V- ,ab .ac.ad^ mr^ ba.bc.bd~\- n- ca.cb.cd = o

Si nous avions

l"^ .ab.ac-\- mP- .ba.bc ^ nr .ca.cb ^=1 o,

Ï€ quatrième foyer serait à l'infini et la courbe serait une Cartésienne.

277. Etant donnés quatre foy ers concy cliques d' une quartique hicirculaire, on peut mener deux de ces quartlques par un point quelconque j et ces courbes se coupent à angle i^roit. Si l'on nous donne le quatrième foyer, nous connaî- Irons ainsi les valeurs de X, [Ji,v pour lesquelles )v A + piB + vC, se réduit à un point; et nous pouvons évidemment trouver deux systèmes de valeurs de /, m, n qui satisfassent aux équations

1 \ =0, Ip -h mp' -\-np" = 0,

(JL |JL V i i i

dans lesquelles p, p', p'^, ou y/A, y'B, y/G représentent les distances de trois foyers au point supposé donné sur la courbe.

Deux quartiques

VÂ+ m <^/B + nsJC=z o, l' v^Â-h m' s/B -^ n' y/G = o seront homofocales si

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QUÂHTIQUES BINODALES ET Bl GIRG ULÂ l RE S. 34^

comme on le voit immédiatement en éliminant \ [i,, v entre les trois équations

A (J. V A [JL V A (i. V

Afin de trouver ensuite la condition pour que les quartlques se coupent à angle droit, nous devons admettre, et le lecteur le vérifiera sans difficulté, que si A, B, C sont des points-cercles et si a, 6, c ont la même signification que cidessus, la condition pourquelA+p-B + vG, VA+[a^B + v^C ce coupent à angle droit est

Nous observerons de plus, comme dans les Sections coniques ^ n^ 130, qu'en tout point pour lequel les valeurs de

y/A, y/B, \JG sont respectivement p, p^, p'', la quartique /y/A + m y/B + n sjG sera tangente au cercle

La condition pour que ce cercle coupe orthogonalemenl k cercle tangent à /^y/A + 77z'y/B -{- /2\/G est

^ mn' 4- m^ n , ,-, /?/^ -r- n' l , Jni' -4- V m

mais, en résolvant les deux équations

/p + mp' ^ np" =10, l' p ~\- m' p' 4- n' p" = o,

nous trouvons que p, p^, p'^ sont respectivement proportionnels à mnl — ni! n^ ni! — n! l^ Inî — I! m. Portons ces valeurs dans Féquation précédente et nous verrons que la condition pour que les cercles se coupent orthogonalement est

O} ( /n- Al'2 — m'2 ^2 ^) ^ ^2 ( ^2 //2 __ ^/2 ^2 ) j ^2 (^ /2 ,^^/2 ^/2 ,^.^2 ) __ ^^

C'est la condition qu'on a déjà obtenue pour que les coniques

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35ô CHAPITRE VI.

soient homofocales; le théorème énoncé est donc démontré. Il ne paraît pas nécessaire, pour Texactitude delà démonstration, que G soit réel; il est donc prouvé que les quartiques homofocales se coupent àangle droit, même quand les quatre (bjers réels ne sont pas situés sur un même cercle.

278. Le théorème du n^ 277 a été originairement obtenu par le D"" Hart à l'aide de considérations géométriques pour le cas de la cubique circulaire. Si nous cherchons le lieu d'un point dont les distances à trois points fixes donnés soient liées par la relation /p -4- /?ip^-f- 7ip^^= o, nous trouverons que le coefficient de (x- -^y-)' est égal à

En conséquence, le lieu qui est une quartique bicirculaire en général se réduit à une cubique circulaire si / dz m ±71 = 0, et les théorèmes déjà démontrés ici pour les quartiques bicirculaires sont vrais pour les cubiques circulaires; ces courbes ont aussi seize foyers, qui en général sont situés sur quatre cercles. La démonstration du D'' Hart, qui a été donnée tout au long dans l'édition précédente, montre que, si O, P, Qsont les centres du quadrangle formé par les quatre foyers A, B, G, D, la cubique doit passer par ces points; la tangente en l'un d'eux est l'une des bissectrices de l'angle formé par les droites d'intersection AG, BD, et cette droite est aussi parallèle à l'asymptote réelle de la cubique; elle établit aussi que la cubique passe par R-, centre du cercle focal, la tangente en ce point étant aussi parallèle à la même asymptote ( ^ ). Gomme O, P, Q, R sont alors les points de contact de tangentes issues d'un même point de la courbe, le point où OP rencontre QR (ou le pied de la perpendiculaire abaissée de O

(') Ainsi les centres des quatre cercles focaux d'une cubique circulaire sont les points de contact des tangentes parallèles à l'asymptote.

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QUARTIQUES BINODALES ET BICIRCUL AI RES. 35l

sLir QPt) est aussi un point de la courbe (n° 150). Il en est de même pour les points où OQ rencontre PR et où OR rencontre PQ. On peut démontrer aussi que les tangentes en ces

Fis. 47-

points aux deux cubiques qui y passent se coupent à angle droit. Ainsi les sept points communs aux deux cubiques qui ont A., B, G, D pour foyers sont déterminés par des constructions simples, etnous pouvons arriverparprojectionà des théorèmes dont quelques-uns ont déjà été énoncés; par exemple (n^ 152), si des tangentes correspondantes prises en ordre quelconque et issues de deux points I, J se coupent mutuellement aux points A, B, G, D, les centres du quadrangle formé par ces points seront aussi des points de la cubique ; et ils ont pour point tangentiel commun le point où IJ rencontre de nouveau la courbe; le point de contact de la quatrième tan-

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gente menée par ce point sera le pôle de IJ par rapport à la conique passant par les points A, B, C, D, I, J.

279. La méthode par laquelle le D'' Hart a démontré ces théorèmes consistait à montrer que, les foyers étant donnés, les relations établies dans le n® 276, combinées avec la condition l -{- n^= m suffisent pour déterminer /, m, n et qu'en représentant par a, by c, d les distances de O aux quatre foyers la courbe doit jouir de la propriété exprimée par la

relation

{b -\- c) p ±.{a — b) ^" — ±{a ^ c)ç>' ou

(c — ^) p ±:(a H- Z>)p^^z=: iiz(a -f- c) p^

Chaque coefficient est affecté d'un double signe, parce que Féquation /p -f- mp' + 7ip'^= o, débarrassée de radicaux, ne contient que les carrés de /, m, n. Les deux équations correspondent à deux cubiques différentes ayant pour foyers les points donnés ; les signes diff'érents se rapportent aux branches diff"érentes de la même cubique. Le signe supérieur s'applique à une branche qui s'étend à l'infini ; en efî'et, l'équation est alors satisfaite par les valeurs p = p^ = p^^, qui sont vraies pour un point infiniment éloigné. Le centre du cercle focal est évidemment situé sur cette branche. Les signes inférieurs correspondent à un ovale, car les équations ne sont plus satisfaites alors par p = p' = p'\ Comme ces équations sont vérifiées par les valeurs a, fe, c, attribuées à p, p', p^', nous voyons que O est un point de la cubique.

Nous avons de même les relations

[c — d)^ ±.{a -^ d)f =: ±.{a + c) f ou

(c -\- d)^±.{a~d)f=i zb(a H-c)p''^,

et, en combinant les équations, il vient

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Autrement- dit, les deux cubiques constituent le lieu de rintersection de deux coniques semblables dont les foyers sont respectivement A et G, BetD. Les coniques semblables, qui se coupent en O, ont évidemment pour tangente commune une des bissectrices des angles en O ; celles-ci sont donc, comme on l'a énoncé, les tangentes aux deux cubiques qui constituent le lieu et qui par conséquent se coupent à angle droit.

280, Les quartiques bicuspidales peuvent être considérées comme un cas limite de quartiques binodales. Dans le cas où les deux rebroussements sont les points circulaires 1, J, à l'infini, la courbe s'appelle une Cartésienne. Descartes a étudié celte courbe (connue d'après cela sous le nom d'ovale de Descartes) en la considérant comme lieu d'un point O, dont les distances à deux points fixes A, B sont liées par la relation Ip ± mp' =.c. M. Ghasles a démontré, et on peut le vérifier sans difficulté, que, tant que cette relation subsiste, on peut trouver sur la ligne AB un troisième point G dont la distance à O satisfait à une relation de la forme Zp ±: /2p^^=: c'

en d'autres termes, outre les foyers considérés par Descartes, l'ovale possède encore un troisième foyer jouissant de ]a même propriété. Nous employons ici le mot de Cartésienne dans un sens un peu plus étendu. Nous montrerons que, lorsqu'une quartique a deux points de rebrou ssement en I et J, elle a trois foyers situés sur une ligne droite. Quand ces foyers sont réels, la courbe est la même que celle qu'a étudiée Descartes; quand deux d'entre eux sont imaginaires, nous appellerons encore la courbe une Cartésienne^ quoique le mode de génération de Descartes ne lui soit plus applicable.

L'équation de la Gartésienne peut d'une manière générale

se mettre sous la forme S- = A^^L, dans laquelle S représente

un cercle, L une droite et k une constante ( ou, ce qui revient

au même, /c = o est la droite de l'infini). Sous cette forme,

S. — Courbes planes, 23

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354 CHAPITRE YI.

il est évident que les intersections de S et k so-nt des rebroussements, les tangentes ciispidales se rencontrant an centre de S, qui est par conséquent le foyer triple de la Cartésienne, tandis que L est évidemment une bitangente de la courbe (') Il est clair alors que cette courbe est l'enveloppe du cercle variable \^k\i + 2XS + A"^ = o, dont le centre se meut le long d'une droite perpendiculaire à L ; en égalant le discriminant à zéro, on trouve facilement qu'il y a trois valeurs de "X pour lesquelles le cercle se réduit à un point, et par conséquent il existe trois foyers. D'après la théorie déjà donnée, si A, B, G sont trois des cercles variables, l'équation de l'enveloppe peut être écrite sous la forme l y/A + my/B + n y/G = o, et conséquemment nous avons ici la propriété exprimée par la relation /p + ttz p' + nf = o, dans laquelle p, p', p'^ représentent les distances d'un point de la courbe aux trois foyers ; ou bien encore, puisque k^ est un cercle du système correspondant à la valeur X = o^ nous avons /p 4- m p'=: nk.

Une Gartésienne peut aussi être engendrée comme lieu du sommet d'un triangle, dont les angles de base se meuvent sur deux cercles fixes, tandis que les deux côtés passent par les centres des cercles, et la base par un point fixe sur la droite qui les joint.

Si une corde quelconque rencontre une Cartésienne en quatre points, la somme de leurs distances à un foyer est constante. Gar, en prenant le foyer pour pôle, l'équation polaire est, comme on le voit facilement, de la forme

p- — 2 ( <2 4- 6 ces w ) p -f- c- =: o ;

et, si nous éliminons to entre cette équation et celle d'une droite arbitraire, nous obtenons pour p une équation du quatrième degré dont le second terme a pour coefficient — ^a.

(*) Cette équation a été étudiée par M. Cayley sous la forme

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QUARTIQUES lUNODALKS ET BI CIRC U L AI U E S. 355

Quand c est égal à zéro dans l'équation qui précède, celleci devient p = a+ ècosoj, et en outre des deux rebroussenients I, J, l'équation a l'origine pour point double. Cette courbe est appelée le limaçon de Pascal; elle peut évidemment être engendrée en portant une longueur constante sur les rayons vecteurs issus d'un point d'un cercle, et à partir des points où ils rencontrent ce cercle. Si de plus a = ^, la courbe devient tricuspidale et est appelée cardioïde. Elle est engendrée comme la précédente, mais en ajoutant ou retranchant

aux rayons vecteurs une longueur égale au diamètre. L'équa-

tion peut s'écrire sous la forme p" = 7?2- cos^to.

281. Les propriétés focales que nous avons discutées peuvent être, étudiées par la méthode d'inversion (n^ 122). Il est facile de voir qu'à un foyer d'une courbe correspond un foyer de la courbe inverse et que l'origine ou centre d'inversion sera un foyer si les points I, J à l'infini sont des rebroussements. Ainsi, pour la Cartésienne- qui a trois foyers collinéaires, la courbe inverse par rapport à un point quelconque est une quartique bicirculaire ayant trois foyers sur un cercle passant par l'origine qui est aussi un foyer. En faisant l'inversion, siO est l'origine, A , B deux points et a, b les points inverses, nous devons remplacer une distance AB par -^^ tt-t- Donc aune rela-

^ ^ Oa. Ob

tion quelconque de la forme )vAP + [jlBP = C correspondra une relation de la forme Va/? + yJ .bp =^ c' ,0p] et si nous considérons une quartique bicirculaire comme l'inverse d'une Cartésienne, nous arrivons de cette manière à la propriété fondamentale des quartiques bicirculaires. D'une relation de la forme X. AP -h ]x BP + v CP = o on peut de même déduire unerelation V.a/? + [Ji\ 6/? + v^c/>. L'inverse d'une quartique bicirculaire, quand le centre d'inversion est situé surlacourbe, est une cubique circulaire qui possède par conséquent les mêmes propriétés focales. Une cubique circulaire, ou une quartique

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356 CHAPITRE YI.

bicirculaire, est sa propre inverse par rapport à un des points O, P, Q, R(n^ 278). L'angle suivantlequel deux courbes se coupent n'est pas altéré par l'inversion, et par conséquent le théorème qui nous apprend que les courbes homofocales se coupent à angle droit est démontré pour les quartiques quand il l'est pour les cubiques. L'inverse d'une conique est une quartique bicirculaire ayant l'origine pour point double additionnel; et de la propriété focale des coniques on peut déduire que les quartiques de ce genre jouissent de la propriété exprimée par la relation

ap bp ^

ici a ei b sont deux foyers et O le point double. De la même manière, en appliquant l'inversion à la propriété du foyer et de la directrice dans les coniques, nous arrivons à une autre méthode donnée par le D*^ Hart pour engendrer ce genre de quartique. Si le rayon vecteur mené d'un point fixe C à P rencontre en E un cercle fixe passant par C, et si A est un autre point ii-^e, la quartique est le lieu d'un point P pour lequel PA= PE.

l. Il existe pour la quartique binodale (^ ) une théorie de l'inscription des polygones, analogue à la théorie que Poncelet a donnée pour les coniques. Soient A, B les nœuds; partons d'un point P de la courbe et joignons-le à A, la droite AP rencontrera la courbe en un autre point, Q par exemple; joignons Q à B, la droite BQ coupera à nouveau la courbe en un autre point R; joignons ce point à A, la droite AR rencontre la courbe en S, et ainsi de suite. Nous avons ainsi en général un polygone ouvert PQRS. . . dont les côtés alternatifs PQ, RS,. . . passent par A, tandis que les autres côtés alternatifs

(') Steiner, Geometîische Lehrsàtze {Journal de Crelle, t. 32 p. i84; 1846).

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QUAUTÏQUES UN IGURS ALES. 867

passent par B. Pour une quartique binodale prise au hasard, iî n'est pas possible de trouver un point P tel qu'il existe un polygone fermé d'un nombre pair donné de côtés ; par exemple, un quadrilatère PQRSP, dont les côtés PQ, RS passent par A et les côtés QR, SP par B. Mais la quartique peut elre telle qu'il existe un polygone de l'espèce que nous considérons (pour ce qui regarde le quadrilatère, c'est évidemment le cas, puisque, en considérant un quadrilatère construit à volonté, PQRSP, et en prenant A à l'intersection de PQ, RS et B à celle de QR, SP, nous pouvons décrire une quartique passant par les points P, Q, R, S et ayant les points A et B pour points doubles) et quand il en est ainsi, c'est-à-dire quand il existe un de ces polygones, il y en a une infinité ; on peut prendre pour premier sommet un point arbitraire P situé d'une manière quelconque sur la courbe, et le polygone construit comme on l'a dit ci-dessus se fermera de luimême.

QUARTIQUES UNICURSALES.

283. Si nous prenons les points doubles pour sommets du triangle de référence, l'équation de la courbe doit se présenter sous la forme

aj^^^ + b'J' x'^ H- cx^ y^- H- 2 fx^yz H- ig y^- zx -f- 2 hz^- xy — - o,

que nous pouvons écrire

XI \y J \z ) '' yz zz- xy

Nous voyons ainsi que la quartique peut être engendrée au moyen d'une conique, dans Téquation de laquelle nous remplacerons chaque coordonnée par son inverse ; on peut donner à cette opération le nom àHiK^ersioriy en entendant ce mot dans un sens plus large que celui où nous l'avons employé

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358 CIIAPIÏRE YI.

jusqu'ici. Il est facile de représenter cette transformation par une construction géométrique. Supposons que les coordonnées d'un point soient proportionnelles aux perpendiculaires abaissées de ce point sur les côtés du triangle de référence, et soient P, P^ deux points dont les coordonnées sont liées par les relations réciproques

œ:y\zz=:y'z'',z'x': oc' y' ^ x' \ y' \ z' nu yz : zœ : œy ;

nous avons vu [Sections coniques^ n^ 55) que les droites qui unissent P, P' aux sommets du triangle font des angles égaux avec les côtés; ou, en d'autres termes [Sections coniques, n"" 384) que, si P est un foyer d'une conique tangente à^,jK, ^, F sera l'autre foyer. En général, dans cette méthode, à une position quelconque de P correspond une position unique, bien définie de P^ Si cependant nous avons ^^= o, c'est-à-dire si P' est situé quelque part sur la droite BG, jk et z sont tous deux égaux à zéro, P coïncide avec A et réciproquement A a pour correspondant un point quelconque de BG. 11 faut toutefois remarquer que, lorsque ^'=o, les valeurs dey et z qui sont respectivement égales à z'^c'^y^' ont un rapport défini z' ly', bien qu'elles s'annulent, et que par conséquent à un point quelconque P^ de BG correspond un élément passant par A et dont la direction est bien définie. Par le fait, P se trouve bien infiniment près de A, mais il est situé sur une direction donnée, qui est telle que (comme dans le cas général) AP, AP' font des angles égaux avec les côtés. Si maintenant P décrit un lieu quelconque, l'autre point P^ décrira un lieu correspondant; ainsi, si le lieu décrit par P est la ligne droite aa^ -h by + c^ = o, celui que décrit P^ sera laconique ay' z'-\-bz' x^-^-cx^y' ^=^o et réciproquement (voir Sections coniques^ n"" 297). Si a = o, c'est-à-dire si la droite passe par A, la conique se réduit k x' [bx' -^ cy.)=^ o et, en laissant de côté la droite x'=^ o ou BG, nous pouvons dire qu'à la droite by + cz correspond la droite bz' -{- cy' ;

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