G,— 80C1— 180 AB

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INVARIANTS ET GOYARIANTS DES QUARTIQUES. 38l

Il aurait peut-être été plus simple de prendre pour second invariant indépendant J(C^ — SaC^ ) ou

G3 = i6 QL H- P^ — 2 P^L - 66P2R -H PL^

+ 64PLR H- 12PR2 + 34L2R + 232LR2 + 296 R^

301. Nous allons maintenant chercher les invariants du douzième ordre par rapport aux coefficients. Nous pouvons former l'invariant cubique de la quartique S au moyen des formules

Uz=2i6RS

P^=:6(Q2 — 2PQR — 4R'Q-i-2P2R2

— 2 PLR2 + 4PR'^ -h 6LR3 -h 3 R*), R^ =n Q2 2LKQ P2R2 2PR3 4. L^R^ -f- 4LR3 — R'^ ;

d'où

où

D,=:4Q2-|-Q(— 6RP — 2LR — I2R2)

l 5P2R2 6PLR2 +ioPR^ + L2R2 H- 22LR3 -f- 44R*- En effectuant l'opération cp sur d , nous obtenons

D2 =: 24Q^ + Q (4P- — 4PL — 84PR — 20LR — 248 R^) — 4P'R — i4P'R' ■^- 4PL2R 4- I44PLR2 + 444PR' — iSL^R^ — 84LR^ -h 216R*

et, en combinant ces deux derniers résultats, nous avons

D2-6D, = 4D3, où D3 = Q(P2 — PL — i2PR~2LR— 44R2) — p3R iiP2R2 -f- PL2R H- 45PLR- H- 96PR3 — 6UR^ — 54LR^ — 12R4.

Au moyen de ces invariants et des autres que nous avons déjà donnés, nous pouvons exprimer les autres invariants du douzième ordre, tels que (C) et le discriminant du contravariant conique.

382 CHAPITRE YI.

De même aussi, nous pouvons exprimer en fonction des quantités qui précèdent les invariants du contravariant du quatrième degré ; nous avons

ÎV = L^ -h 3PL -h gQ -h 27R2,

R^=::LR^-Q-}-PR-hR^

P' = 3P2 — 5 Q + 6PR -h PL + 6LR + gRS Q^=:3Q--j-Q(3P'-4-/iPL4-24PR + L2 — 8LR + 6R2)H-i2P2LR -h iSP^R'- + 4PL'R + 10PLR2 -H 36PR^ — 36LR^ + 27R^

d^où

A^z=A^4-i2R, B'=:4Di4-AGi-HA2B-i2B^

302. Il faut remarquer que^ bien qu'il n'y ait qu'un seul contravariant conique du quatrième ordre par rapport aux coefficients, il y a deux covariants coniques du cinquième ordre, qui sont (en plus de celui déjà donné) celui qu'on obtient en opérant sur la quartique elle-même avec le contravariant conique; le résultat est

(3L + 9P -H loR) (a/^^- + bgy'- 4- chz'')

+ (ioL+ 2P-i-4R)(^Vz^2^A/7^4-/-52)

et, si nous le combinons avec celui que nous avons donné précédemment, nous pouvons l'écrire sous la forme simple

4R(a/V- -h bgy^ + chz'')

+ (L P - 2V.){ghx^^^hff^ +A-^^-).

Le discriminant de cette dernière conique donne le plus simple des invariants du quinzième ordre ; en posant

on a

Ei=:i6MR2Q-h4M2R^P4-M^R2 + 64LR^

ou bien, en l'écrivant tout au long;

Ei=:z:l6(L — P~-2R)QR^-

^ R2(3P2— 5P^L 4- loP^R + PL^

— 4PLR + 4PR' + L^ - 6L2R + 76LR2 31^3) ,

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ITsYABIANTS ET COVARIANTS DES QUARTIQUES. 383

Les trois autres invariants du système de coniques sont aussi des invariants du même ordre de la quartique; et en outre nous pouvons aussi calculer Dj, D2, .... Toutes ces quantités s'expriment en fonction de E^ et de E2, cette dernière quantité étant

I(3P3 5P2£5P2R^PL2 228PLR — 2172PR2

-l-L3-f-298L^R4-2636LR2— 4296R^)Q M-R(-i2P^ + 44P'L-52P2L- + 2oPL^) H- R2(348P^ — 852P2L -4- 3o8PL2 + 324L3) -i-R3(i32oP^ — 416PL + 2i6L2) + 72oPR^ -H I i376R^ — 864R^

Il y a aussi deux invariants indépendants du dix-huitième ordre; le premier, qui est le C^ du contravariant du quatrième degré, est

Fi=:I28Q^4-Q2

( 48P2 -t- 80PL + 368PR + 32L^ — 528LR — 160 R^) ^ Q (gP4 I2P3L — io8P^R — 2P-L- + 324P-LR

+ 24oP-R2h-4PL3h-6oPL2R — 288PLR-H-528PR^ ^ u — 2oL5R — 4ooL2R2 — 25i2LR3 — i44R^) l i8P«R— 24P*LR-i-27P*R-' — 4P'L'R-HI8oP^LIr- ^-6oP^R^-h8P^L^R+II4P'L'R'-t-7I6P-LR^+288P-R'^ -H 2PL^R— 44PL3R--!- 52PL2R3 592PLR^-I- 288PR^ — 21 L^R^^ — 6oL^R2 — 720L2 R* — 2076LR^ -1- 240 R^ F2r=i28Q^+Q-(— 8P--240PL — 5312PR

l 3i2L2 4-9536LR4-ii68oR2) l Q(__i8P^+54P'L + ii46P'R — 54P-L2

~i978P"-LR4-7548P-^R-+i8PL^-l-262PL2R — 4432 PLR^- -h 49272 PR^ -H 570 L3R -i-i62oK^R-+6648LR3 + 778o8R^) l 24P^R — 76P^LR " i224P^R- + 84P'L^'R -t-2622P^^LR-— i3o32P^R^ — 36P^L^R — 946P^^L-R'^ -h 8268P-LR3 — 3oi92P2R^H-4PL*R- 822PL3R-- —368 PL- R^

-73784PLR^~-5/i72PR^4-ii4L^R-— i524L^R3 — 14712L-R'*— ii39o4LR^-h- 25920 R^

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384 ciiAPiïUE vr.

Il ne semble pas que, même dans le cas spécial que nous considérons, les invariants d'ordre supérieur que nous avons donnés puissent s'exprimer linéairement en fonction de ceux d'ordre moins élevé; et même dans ce cas, je n'ai pu trouver que le discriminant soit exprimable en fonction d'invariants de moindre degré (^).

(') Les valeurs de E, E^, F^ et Fj ont été calculées par M. J.-J. Walker,

COURBES TIIANSCEISDANTES. 385

303. Nous avons jusqu'ici discuté exclusivement des équations réductibles à un nombre fini de termes qui ne contiennent que des puissances entières et positives de ^ et jk; il nous reste à dire quelques mots des courbes représentées par des équations transcendantes. Gomme ces équations renferment des fonctions qui ne peuvent s'exprimer que par une série infinie de termes algébriques, toutes les courbes transcendantes peuvent être considérées comme des courbes de degré infini ; elles peuvent être coupées par une droite en un nombre infini de points et doivent avoir une infinité de points et tangentes multiples. Il ne saurait donc être question d'établir une théorie générale des singularités de ces courbes et il suffira de faire connaître les noms et les propriétés principales des plus remarquables d'entre elles. Nous pouvons signaler, en passant, une classe d'équations, appelées par Leibnitz intertranscendantes y ou qui renferment les variables affectées d'exposants incommensurables; par exemple, jk == x^i'^. Ici, en substituant à \] i la série des fractions rationnelles qui expriment approximativement la valeur du radical, nous trouverons une série de courbes algébriques dont le degré croît constamment, et qui s'approchent de plus en plus de ressembler à la figure de la courbe cherchée, mais ne la représentant pas exactement tant que le degré de la courbe est fini.

Nous passons à la cycloïde, qui tient la première place S. — Courbes planes. 25

386 CHAPITRE Vil.

parmi les courbes transcendantes, tant au point de vue de l'intérêt historique que de la variété de ses applications physiques. Cette courbe est engendrée par le mouvement d'un point de la circonférence d'un cercle qui roule le long d'une droite. Soit Aie point où le mouvement commence; si, dans une position quelconque du cercle générateur, p est le point qui engendre la courbe, nous devons avoir diVQ, pin zz:^ Km et, en représentant l'angle pcm par cp et cm^ le rayon du cercle, par a, nous aurons

jz=ia(T — coscp), œ=:a{^ — sin:p)

et, en éliminant, il vient, pour l'équation de la courbe,