QCAUTIQUES UNI CU R S ALI] S

et, comme on l'a déjà dit, si l'un des lieux est une conique, l'autre sera une quartique trinodale.

284. Étudions en détail la correspondance de la conique et de la quartique; la conique rencontre chaque côté du triangle, BG par exemple, en deux points; nous avons comme correspondants en A deux éléments de direction, qui sont les tangentes de la quartique en son nœud ou point double en A. Par conséquent, suivant que la conique rencontrera BC en deux points imaginaires, lui sera tangente ou la coupera en deux points réels, la quartique aura en A un point acnodal, cuspidal ou crunodal; il en sera de même pour les autres côtés. Ainsi, si la conique est une ellipse ou, par exemple, un cercle situé tout entier à l'intérieur du t^angle, la quartique

Fig. 49-

Fig. 5i.

sera une courbe triacnodale composée d'une figure à trois côtés située dans l'intérieur du triangle et des trois sommets comme points conjugués {fig\ 48)- Si l'ellipse est inscrite dans le

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36o CHAPITRE Vî.

triangle/ la quartique sera Iricaspidale i^fig- 49)- Si l'ellipse coupe chaque côté en deux points réels, la quartique sera tricrunodale; si sur chaque côté les intersections sont internes, nous^ aurons la y?^. 5o, tandis que, pour les' intersections externes, nous obtiendrons la//^'. 5i.

Remarquons que, dans le passage d'une forme à une autre, Tellipse doit passer successivement parles sommets du triangle et que, quand l'ellipse passe par un sommet, la quartique correspondante se décompose en une droite et une cubique. La transition ne peut se faire par une quartique ayant un point triple (à première vue, il semblerait pourtant qu'il en est ainsi),

La discussion complète des différentes formes serait intéressante et peu difficile; mais elle prendrait beaucoup de place; il serait nécessaire (dans le cas présent, où il s'agit de courbes planes) de considérer les coniques qui, dans chaque figure, correspondent à la droite de l'infini de l'autre figure. Pour la théorie analogue, dans le cas de figures sphériques, il n'y a pas de coniques de ce genre et la théorie se simplifie considérablement.

285. Le mode de génération des quartiques trinodales que nous venons d'indiquer conduit immédiatement à diverses propriétés de la courbe. On sait que, si une conique coupe les côtés BG, GA, AB d'un triangle et que de chaque sommet on mène des droites qui réunissent ces sornmets aux points d'intersection situés sur les côtés opposés, ces six droites sont tangentes à une conique ; et il est facile de montrer de plus que si, au lieu des deux droites issues de chaque sommet, nous considérons les deux droites inverses, celles-ci rencontreront les côtés opposés en six points situés sur une conique et que, conséquemment, les six droites inverses sont aussi tangentes à une conique; En effet, si les droites (^zr^ ajK, X'=^ol y\ i^y =: ^x^y = ^'Z')^ {z = y^/^ r=: y^^J rencontrent les côtés

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QUARTÏQUES UNICURSALES. 36î

x=:o, y = Oj z = o en six points situés sur une conique, il est facile de voir que ay/pp^Yy'=: i est une relation qui ne change pas quand on remplace a, [3, y, a', [3^, ^ P^*^ leurs inverses. Mais, si une conique est transformée en une quarlique trinodale, il résulte de ce qui précède que les tangentes en un point double de la quartique sont les inverses de droites menées de A aux points d'intersection de BC et de la conique. Les tangentes aux nœuds A, B, G sont donc tangentes à une seule et même conique. On aurait pu aussi déduire directement ce théorème de l'équation de la quartique.

286. D'une manière analogue, si des points A, B, G nous menons des tangentes à une conique, il est facile de démontrer que les six droites inverses sont aussi tangentes à une même conique. Mais, en transformant la conique en une quartique trinodale, les tangentes menées de A à la conique devienneol des tangentes menées du nœud A à la quartique (pour une courbe dé classe /z, le nombre des tangentes menées par ua nœud est n — 4 ^t par suite, pour une quartique trinodale^ il est 6 — 4 = 2) et nous avons ainsi le théorème suivant : Les six tangentes menées des trois nœuds à la quartique sont tangentes à une seule et même conique,

287. Aux bitangentes de la quartique correspondent des coniques passant par A, B, G qui ont un double contact avee la conique ; et aux tangentes stationnaires de la quartique correspondent des coniques passant par A, B, G et ayant un contact stationnaire avec la conique. On peut démontrer que les nombres de ces coniques sont respectivement 4 et 6, ce qui correspond à t = 4 ^t ^= ^- Mais pour les bitangentes le résultat peut se déduire immédiatement de l'équation de la courbe, qu'on peut écrire sous la forme

{yz \ja + zx sJT) -H xy \lcY

■==.'ixyz \^s[hc —f)x -^[\Jca — g)y -h[s/<^l^ — h)z]^

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Dans celte équation le facteur qui multiplie 2a^yz représente évidemment une bitangente, et, si nous changeons les signes des radicaux, nous aurons en tout quatre bitangentes. Posons pour un moment /^ -H gy -^ hz = s^ x sjbc == /, ys^l ca = m^ z\jab ^=. n\ si 0 représente l'équation des quatre ijitangentes, il vient

6—- (,ç — : / — m — 11) {S' — l-hJn-{-7i){s~{- 1— jn ~{- n) {s -h l-^m — n)

T7^ (^2 — /^ — 7?22 — /i2 )2 __ /^ ( jj^i ,^2 ^ ,^2 /2 4, /2 ^2 ^ ^ [jj^j^^ )

En d'autres termes, l'équation de la courbe peut s'écrire

[ {fx 4- g y + hz-Y — bcx^ — cay^— abz^Y — 0 =: o,

ce qui montre que les huit points de contact des bitangentes sont situés sur une conique.

Si nous représentons les quatre bitangentes par ^, u, ç^ (v, nous pourrons mettre l'équation de la cjuartique sous la forme

t^ + u^ + ^^^ + w'^ ~ o, ou

( t- -h u- + (^2 | pp2 2 ^^^ 2 ^ç

Sous cette forme, il est évident que t, u^ ç, w sont des bitangentes dont les points de contact sont situés sur une même conique et l'on peut vérifier sans grande difficulté que

{t— u^ V — fv), {t—v, u — w), (t— fv, Il — ^) sont des points doubles.

288. Nous venons de montrer comment on peut d'une certaine manière ramener l'équation de la quarlique à la forme UW = V^. En général, si u, w et ^ représentent respectivement deux tangentes quelconques de la conique et leur corde de contact, comme l'équation de la conique peut

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QUARTIQUES UNÏCURSALES. 363

s'écrire sous la forme uiv = t^"^, celle de la quartiqiie est immédiatement donnée sous la forme UW == V-, dans laquelle U, V, W sont des fonctions linéaires àeyz, zx^ xy.

En reliant ainsi, comme ci-dessus, la quartique trinodale avec une conique, nous avons aussi vérifié que la courbe est unicursale. Comme les coordonnées x\ y\ z' d'un point de la conique peuvent s'exprimer par des fonctions quadratiques d'un paramètre 9, les coordonnées yz'^ z'x'j x^y' du point correspondant de la quartique sont immédiatement données comme fonctions biquadratiques du même paramètre.

La théorie des quartiques trinodales qui précède s'étend au cas où quelques-uns des points singuliers ou tous ces points sont des rebroussements. S'ils sont tous des points de rebroussement, l'équation de la courbe peut être ramenée à

la forme ^^ + jk^+^^=o; les tangentes aux points de

rebroussement sont^=jK = ^, et elles se coupent en un

même point. Nous pourrions le voir par voie de réciprocité,

car la réciproque est une cubique dont l'équation peut être

i 1 ± écrite sous la forme x'^ -{- y^ -{- z^ :=: o , Quand la courbe a

deux points de rebroussement et un nœud, la droite qui joint

les deux points d'inflexion, celle qui joint les deux points de

rebroussement et la 'bitangente passent toutes par le même

point. Les cas de singularité plus élevée, dont nous avons

parlé n° 243, demandent à être traités séparément.

2î89. L'équation d'une quartique ayant un point tacnodal

est (n'^ 244)

-\~ ex^ -hfx^y -h gx^y^ + hxy^ -h iy'^ = o.

Supposons qu'elle ait aussi un nœud; dans le n° 244, nous avons seulement admis que le point xy était tacnodal et que la droite jK était la tangente en ce point : nous pouvons donc prendre le point zx pour l'autre nœud.; Pour que ce point

364 CHAPITUE VI.

soit un nœud, il faut que d^ h et i soient égaux à zéro, et l'équation devient

{yzY + bœ^yz -{- cxy , yz + ex'' + /^^ . xy -\- gx^-y^ =: o.

Nous avons écrit Féquation de manière à faire ressortir qu'elle est une fonction quadratique de xy^ x'^^ yz. Si donc, dans l'équation générale d'une conique, nous remplaçons respectivement Xj y, z par. xy^ x-^jz^ nous aurons l'équation d'une quartique ayant un nœud et un point tacnodal. On verra que les relations

x' : j' : 5' = xy : x^- : yz

impliquent réciproquement

en sorte que nous aurons ainsi une théorie semblable à celle qui existe pour une quartique ayant trois nœuds distincts. Les constantes peuvent être déterminées de telle manière que le nœud devienne un point de rebroussement, ou le point tacnodal un point nodocusjndal, ou enfin que ces deux changements se produisent tous deux à la fois, et la théorie s'étend ainsi aux quartiques ayant deux points singuliers distincts, dont l'un est un nœud ou un rebroussement et l'autre un point tacnodal ou un point nodocuspidal.

290. L'équation d'une quartique ayant un point oscnadal a été donnée n" 244,

{yz — 7nx'^y-\-c xy [yz — ni x^ ) +- dy^z-^gx^y'^-h h xy^-\- iy''=:o

C'est évidemment une fonction quadratique de jz — mx-j xy^ jK^. Mais on trouvera que les relations

x' \ y' \ z' •= xy \ y^ ' yz — 7?tx^ impliquent

x.ly : z = x'y' \y'^-' \y' z' — nix'^^^

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QUARÏIQUES UNIGURSALES. 365

en sorte qu'il existe pour ce cas une théorie analogue à celle que nous avons établie pour les quartiques trinodales. Les constantes peuvent être particularisées, de manière que le point oscnodal devienne un point de rebroussement tacnodal, et la théorie s'étend ainsi au cas des quartiques qui présentent cette singularité. Dans tous les cas qui précèdent, nous avons exprimé les coordonnées x^ jk, ^ d'un point de la quartique, sous forme de fonctions quadratiques d'un point variable x\ y, z^ de la conique; et, comme ces dernières coordonnées peuvent s'exprimer elles-mêmes sous forme de fonctions quadratiques d'un paramètre 9, les premières sont des fonc^ tions du quatrième degré de ce même paramètre.

291. Dans le cas qui nous reste à considérer, celui où une quartique a un point triple (général ou de forme particulière), la manière de procéder dont on a fait usage dans les derniers articles n'est plus applicable ; mais nous pourrons obtenir immédiatement d'une autre manière les coordonnées exprimées sous forme de fonctions rationnelles d'un paramètre. Si nous prenons le point xy pour le point triple, l'équation de la courbe est de la forme ^t^3 = 1^4, dans laquelle i^3 et W4 sont des fonctions homogènes du troisième et du quatrième degré en x et y. Si nous y faisons la substitution Y = %cs^ nous obtenons ^63 = ^^4, où O3 et 64 représentent des fonctions du troisième et du quatrième degré en 9 ; et nous trouvons alors que x^ /, z sont respectivement proportionnels à O3, 9O3, O4.

La méthode employée ici est exactement celle dont nous avons parlé dans le n^ 44. Une droite variable^ = 9^ menée par le point triple ne rencontre plus la courbe qu'en un seul point, dont les coordonnées peuvent en conséquence être exprimées rationnellement en fonction de 9, et nous aurions été conduits à des résultats qui auraient été les mêmes en substance si nous avions employé la même méthode que dan ^

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les cas considérés précédemment; si par exemple, dans le cas d'une qiiar tique trlnodale, nous avions déterminé chaque point de la quartique en le considérant comme le point d'intersection de la courbe avec une conique variable qui passe par les trois nœuds et par un autre point fixe de la courbe.

Le cas spécial d'une quartique à point triple x^y:=zz'' mérite une mention particulière, parce qu'on le peut traiter par une méthode exactement semblable à celle dont nous nous sommes servis (n° 21^). En dehors du point triple, la courbe n'a pas d'autre point singulier; mais elle possède un point d'ondulation, et sa réciproque est une courbe de même nature.

291 a. Nous pouvons aussi appliquer aux quartiques unicursales la méthode du n° 216 {a). Nous pouvons exprimer les coordonnées d'un point sous la forme

et en déduire immédiatement (n° 44) l'équation de la qùar-^ tique correspondante. En se reportant aux numéros que nous avons cités, on pourra facilement former l'équation qui détermine les paramètres des points d'inflexion et la relation qui existe entre les paramètres de trois points situés sur une même droite. On peut aussi procéder comme il suit. Dans l'équation Ix + my + nz = o, remplaçons les coordonnées par leurs valeurs écrites ci-dessus ; nous obtenons une équation du quatrième degré qui détermine les paramètres des points suivant lesquels cette droite coupe la courbe (^). La

(^) 11 est clair que, si nous formons le discriminant de celte équation, nous aurons l'équation de la réciproque, oit l'équation tangentielle de la courbe, sous la forme S^ = T^

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QUARTIQUES UNICURSÂLES. 867

théorie des équations nous fournit les relations

la -\-ma' -h na" = \l\).']x" [jJ\

6 (/c + ?nc' + ne") = IV fx'^ ix"' -H i^ix^ V 1"

-h 1¥ fJL^ ix'' 4- (x{i'' y \" 4- \V"\x' ^"+ \xix"'\'l\ - 4 {ld^-md'-\-nd")-=r. p.X'' }/^ }./^^ 4- Xs! V V" + X)/ ^'V" + XX' X'^ jx'^ le-\-me^~\-ne' —WYV",

Si nous éliminons linéairement /, m, n, V^^, ]i!^' entre ces équations, nous obtenons la relation qui lie les paramètres de trois points situés sur une même droite; c'est le déterminant

6c 6c' Ç>C' G B rzzo,

~[^d —^d' —kà!' D G e e' e" . D

dans lequel nous avons posé

A =: \xix' ix\ B r=z Xfi.' |J/ + X' ix" IX 4- X'^ [X-y , G z::z IxV y 4- (x' X'' X 4- fi.'' XX", D ==rJ)ûJ V,

X ' X' X" En posant - = ^^ = —-y nous trouvons que les paramètres

des points d'inflexion sont" déterminés par la relation

Le premier déterminant développé nous donne

24(a^'c")D2 4- i6(ab'd')CD 4- f^{ab'e"){C'- — BD) 4- 2i{ac'd")BD 4- 6(ac'c") (BG — AD) 4-96(6c'^")AD4-4(«^'e')(B'-AG) 4- 24 ( ^c' c") AG 4- 1 6 ( bd' e') AB 4- 24 ( C6/' e" ) A^^ v----: o.

— kb"

de'

dd'

3(xX2

3(xX-^

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Le second déterminant développé et divisé par a/f nous fournit, pour déterminer les points d'inflexion, l'équation du si X i è m e d e gr é q u i s ui t

i^ab'd') X6 + 2 ( ab' d") X^a -F [( ab' e") + 3 ( ac' d")'\ \^ -V^

-i-l2{ac'e')~^[^{bc'd")'\l^li.^-\~[{ad'e")^'^^^^^ ,

+ 2(MV0XîxS + (cr/V0p.^=o.

Si dans la relation précédente nous supposons que deux paramètres soient égaux entre eux, nous obtenons la relation 4|TO lie un point quelconque A avec l'un des points B où la tangente en A rencontre à nouveau la courbe; ainsi, si nous remplaçons respectivement D, G, B, A parX^^V, 2X^[j.X/ + )v- \i' ^ fx^l^-j- 2X.jj.|i.', p.2|i-^, nous avons

¥-\^^{ab'c"))^-\- ?>2{ab'd")\^ix

-i-2X'iV|8(aZ^Vf)>^'^-[4(«^'O-H24(«c'6f0]>^'!^

-+-[i2(ac'0-+-48(^c'^^')]^V'

-h[^{ad^ e") -\- 2[^,{bc' e")'\l\^^ ^ ^{bd' e")\j.'\

-h\x'^\^[ab'e")l^-+-i2{ac'e")l^\K

~F[i2(a^/'e0 + 24(Z>c'e'0]X2FH-32(M'O>^l^'-+-24(c^/'e'0l^.M=^o.

Cette équation nous permet de déterminer les paramètres soit des deux points B qui correspondent à un point A de la courbe, soit ceux des quatre points A qui correspondent à «n point quelconque B. En formant la condition pour que l'équation en "ï! ', [jl^ ait ses racines égales, nous arrivons à nue équation du huitième degré en \\]j. qui détermine les luiit points de contact des quatre bitangentes de la quartique.

Comme on a démontré qu'il est possible de trouver quatre fonctions i, u, v^ w linéaires en ^, r, z et qui, exprimées en fonction de \, ]x soient des carrés parfaits, il est clair qu'en extrayant les racines et en éliminant linéairement A-, X[x, p.-.

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QUÀllTlQUES UNIGUllSALES. 869

réquation de la courbe pourra être écrite sous la forme

291 b. Nous obtiendrons, comme dans le n"" 216 c, la condition que doivent vérifier les paramètres d'un nœud en remarquant que la relation qui lie les paramètres de trois points collinéaires doit être satisfaite quand deux de ces paramètres correspondent au même nœud et le troisième à un point quelconque de la courbe. Posons

ix' iij' =: a, a' ]x" + y |x' =zz p, X' r = Y ;

il vient alors

A = p.a, B — XaH-p,[3, C = Xp + [JiY, D — Xy.

Portons ces valeurs dans le déterminant du numéro précédent et égalons séparément à zéro les coefficients de )v-, }vp., p.-; nous obtenons les trois conditions

-lib

Çc

-4rf

— kd'

-kd"

-4rf

S. — Coiubes planes»

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Ces conditions développées sont les suivantes :

^[^{ab'c")f --i- iÇ>(ah'd")^^ 4- [^{ab'e"){^^ — ay)

-^r'2.^{ac'd'')rx^i-\-6{ac'e'')a^-\-^{ad'e''):l}z=lo,

-Ar2l^{bc'e")a^(-\-iQ{bd'e")^^-\'2^{cd'e")a}z=zo,

iÔ{ab'd')f-i- 4(aZ>'e'0Pï + 24(ac'^'0pT