La valeur de la Hessienne, dans ce cas, est

aghx^ -\- bhfy^ 4- cfgz^ -^{ahg -H ahf — Zg}i^)x^y'^

-+- [ach + afg — ?>g^h)a)^z^ + \abf -^^ bgh ~ ^f]i')y^x'

~i-{bch+bfg~?>fh)y^z^-^{caf^chg^^fg^^)z^x^^

+ ( bcg + cfh - 3/ g ) z^y^

-^{abc — Zaf — Zbg'' — ?> cli" -h iS/^A) <^^/^^

On a aussi énoncé (n" 92) qu'une quartique a également un contravariant du sixième degré dont le symbole est (a î2)-(a23)^ (a3i)-. Dans le cas que nous considérons, sa

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38o CHAPITRE YI.

valeur est

{bcf—f)a^-\-{cag — g^)^'^-\-{abh-'h^)f

-\-\bcg -H 6c/A — 3/2^0^^P -^{bch -^6bjg — Sfh)a'f -\-{ac/ -\-^cgh — 3^V) p'- «2 +(ac/i + Ç>afg — Zg'-h) ^'f -^{abf -i-6bgh— 3/A2) foL'--i~{abg 4- 6 a/h — 3gh^)f?.' ^[abc — 3{af -h bg^ H- ch^) — 48/^A] «' ^ y'-

Si nous introduisons des symboles différentiels dans l'une de ces deux formes et si nous opérons sur l'autre, le résultat est A^ + Sy6B. Si nous opérons sur la Hessienne avec le contravariant a-, nous obtenons un covariant quadratique du cinquième ordre par rapport aux coefficients, et si nous opérons sur le contravariant du sixième ordre avec la quartique elle-même, nous obtenons un contravariant quadratique du quatrième ordre par rapport aux coefficients. Leurs valeurs sont respectivement

(a/'^^ -,- bgy'^ H- chz'^){L -i- 3 P 4- 3oR)

-h{ghœ^ -\- hfy^ -i-fgz^){ioh — 6F — 12R)

— 8 {af a2 -1- bg^ p + ch^ ï') + 4 ( bcgh a^ -h caA/p^ + ab/g f) .

Si nous introduisons des symboles différentiels dans l'un quelconque de ces deux concomitants et si nous opérons sur l'autre, le résultat est un nouvel invariant

G2=(8oL — 32P + 448R)Q H- 3P3 — ÔP^L — i34P^R -f- SPL^ -I-128PLR — 6oPR2 + io2L2R-t-4o8LR2 — 72R^

Il ne semble pas qu'il y ait pour la quartique que nous considérons d'autre invariant indépendant du neuvième ordre. Si, par exemple, nous opérons avec le contravariant conique sur la quartique elle-même, le résultat peut s'exprimer en fonction des invariants déjà trouvés; il est égal à