, on ne peut décrire qu'une seule cubique pour laquelle ce point soit le corésiduel des sept points donnés; car toutes les cubiques du système qui passent par le point 8 passent par un autre point fixe 9 et, par définition, le corésiduel est le point où la droite qui joint ces points rencontre de nouveau la courbe. Si donc le corésiduel doit coïncider avec le point 8, la cubique devra être la courbe qui est déterminée par la condition d'avoir la droite 89 pour tangente au point 8.

3^^ On peut décrire quatre cubiques du système de manière qu'elles soient tangentes à une cubique donnée du sys-

Hosted by

332 CHAPITRE Vï.

tèroe; les points de contact sont évidemment les points de contact des tangentes menées à la cubique par le point corésiduel.

4° Si les points 8,9 coïncident, c'est-à-dire si les cubiques sont tangentes, l'enveloppe de la tangente commune est une courbe de quatrième classe. En effet, examinons combien de ces droites peuvent passer par un point P pris d'une manière arbitraire. Supposons une cubique décrite par P et par les points 8,9; alors, par définition, le point P est le point corésiduel sur cette cubique et, d'après (2), cette cubique, ayant P pour corésiduel, est une courbe parfaitement déterminée. Nous voyons alors, d'après (3), que l'enveloppe en question est de la quatrième classe; les quatre tangentes passant par P se trouvent en cherchant la cubique qui a P pour corésiduel et menant de ce point les quatre tangentes à cette cubique,

5° Le point P appartiendra à la courbe enveloppe, si deux des tangentes menées par lui coïncident; mais de la construction qu'on vient de donner il résulte que ceci ne peut arriver que lorsque la courbe qui a P pour corésiduel a un ïiœud; car, dans ce cas, deux tangentes coïncident avec la droite qui joint P au nœud. Donc l'enveloppe que nous considérons peut aussi se définir comme lieu du corésiduel du système donné de points pour toutes les cubiques nodales du système.

6° Si la cubique passant par les sept points se décompose en une conique passant par cinq d'entre eux et une droite joignant les deux autres, elle a deux nœuds qui sont les intersections de la droite et de la conique. Une autre cubic[ue quelconque du système rencontre cette cubique complexe en deux points, l'un sur la droite, l'autre sur la conique, et le corésiduel est le point P où la droite qui joint ces deux points rencontre de nouveau la conique. Dans ce cas, P est un point double, c{ui a pour tangentes les droites qui le joignent aux intersections de la conique avec la droite. Mais sept points

GOURCES I)U QUATRIÈME ORDRE. 333

peuvent se diviser de 21 manières en un système de deux points et un autre de cinq points. La courbe que nous considérons a donc 21 points doubles, un sur chacune des 21 coniques déterminées par cinq des points donnés.

7^ De plus, les sept points eux-mêmes sont des points doubles de la même courbe ; car, par six des points donnés, on peut décrire une cubique ayant le septième pour point double, et il est facile de voir que le point double est le corésiduel pour cette cubique. Les quatre tangentes qu'on peut mener de ce point à la cubique se réduisent à deux couples de tangentes coïncidentes; ce sont les tangentes à la cubique au point double. La courbe enveloppe a donc 28 points doubles^ dont 7 sont les 'j points donnés; le couple de tangentes en chacun de ces sept points est le même que celui de la cubique du système qui a ce point pour point double.

264. 1° Réciproquement, si nous avons un système de courbes de la troisième classe tangentes à sept droites données, et si nous considérons une courbe quelconque du système, la huitième et la neuvième tangente communes à celle-ci et à une autre courbe du système se coupent sur une tangente fixe de la courbe qu'on a choisie, et cette tangente peut s'appeler la corésiduelle pour cette courbe des sept tangentes données.

2^ Il y a une courbe du système qui correspond à une droite arbitraire, et qui a elle-même cette droite comme corésiduelle dés tangentes données.

3" Une courbe quelconque du système est touchée par quatre autres courbes; les points de contact sont ceux où la tangente corésiduelle rencontre de nouveau la courbe, qui, étant une courbe générale de la troisième classe, est du sixième degré.

4'' Le lieu des points où deux courbes du système sont tangentes est une courbe du quatrième degré; les points où une droite quelconque rencontre ce lieu sont les quatre points

Hosted by

OÙ elle rencontre la courbe dont elle est tangente corésiduelle.

5° Si la courbe de la ^xoisième classe a une bitangente, la

corésiduelle pour cette courbe est tangente au lieu et le point

de contact est l'intersection de la corésiduelle et de la bitan-

6^ Si la courbe se compose d'une conique tangente à cinq des tangentes données et d'un point, intersection des deux autres tangentes, la corésiduelle pour ce système sera une bi tangente au lieu. 11 y aura 'j.i de ces bi tangentes.

n^ De plus, les sept droites données elles-mêmes sont des, bitangentes ; les points de contact sont les mêmes que ceux où une d'entre elles est tangente à la courbe de la troisième classe ayant cette droite pour bitangente et les six autres droites données comme tangentes ordinaires (^).

26S. Étant données les sept bitangentes, nous pouvons maintenant, comme nous l'avons annoncé, en déduire les autres par des constructions linéaires. Nous avons par le fait à construire les tangentes corésiduelles pour les différents systèmes 1^345; 67... dans lesquels i2343 représente la conique tangente aux cinq premières droites et où 6y est le point d'intersection des deux autres droites. Mais les deux systèmes 12345,67 et 12346,57 ont évidemment sept tangentes communes et les autres tangentes communes sont celles qui sont menées du point Sj à 12345 et du point 67 à 12346. Or, le théorème de Brianclion nous permet, étant donné un

(^) Le point de contact de chacune des sept droites données avec le lieu étant ainsi donné, nous, avons quatorze points de la quartique qui est alors complètement déterminée et il n'y a qu'une seule quartique satisfaisant aux conditions imposées. Il peut cependant y avoir plusieurs quartiques ayant les sept droites données comme bitangentes; celle qui est déterminée par la méthode d'Aronhold les a comme bitangentes sans relations entre elles; elles sont telles, par exemple, que trois d'entre elles n'appartiennent pas au môme groupe.

Hosted by

point sur une tangente à une conique, de trouver l'autre tangente par des constructions linéaires. Ces deux, tangentes étant ainsi construites et leur intersection trouvée, les tangentes restantes menées de ce point à chacune des coniques en question seront les deux corésiduelles cherchées, et par conséquent deux bitangentes. Ou autrement, si nous considérons les trois systèmes 12345,67; 12346,57; 12347,56, et si nous déterminons de la manière qu'on vient d'indiquer la huitième et la neuvième tangente restante, communes à chaque couple de systèmes, les trois intersections de ces couples de tangentes jointes entre elles donneront trois des bitangentes cherchées. La bitangente qui est la corésiduelle du système 12343 ,67 peut s'appeler la bitangente (67); et, de cette manière, les vingt et une bitangentes peuvent se représenter par des combinaisons des symboles i, 2, 3, 4? 5, 6, 7. Nous avons en plus les sept droites données; si nous introduisons un nouveau symbole 8 par raison de symétrie, et si nous représentons ces dernières par (18), (28), (38), (48), (58), (68), (78), nous serons conduits, par la méthode d'Aronhold, à un algorithme identique à celui de Hesse.

266. L'intersection des huitième et neuvième tangentes communes à deux courbes quelconques du système est un point par lequel passe la tangente corésiduelle à chacune de ces courbes. Considérons les systèmes cubiques complexes 12, 34567; 34, 12567; une des tangentes communes est la droite qui joint les points 12, 34, c'est-à-dire, dans l'algorithme qu'on vient d'indiquer, la droite qui unit les intersections des droites (18), (28); (38), (48), et nous voyons maintenant que celte droite passe par l'intersection des corésiduelles des deux systèmes queFon considère, c'est-à-dire par le point (i 2), (34). Nous arrivons de cette manière au théorème déjà démontré (n" 258), que les points df intersection des droitesiii)^ (^-8)5 (38) (48)5 (i2))(34) ^^^^^ situés sur une même ligne droite;

Hosted by

el le n° 262 montre que, par une substitution ordinaire ou bifide, nous pourrons trouver 5o4o droites possédant la même propriété.

267. Nous terminons en donnant les recherches algébriques d'Aronhold pour trouver l'équation de la quartique, engendrée suivant sa méthode. Prenons des coordonnées tangentielles a, [3, y; et soient?^, i^, w des fonctions linéaires quelconques de ces quantités^ telles que a a + Z?p -1- cy, ... ; les équations

représentent alors trois coniques ayant quatre tangentes communes et dont chacune est tangente à un côté du triangle de référence, et

a(Pc^ — ^(w)=zo, P(T^ — aw)=o, ^{{aii — pç^)=ro

représentent trois courbes de la troisième classe ayant sept tangentes communes, qui sont les quatre tangentes communes aux coniques et les côtés du triangle de référence. Toute autre cubique ayant les sept mêmes tangentes communes sera de la forme

dans laquelle u^ , ^', pp^^sont des constantes arbitraires qui sont supposées être de la forme aa^+ è [3^ + cy^ . . . a^, [3^, y^ étant les coordonnées d'une droite arbitraire. En écrivant l'équalion ci-dessus sous la forme

elle est évidemment satisfaite par les coordonnées cf! , ^\ y^ qui sont, en conséquence, celles d'une tangente à la courbe. Et de plus cette tangente est la corésiduelle pour cette courbe ;

Hosted by

COURBES DU QUATRIÈME ORDRE. SSy

car nous. trouverons les autres tangentes passant par un point de cette droite en remplaçant dans l'équation ci-dessus a par la/ H- [Ka!\ .... L'équation devient alors divisible par ^^ et, après la division, il vient

ia' +

la symétrie de l'équation montre que les couples de tangentes sont les mêmes que ceux qu'on peut mener par l'intersection des droites aJ^'^'^ cf!'^"^ ^^^^ courbes

lé'

Ainsi a^p^Y^ a'^p'^y'^ étant respectivement les troisièmes tangentes menées à chaque courbe par l'intersection des huitième et neuvième tangentes communes aux deux courbes, ^iles sont, par définition , les tangentes corésiduelles. Les deux courbes seront tangentes à la condition que l'équation quadratique en \ et ^ ait des racines égales, ou bien, si nous représentons par P, Q, R les coefficients de cette équation, elles seront tangentes si Q- = 4RP*

Si nous représentons par X, Y, Z les déterminants mi-

avoE

p=: PYX+ y«'Y+ a'p'z,

Q-^(PY+P'TOX-f-(fa'^-i-/aOY+(a7/ + a^'P')Z, Rziz: PYX+ fVY+ ^'^"T.,

Mais, à la place de PY" ?" M f^^' — f ^- ^^-'i^' — ^''P^ «^^^ S. — Courbes planes. 22

Hosted by

j)ouvons écrire j^^y^z^ ces quantités étant les coordonnées ponctuelles du point d'intersection des deux droites, c/J , [3^, Y^ a'^, <^% f. L'équation Q^ =: 4PR équivaut à

^2X2 | y2Y2 | ^2^2 __ 27^YZ — IZXZX. — 1 XfXY =1 o ou

Il faut se rappeler que X est égal à i^Uv" — /f^^, et, si nous remplaçons ces quantités par leurs valeurs

P' rzr a'a' + b'^' + c'^i', w' = a"^' 4- b" ^' + c" ^ .

^>" =::-- o! :i!' + Z>' p" 4-- c' y' , ^v" = Cl" ^' -+- b" ^" + c'^ Y% nous avons

X ^'-{yd'— b"c')œ + {c'a" — d'à') y + {a' b"— a"b')z. De même,

Z-—{bc' — y c) X -\- {ca' — c'a)y -\-{ab' — «'6)5.

Ainsi X, Y, Z représentent des droites connues. Ce sont, parle fait, les côtés du triangle dont les sommets sont w, ç', ç^>. On remarquera que les coefficients dans X, Y, Z sont les éléments du déterminant réciproque de celui qui est formé des coefficients de u^ ^5 ^; en sorte que, si l'on avait primitivement donné X, Y, Z, on aurait trouvé u^ (^, w par des formules analogues.

268. La même recherche donnerait des résultats également exacts, si les équations des trois coniques avaient été /a^^ = jn^v^=n^w. Les valeurs de X, Y, Z resteraient les mêmes que ci-dessus, mais nous aurions

et l'équation serait

\j innx X --}- \l nly Y + sj Imz Z = o.

Hosted by

QUÂRTIQUES BINODÀLES ET BICIRGUL AIRE S. SSq

(]'est la forme la plus générale de l'équation d'une quartique ayant trois couples de lignes ^, X, ... comme couples de Ijitangentes du même groupe. Si l'on nous donnait une septième bitangente, /, m, n seraient complètement déterminés parles coordonnées de cette bitangente, à savoir

d'où il résulte que mn^ nl^ Im sont respectivement proportionnels à a'z/, jîV^, -^w^ , Si donc on nous demande de décrire une quartique ayant sept droites données comme hltangentes, en outre de la quartique déterminée (n*" 265) dans l'hypothèse que deux tangentes n'appartiennent pas au même groupe, nous pouvons en décrire (7 x i5)r==: io5 autres en suivant la méthode de ce numéro, c'est-à-dire en laissant de côté une des sept droites et en divisant les six droites restantes en trois couples, ce qu'on peut faire de quinze manières différentes.

QUARTIQUES BINODALES ET BICIRCULAIRES.

269. En dehors de ce qui se rapporte aux bitangentes, la théorie des quartiques non singulières a été peu étudiée et ce qui nous reste à dire sur ce sujet sera donné dans la dernière Section de ce Chapitre, où nous parlerons des invariants et covariants. Pour compléter la théorie des bitangentes, nous devrions considérer les modifications qu'éprouve cette théorie quand une courbe a un ou plusieurs points doubles. Cependant le cas où la quartique n'a qu'un nœud n'a pas attiré l'attention et ne sera pas discuté ici. Les quartiques qui ont deux nœuds, et pour lesquelles ces points sont les points circulaires de l'infini, ont été l'objet d'études approfondies (^)

(^) Foi>, en particulier, le Mémoire du D' Casey : Transactions of Royal Irish Acade7ny,\o\. XXIV, p. 1^5^; 1869.

Hosted by

34o GHAPITllE VI.

SOUS le nom Ae quartiques bicirculaù^es;iiO\x?> allons indiquer ici quelques-uns des principaux résultats obtenus. Toutes les propriétés projectives trouvées pour les quartiques bicirculaires peuvent aussi s'énoncer et se démontrer pour les quartiques binodales; mais nous croyons plus convenable de donner quelques-uns de ces résultats sous leur forme originale; le lecteur n'éprouvera aucune difficulté à faire la généralisation qui convient. Les quartiques qui ont les deux points circulaires comme points de rebroussement ont aussi été beaucoup étudiées sous le nom de Cartésiennes (^), et leurs propriétés peuvent être généralisées et établies comme propriétés de quartiques bicuspidales. Si une quartique a l'un des points circulaires pour point de rebroussement et l'autre pour point double ou nodal, elle ne peut être réelle; en conséquence, ce cas a été peu étudié, et nous aurons aussi peu à dire sur les propriétés des quartiques qui possèdent un nœud et un point de rebroussement.

270. De chacun des deux nœuds d'une quartique binodale on peut mener quatre tangentes à la courbe (n^ 79) ; nous allons démontrer que les rapports anharmoniques de ces deux (aisceaux sont égaux. L'équation générale d'une quartique avant pour nœuds les points d'intersection de la droite z avec les droites x et /est

x'^-y^-^ 1 xyz ( lœ H- my )

-h z^{ajj^ -+- by^ -H cz^ -h '^fyz -\- 2 gzx -f- 2 hxy) =1 o.

Les couples de tangentes aux points doubles sont donnés par les équations

x'^ -h 2 mxz + bz^ z= o, y^ -H 2 lyz -h az'^ = o, et nous ne perdons rien en généralité en supposant que / et m

( ' ) Voir CriASLEs, Aperçu historique, p . 35o; Quételet, Nouveaux Mémoires de Bruxelles, t. V; Cayley, Journal de Liouville, t. XV, p. 354.

Hosted by

QUARÏIQUES BÎNODÀLES ET B I CI RC U L AIRES. 3^ I

soient tous deux égaux à zéro; ceci revient à admettre qu'on a pris pour droites j^ et ^ les droites harmoniques conjuguées, par rapport au couple de tangentes en chaque nœud, de la droite z qui joint ces points. Ordonnons maintenant l'équation de la quartique

72(^2 ^ bz'-)-}-2yz^{/z 4- h^) -Y- z\aœ'- -+~ i gzx -|- cz'') — : o;

nous trouvons immédiatement que les quatre tangentes menées par le nœud zx sont données par l'équation

{x'- -f- bz^ (ax'' + 2 gzx + cz'^) ■=. -s^ (/s + hx)\

ax^' -\- 2gx^z + (c -f- ab — ]i'-)'x'^z'^

-\- i{bg ~ hf)z^x -+- {bc — f^)z^-=zo.

Les invariants de cette quartique sont

l = abc — af — hg^'-^fgh -4- -ï^(c -\- ab — Jf^)\ 6i = {abc-~af'~^ bg^ -1- ^,fgh){c -i- ab — h'^)

^\h\ap-^bg^)-^Zabfgh^\Pg^'-.^^{c^ab~h)K

Ces valeurs sont symétriques en a et 6,/ et g^ et nous vojons par là c|u'elles sont les mêmes que celles des invariants de la quartique qui correspond au faisceau de tangentes issues du nœudjK^, et que par conséquent les deux faisceaux sont homographiques.

271. Il en résulte immédiatement, comme dans le n^ 168, qu'on peut faire passer une conique par les deux nœuds et les quatre points où chaque tangente menée par un nœud rencontre la tangente correspondante menée par l'autre; et comme il y a, de plus, quatre ordres suivant lesquels on peut prendre les rayons du second faisceau sans altérer le rapport anharmonique, on voit que les seize points d'intersection du premier système de tangentes avec le second se trouvent sur quatre coniques, qui passent chacune par les deux nœuds.

Hosted by

Quand la quartique est bicirculaire, c'est-à-dire quand les deux nœuds sont les points circulaires de l'infini, ce théorème devient le suivant : Les seize foyers dJune quartique bicirculaire se trouvent sur quatre cercles, et chaciue cercle en contient quatre (^). Il faut remarquer que l'une quelconque des coniques passant par les deux nœuds peut se décomposer en une droite et en la droite qui joint les nœuds, en sorte que quatre des foyers d'une quartique bicirculaire peuvent se trouver sur une ligne droite.

272. Nous avons déjà établi que l'équation d'une quartique quelconque peut, d'une infinité de manières, se mettre sous la forme

aU^ + ^^V^ + cW^ -H 2/VW ^ 2^WU -h 2 /iUV — o, ■

U, V, W étant trois coniques. Si la quartique est non singulière, les trois coniques ne peuvent avoir de point commun, puisqu'il est évident que tout point commun à U, V, W doit être un point double de la quartique dont nous avons écrit l'équation. Dans le cas de quartiques binodales, U, V, W peuvent être considérées comme trois coniques passant chacune par les deux nœuds, et, quand ces nœuds sont les points circulaires de l'infini U, V, W sont trois cercles. Nous ne perdons rien en généralité en nous contentant d'étudier l'équation UW = V^ à laquelle on peut, comme dans la théorie des coniques, ramener l'équation précédente d'une infinité de manières. On peut, par exemple, l'écrire

(aU + ^W + AY)^

(^) En réalité, ce théorème, qui est dû au D"" Hart, a été obtenu le premier, et Ton en a déduit le théorème du n° 270. La démonstration donnée ici est en substance la même que celle de M. Gayley. Voir son Mémoire sur les Courbes polyzonales {Edimbourg Transactions, 1869).

Hosted by

QUARTFQUES BINODALES ET BI CIRCULAIRE S. 343

OÙ le second membre de l'équation se décompose en facteurs. On peut, parconséquent, discuterles quartiquesbicirculaires et binodales en considérant la forme UW =: V^ et en regardant la quartique comme l'enveloppe de )v^ U + 2 X V + W = o , dans laquelle U, V, Wsont, dans le premier cas, des cercles, et^ dans le second, des coniques passant par les nœuds; et il est nécessaire d'examiner seulement comment cette limitation modifie les résultats déjà obtenus (n°^ 251 et suivants).

273. Quand trois coniques ont deux points communs, leur Jacobienne se décompose en une droite joignant ces points et en une conique qui passe par ces mêmes points ; et quand les trois coniques sont des cercles, la conique Jacobienne est le cercle qui les coupe à angle droit (Sections coniqueSy n"" 383, Ex, 3). La Jacobienne étant un déterminant, la Jacobienne de aV+ PV + yW= 0 est la même que celle de U, V, W, et, quand U, V, W sont des cercles, tous les cercles compris dans cette équation ont un cercle orthogonal commun.

Si U, V, W sont des cercles, ayant pour coordonnées de leurs centres x^ y^ z^ , Xo y 2 ^2/ ^3 JKs ^3, les coordonnées du centre de X^Uh- 2XV + W seront porportionnelles à

l^X^-\-2lX2-\- X^, X^/i + 2Xj2-l-73j X-^i-h2X^2+'^35

et le lieu du centre, quand X varie, sera évidemment une conique. Donc la quartique UW = V^ peut être regardée comme l'enveloppe d'un cercle dont le centre se meut sur une conique fixe F ( ' ) et qui coupe orthogonalement un cercle J. Dans le cas plus général d'une quartique binodale, U, V, W étant des coniques passant par les points fixes, U W= V^ est l'enveloppe de la conique variable X2U+ 2 W+ W qui passe par les points fixes; toutes les coniques variables

(') M. Gasey a démonlré que les foyers de cette conique sont les mômes que les foyers doubles de la quartique.

Hosted by

ont une conique Jacobienne commune, et le pôle, par rapport à l'une quelconque d'entre elles, de la droite qui joint les points fixes se meut sur une conique fi's.e F.

274. La nature de la quartique se modifiera s'il existe des relations particulières entre la conique F et la Jacobienne. Ainsi, si F est tangente à la Jacobienne, le point de contact constituera un nœud de plus sur la quartique, et, si F est deux fois tangente à la Jacobienne, chaque point de contact sera un nœud, c'est-à-dire que la quartique se décomposera en deux coniques, passant chacune par les points fixes. De même, ai F passe par un des points fixes^, ce point, au lieu d'être un nœud sur la quartique, sera un point de rebroussement et, si F passe par les deux points, tous deux seront des points de rebroussement et nous aurons une quartique bicuspidale. Ainsi, dans le cas de quartiques bicirculaires, si la conique F, qui est le lieu des centres, est un cercle, la quartique, ayant pour points de rebroussements les points circulaires à l'infini, sera une Cartésienne.

Si la conique F est tangente à la droite qui joint les points, cette droite devient partie intégrante de la quartique. Ainsi, dans le cas des quartiques bicirculaires, si la conique F esl une parabole, la quartique dégénère en une cubique circulaire, jointe à la droite de l'infini.

Si les centres de U, V, W sont situés sur une droite, la Jacobienne se réduit à la droite qui joint les centres.

275. Revenons maintenant à l'équation UW =; V^. Nous avons vu qu'il y a en général six valeurs de X pour le., quelles )v'-U + 2 )^V + W se décompose en facteurs et que les droites représentées par les différents facteurs sont des bitangentes de la quartique UW = V^. Mais, quand U, V, W passent toutes par deux points fixes, X^U + 2AV + W, qui représente une courbe passant par les mêmes points, doit, si

Hosted by

QUARTIQUES BINODALES ET BICIRGULAIRES. 345

elle représente des droites, se composer de deux droites dont une passe par chaque point, ou bien de la droite joignant les points et d'une autre droite. Dans le premier cas, les deux droites ne sont pas des bitangentes proprement dites de la quartique UW = V^, mais des tangentes ordinaires passant par un nœud (toute droite passant par un nœud étant une tangente); dans le dernier cas, une des deux droites est une bitangente proprement dite ; l'autre est la droite qui joint les points. Parmi les six valeurs de ^, il n'y en a que deux qui correspondent au cas des bitangentes proprement dites. Car «i L est la corde commune à U, V, W, V et W seront respectivement alors de la forme aU -f- LM, 6U + LN; et Î^U + aXVH-W aura L pour facteur, si 1 est une des racines de l'équation 1'^ + 2'ka -f- è = o. Ainsi, dans le cas de quartiques bicirculaires, quand U, V, W représentent des cercles, il y a évidemment deux valeurs de X pour lesquelles le coefficient de x^ +y^ s'annule dansT^^U + 2XV-4- W = 0 et, pour chacune de ces valeurs, l'équation représente une droite bitangente à la quartique UW = V2. Nous pouvons déduire géométriquement ce même résultat de la construction du n^ 273. Si le cercle T^^U + 2XV -h W devient une ligne droite, son centre passe à l'infini et doit par conséquent être le point à l'infini sur une des deux asymptotes de la conique F; les deux bitangentes sont les deux perpendiculaires abaissées du centre de la Jacobienne sur ces asymptotes.

Dans chacun des quatre autres cas oà le discriminant de X2U + 2XV-1-W= o est nul, l'équation représente un couple de tangentes à la quartique, qui passent chacune par un des points circulaires à l'infini et dont l'intersection est par conséquent un foyer de la quartique; ou bien, ce qui revient au même, )v-U H- 2)vV -+- W est un cercle infiniment petit dont le centre est le foyer et qui a un double contact avec la quartique. Si l'un des deux cercles orthogonaux se

Hosted by

346 GIIÂPITRK VI.

réduit à un point, ce point doit être situé sur l'autre cercle; si donc A^U |« 2XV -h W se réduit à un point, celui-ci doit être sur le cercle Jacobien de U, V, W. Nous avons par conséquent quatre foyers : ce sont les intersections de ce cercle Jacobien avec la conique F qui est elle-même le lieu des centres des cercles contenus dans l'équation

X2U-|-2Xy-h-W=::0,

et qui peut par conséquent s'appeler une conique focale.

Les quatre points où le cercle Jacobien rencontre la quartiqu e seront les points où les cercles du système 7^^ U + 2XV -j- W coupent la quartiqueen quatre points consécutifs (n°251).

Il y a quatre manières de ramener l'équation d'une quartique bicirculaire donnée à la forme UW = V^. A chacune d'elles correspondent quatre foyers, deux bitangentes et quatre points cycliques ou points de la courbe où quatre points consécutifs sont situés sur un cercle [voir n° 114); la quar- LÎque a en tout seize foyers, huit bitangentes et seize points cycliques.

276. Si l'on prend pour origine un des foyers de la quartique, l'équation de cette courbe peut se mettre sous la forme (^^^^2^^ __ Y2^ dans laquelle V et W représentent des cercles, et la quartique est l'enveloppe de

En outre de la valeur X= o, il y a trois autres valeurs de 1 pour lesquelles ce cercle variable se réduit à un point; et une de ces valeurs doit être réelle. Nous pourrons alors écrire l'équation sous la forme

ou bien, en d'autres termes, quand nous avons un foyer, nous pouvons de suite mettre l'équation de la quartique sous

Hosted by

QUARTIQUES BKNODALES ET B ICIRCUL AIRE S. 347

la forme AB = V^, A et B étant des points-cercles. Les quartiques biclrculaires peuvent se diviser en deux classes, suivant que les deux autres valeurs de X pour lesquelles A4-2).V + X2W^ se réduit à un point-cercle sont réelles ou imaginaires, ou, en d'autres termes, suivant que les quatre fojers réels sont ou ne sont pas sur un même cercle. Dans le premier cas, soit G un des deux points-cercles, et, comme dans le n^ 257, éliminons V entre les équations AB = V^ et A -h alV + X-B = G; nous voyons que l'équation de la quartique peut être écrite sous la forme

c'est-à-dire que cette courbe est le lieu d'un point tel que ses distances à trois points fixes sont liées par la relation

/p -i-7np'-h n^" =0.

La conditioQ pour que / y/A+ m y^B + n y'G soit tangente

à 'XA+[AB-|-vGest(AS'é?c^. coniques, n^ 130)- H 1 = o,

et, si A, B, G sont des points-cercles et a, 6, c les longueurs des droites qui joignent ces points, il est facile de vérifier que

le discriminant de)^ A H- u B -|- v G s'annulera si -^- H 1- - = o.

Les deux équations qu'on vient de donner déterminent À, [j., v

et par conséquent le quatrième foyer.

Nous avons vu {Sect. coniques ^ n° 94) que, si A, B, G, D sont

quatre points-cercles, nous avons identiquement

bcd, A -f- cela . B -H dah . G H- aZ?c . D rrz o,

abc étant l'aire du triangle dont les sommets sont a, 6, c. Donc X, [A, V sont proportionnels aux aires des triangles formés par le quatrième foyer et chaque couple de deux des trois autres foyers. Dans le cas où les trois points a, 6, c sont en ligne droite, on peut facilement démontrer que les carrés des

348 CHAPITRE YI.

ilislances d'un point quelconque à qualre points en ligne droite sont liés par l'équation

ab.ac.ad ha.bc.db ca.cb.cd da.db.dc

iNous voyons ainsi que les inverses de \^ pi, v sont proportionnels kab ,ac. ad^ ba,bc, bd^ ca.cb , cd, et que nous avons l'équation