X -f- sjiay — y
Il est cependant plus avantageux, en général, de conserver o et de considérer la courbe comme définie par les deux équations ci-dessus. On voit aisément que sa forme est celle que représente la fig\ 52. Le cercle pouvant rouler indéfiniment dans l'une ou l'autre direction, la courbe se compose d'une infinité de portions similaires et il y a un rebroussement en chacun des points où deux de ces portions se réunissent.
Fig. 52.
Soit MPN la position du cercle générateur qui correspond au point le plus élevé de la cycloïde; comme Am == arc/)m, AM = MPN et nous avons M /?z = /? P =: arc PN ; autrement
dit, la courbe peut être engendrée en prolongeant les ordonnées d'un cercle jusqu'à ce que la partie prolongée sôit égale à l'arc correspondant mesuré de l'extrémité du diamètre. En représentant l'angle PGN par 9, la courbe rapportée aux axes AM et MN est représentée par les équations
y =z:(2(i -h cos6), ^=1 a(6 --}- sinO).
304. Il est facile de voir comment on peut mener une tangente à la courbe ; en effet, à un instant quelconque du mouvement du cercle générateur, m (son point le plus bas) est en repos, et le mouvement de tout point du cercle est pour ce moment le même que s'il décrivait un cercle ayant m pour centre; donc la normale au lieu du point/) doit passer par m et sa tangente doit être parallèle à NP. On arrive au même résultat analytiquement à l'aide de l'expression
dy sincp ,
-/- = ■ '- — ■ = cot;'> 9.
ax I — coscp
La tangente fait donc avec l'axe des x un angle qui est le complément de GNP, ou qui est égal à icp.
Il est si facile de donner des démonstrations géométriques de quelques-unes des principales propriétés de la cycloïde que nous les citerons ici. L^aii'e de la courbe est égale à trois fois Vaire du cercle générateur. En effet, l'élément de l'aire extérieure (^pp' rr' =^ pp' tt' ^=.W' (^(^) est égal à l'élément de l'aire du cercle; Taire extérieure tout entière AENFB est donc égale à celle du cercle, et par conséquent l'aire intérieure ANB est trois fois l'aire du cercle.
Uarc 'Np de la cycloïde est le double de la corde NP du cercle.
Il est facile de voir que le triangle PP^L estisoscèle et que, par conséquent, si l'on abaisse une perpendiculaire MK sur la base PL, l'accroissement infinitésimal de l'arc de la cycloïde est double de l'accroissement PKde la corde du cercle.
Hosted by
388 CHAPITRE Vil.
Donc, si s représente l'arc de la cycloïde, b le diamètre du cercle générateur, x l'abscisse NQ comptée à partir du sommet, l'équation de la courbe est s- = ^hx\ cette forme est très utile en Mécanique.
Le rayon du cercle de courbure est double de la normale.
En effet, le triangle formé par deux normales consécutives a ses côtés parallèles à ceux du triangle PMP^ Mais la base du premier triangle est égale à PL, et, comme nous l'avons démontré, elle est le double de la base PK du second; donc le rayon de courbure est double de MP.
La développée de la cycloïde est une autre cycloïde.
En effet, si nous supposons qu'un cercle soit tangent à la base en m et passe par le centre de courbure R (Jlg-^'i), il sera
Fig. 53.
IN
tX
rV
égal au cercle générateur et Tare nR sera égal à NP = nD; donc le lieu de R est la cycloïde décrite par le cercle /nR/z roulant sur la base EF ( ^ ).
(^) Les propriétés de la eycloïde ont été beaucoup étudiées par les plus grands mathématiciens de l'Europe, pendant la première moitié du \s\t siècle. Leur attention a été appelée la première fois sur ces pro-
Hosted by
Nous pourrions aussi chercher le lieu d'un point quelconque du plan du cercle générateur, entraîné par celui-ci dans son mouvement de roulement; quand le point est hors du cercle, Je lieu s'appelle une cycloïde allongée; quand.il est en dedans, une cycloïde raccourcie. Ces lieux ont aussi été appelés trochoïdes. Il n'est pas difficile de calculer leurs équations ou de déterminer leurs figures, mais il ne semble pas nécessaire de nous y arrêter. La méthode donnée pour mener des tangentes à la cycloïde s'applique également à ces courbes. Ces dernières peuvent (le lecteur s'en assurera facilement) être engendrées par un point de la circonférence d'un cercle qui roule de telle manière que l'arc pm soit dans un rapport constant avec la droite Am,
30o. Après avoir recherché les propriétés de la cycloïde, on était conduit par une extension toute naturelle à discuter la courbe engendrée par un point d'un cercle qui roule sur la circonférence d'un autre cercle. Quand le point est sur la circonférence même du cercle, la courbe engendrée s'appelle épicycloïde ou hypocycloïde selon que le cercle roule à l'extérieur ou à l'intérieur du cercle fixe. Si le point générateur n'est pas sur la circonférence même, la courbe a reçu le nom à^ épitrochoïde ou àliypotrochoïde.
Prenons pour axe des x la position du diamètre commun aux deux cercles, qui passe par le point générateur ; soient CO
blêmes par Mersenne. Mais Galilée a des droits à être regardé comme l'inventeur de la description de cette courbe. N'ayant pu obtenir la quadrature de la courbe par des méthodes géométriques, il essaya de résoudre le problême en pesant l'aire, de la courbe et en comparant le résultat obtenu au poids du cercle; il arriva à cette conclusion que la première aire était à peu prés, mais pas exactement trois fois la dernière. Le problême de la quadrature a été résolu d'une manière exacte par Roberval en i634. La méthode pour mener les tangentes a été découverte par Descartes, la rectification parWren, la développée, par, Huygeas, plusieurs autres propriétés importantes par Pascal.
Hosted by
BgO CHAPITRE VU.
upe autre position de ce diamètre, Q le point générateur; soient CN=ra,0N=è,NCB:==ç,P0N = cj;,0Q=:6/(/^-. 54).
Fig. 54..
Gomme BN=:NP; nousaYonsacp=è^;OQM — 180 — (^ + ^) et les coordonnées de Q sont
jm(a + 6)sincp — <isin(cp H- i];),
^ nz(a H- Z?)C0Scp — (^COS(cp + 4^)
ou bien, si a + ^ = /tz^,
y = 7n6 sin cp — cl sin 7?2 cp, ^.-zr mb coscp — d cosm^.
En éliminant cp entre ces deux équations, nous obtenons l'équation de la courbe qui n'est pas nécessairement transcendante. En elTet, quand les circonférences des cercles sont commensurables, après un certain nombre de révolutions, le point générateur revient en l'une des positions précédentes, la courbe est fermée et a des dimensions algébriques finies; mais, si elles ne sont pas commensurables, le point générateur ne reviendra pas à la même position après UQ nombre fini de révolutions, et la courbe sera transcendante.
Pour obtenir les équations de l'épicycloïde, nous n'avons
Hosted by
COURBES TRANSCENDANTES. Sq [
qu'à faire d=^± b, ce qui nous donne
y zm b{m sin cp ±: sin m cp) , x:==.b{?n coscp ±: cos/ncp) ;
le signe inférieur correspond au cas où Taxe des x passe par le point générateur quand il est sur le cercle fixe ; le signe supérieur, quand il en est à la plus grande distance.
306. Les coordonnées pour le cas de l'hypocycloïde et de Fhypotrochoïde s'obtiennent, comme le lecteur le vérifiera aisément; en changeant le signe de h dans les équations données ci-dessus. Elles se trouveront comprises dans les équations dont nous ferons usage, si nous donnons à m des valeurs
a — h négatives, ou si nous supposons m = — 72, ou n = —
Si, dans les équations ci-dessus, nous changeons b en mb
et m en —•> elles deviennent m
y zzr mb — sm o H- sin — ^ ^ \ni ' m '
X = mo — coscp -H ces — cp \j7i ' m ^
et, en posant cp = m J>, nous voyons que les équations appartiennent au même lieu que les précédentes. Nous pouvons ainsi démontrer qu'on engendre la même hypocycloïde en prenant6=^(czha) [Euler^ De duplici genesi epicycloidum [Acta Petrop.^ 1784)]. Quand le rayon du cercle générateur est plus grand que celui du cercle fixe, l'hypocycloïde peut aussi être engendrée comme épicycloïde; car alors
m( r= — — — J est positif.
307. On peut facilement mener les tangentes à ces courbes ; carie même raisonnement que celui du ri° 304 montre que la droite NQ est normale à la courbe. Nous pouvons aussi
Hosted by
voir de cette manière que, quand une courbe est engendrée par un point de la circonférence d'une figure roulant sur une autre figure, il doit y avoir un rebroussement en tout point où le point générateur rencontre la courbe fixe. En effet, d'après cette construction, en chaque point de cette espèce, le point générateur s'approche de la courbe fixe suivant la direction de la normale et s'en éloigne dans la même direction ; il y a donc là un point stationnaire.Uneépicycloïde se compose d'un nombre de portions similaires, dont chacune est réunie à la suivante par un rebroussement; et les rayons menés du centre aux extrémités de l'une de ces parties sont inclinés
l'un sur l'autre d'un angle égal à ~ — -• Quand les rayons des
cercles sont commensurables et par suite quand la courbe est algébrique, le nombre des rebroussements est fini ; mais, quand la courbe est transcendante, le nombre des rebroussemeats est infini. Tout point de la base devient à son tour un point de rebroussement, et par conséquent cette base peut être dite le lieu des points de rebroussement de la courbe; il est clair toutefois que deux points consécutifs de la base ne sont pas des points consécutifs du lieu.
308. Ces courbes, de même que les épitrochoïdes en général, ont en outre un certain nombre de points doubles crunodaux ou acnodaux; ce nombre est fini pour les courbes algébriques, infini pour les courbes transcendantes, et tous les points doubles sont rangés sur des lieux circulaires. Considérons les équations (n° 305)
y ■=: mb sincp — (isinmcp, x ■=. mh coscp — dcosîn^,
où <f =: G correspond à ce que nous pouvons regarder comme la position initiale du point générateur, c'est-à-dire celle où il est sur la droite qui réunit les centres; nous supposons que cette droite ait été prise pour axe des ^ et que la distance initiale de l'origine au point générateur soit mb — d. Mais il
Hosted by
y a d'autres positions du cercle mobile pour lesquelles le point générateur se trouve sur l'axe ; les valeurs de <:p correspondant à ces positions s'obtiennent en résolvant l'équation inb sincp = rfsinm cp. En mettant de côté la racire cp == o, les autres racines peuvent évidemment se partager en couples égaux et de signe contraire, et pour chaque couple la valeur de Xj ou mh cos cp — dcosm^fj est la même. Les points correspondants sont donc des points doubles du lieu. On peut, au moyen delà condition mèsincp = (isin m cp, écrire la valeur de môcoscp — - rfcosmcpsousla forme ^sincp = dsm(^m — i)ç. Toutes les fois que ce point générateur revient aune position similaire par rapport aux deux centres, nous avons une droite sur laquelle sont situés des points doubles ; le nombre de ces droites est, comme nous l'avons dit, fini pour les courbes algébriques, et infini pour les courbes transcendantes.
309. Les équations des tangentes aux épi- ou hypocycloïdes peuvent être écrites sous une forme très simple. En effet,
ou
iy coscp ±: cos mcp
cos sin
|(m-f- l)cp
ij) — ( sin cp zt sin m <p
^(m -h l)cp
sin ^ ( ni 4- :
cos|(m -H J
Si l'on a égard à ce que la tangente doit passer par le point dont les coordonnées ont été données (n° 305), l'équation de la tangente devient
^cos2 {m ■-{- i)cp H- ysin^ (m -|- i)cp zz=(m-l- i)bcos^{m — i)©
quand l'axe passe par le point générateur à sa plus grande distance du centre fixe; et
XsiB\{m-^ i)cp — jcos ■- {m -h i)^^=^{m-\-' i)bsm\{7n — i)'f,
quand l'axe des x passe par le point générateur à sa plus petite distance du centre du cercle fixe.
Hosted by
On voit, de la même manière, que, dans ce dernier cas, l'équation delà normale est
a^cos^{m~h i)cp •4-jsini(7?2+ i)cp=:(m— i)bcos\{m— i)cp.
En comparant cette valeur à la première forme de l'équation de la tangente, on reconnaît que la développée d'aune épicycloïde est une épicycloïde semblable ; les rayons des
11 1 ^ — ^ cercles générateurs sont entre eux dans le rapport de -:>
et le point générateur de la développée est à sa plus grande distance du centre du cercle fixe quand le point générateur de la courbe primitive est sur le même diamètre à sa plus petite distance du même centre.
Les mêmes remarques s'appliquent également à l'iijpocycloïde.
L'équation de la tangente à une épitrochoïde est de même
(b ces cp — ^cos 7?z cp ) ^ H- ( è sin cp — dûn mv)y z=[mb^ -h d^ — {m -}~ i)bdcos{m — i)^].
310. Nous donnons ici des exemples de quelques-uns des cas les plus simples où les équations de ces courbes sont algébriques et où l'on peut les former facilement. Ces cas se présentent (a) quand l'équation delà tangente est de la forme
acos2Ô H- 6sin 2Ô --H ccosô 4- <isin6 -i-e=iOy
dont l'enveloppe a été trouvée (n^ 85; Ex. III); (b) quand l'équation de la tangente est comprise dans la forme
acosSô + >bsin36 + 3 ccosô + 3<isinô z=o;
quand on procède de la même manière que celle qu'on vient de rappeler, l'enveloppe de cette droite s'obtient en formant le discriminant d'une équation du troisième degré; le résultat est
(a^ H- b^ + S{ac^ — bd') - 24 cd{ad~ bc) =z 3 ( c^ + ^^)2 -h 6 («2 H- h"") (c^ 4- d^ ) ;
Hosted by
COURBES TRANSCENDANTES. SqS
(c) quand m est une fraction dont le numérateur et le dénominateur diffèrent d'une unité. Si nous élevons au carré et ajoutons les équations
^m mh cos/icp — dcos{n -h i)cp, yzm mbsinrK^ — dsm{n-^i)^
nous avons
cc^ -\- y^ z=z in^b^ -\- (P — imbd cos>(Q,
En déduisant cosco de cette équation et le portant dans la valeur de x, l'élimination se trouve effectuée.
Exemple I. — Trouver V épitrochoïde en général pour d=^nib. Les équations sont alors réductibles à la forme
x=idûnL(^jn — i)cpsinl(/?i-Hi)cp, jK=2<^&inl(m — i)cpcosl(7n+i)cp; il est donc évident que 1 ( 7?i -h i)cp est l'angle co que le rayon vecteur fait avec l'axe des jk; et l'équation polaire est p = idsin w.
Exemple II. — Trouver les équations de V épitrochoïde et de Vépicycloïde quand les rayons des cercles sont égaux et par conséquent m ~ i. En opérant comme dans (c) avec les équations
X ■=zib coscp — <icos2cp, j^ == 26 sincp — <i sinscp,
nous trouvons
équation d'une Cartésienne ayant a? = o, x =d pour points doubles, comme on peut facilement le vérifier; c'est donc un limaçon. Nous voyons, d'après la théorie déjà exposée, que ce point correspond à la
valeur coscp = — . Quand donc d est plus grand que 6, c'est-à-dire
quand le point générateur est en dehors du cercle mobile, le nœud correspond à deux positions réelles du cercle mobile et par suite est crunodal; mais si le point est intérieur au cercle mobile, le nœud ne correspond à aucune position réelle de ce cercle et la courbe est acnodale.
Le cas de l'épicycloïde s'obtient en posant d=z b, ce qui donne
(^2 4^2 3^2)2 ^/^b^(^Zb — 1x),
SgÔ CHAPITRE VII.
Le point double devient maintenant un rebroussernent, et la courbe est une cardioïde. D'après ce qu'on a dit, il est évident que la développée d'une cardioïde est une cardioïde.
Exemple III. — Trouver V équation de l'épicycloïde quand le rayon du cercle mobile est la moitié de celui du cercle fixe. L'équation de la tangente est
X cos 2 6 -hjK sin 2 Ô = 4 ^ cos 6,
équation dont l'enveloppe est
Exemple IV. — Tj-ouverVhypotrochoïde et Vhypocycloïde quand le rayon du cercle mobile est la moitié du cercle fixe. Nous avons m — — I ; les équations sont
:r = 6coscp H- c?coscp, jK=6sincp — o?sincp,
et Pliypotrochoïde est l'ellipse
(b-i-d)^ "^ {b — dY ~ '' qui se réduit au diamètre/ dans le cas de l'hypocycloïde, on b =^ d.
Exemple V. — Trouver l'hypocycloïde quand le rayon du cercle fi^xe est égal à trois fois celui du cercle mobile. Icim — — 2 ; l'équation de la tangente est de la forme
^coscp — y sincp = 6cos3cp
et, d'après la forme (b), l'enveloppe est
(x^--i-y^y-^Sbx^ — 2^bxy^-h iSb^(x^ -hy^)=^ 27 b'^
équation d'une quartique tricuspidale, les tangentes aux rebroussements se rencontrant au centre du cercle fixe.
Cette courbe a été étudiée par Steiner comme enveloppe de la droite qui joint les pieds des perpendiculaires abaissées sur les côtés d'un triangle, d'un point quelconque du cercle circonscrit. En effet, en prenant le centre de ce cercle comme origine^ et r cos 2 a, rs'mia ... pour les coordonnées des sommets si le point d'où l'on abaisse les perpendiculaires est rcos2çp, rsinacp, l'équation de la droite qui joint leurs pieds est
X sin { OL -{- ^-{-^ — cp) — y cos (a H- ^ -f- y — cp)
= 2 7^[sin(a4-p-l-Y — 3cp) + sin (p + y — a — cp)
-f- sin ( p 4- a — Y — cp ) -h ( sin Y -1- a — P — ^)] •
Hosted by
COURBES TRANSCENDANTES. Sq;
Cette forme se ramène aisément à celle qu'on a consiaeiée dans cet exemple.
Exemple YI. — Trouver Vhypocycloïde quand le rayon du cercle fixe est égal à quatre fois celui du cercle mobile. Nous avons /n = — 3. L'équation de la tangente est
X sin cp +/ cos cp = 2 6 sin 2 cp, et celle de l'enveloppe
x-^ -^-y-^^^^hy.
311. Il est facile de former l'équation de la réciproque d'une épicycloïde. En effet, l'équation de la tangente étant
^COS-|(7?2 4-l)cp+ jsin|(m4-l)cp z=(7?2 -f- l)^ C0S-|-(/?2 — T)cp,
il est évident que la perpendiculaire à cette tangente fait un angle ^(m + i)cp avec l'axe des x et que sa longueur est {m-\~ j)b cos~(m — 1)0; par conséquent, le lieu du pied de cette perpendiculaire est
p-=.[7n -+- i) bcos
et la courbe réciproque est p cos ( — w j = ( /?z -|- i) ^.
Le rayon de courbure est donné par la formule R == ^ • Dans la courbe primitive, nous avons
p2 z= ^2 -1- j2 __ ^2 1- jj^2 | j -|-2mcos(m — i)cp]
ou
p2- i,^(^jji — i)'2+ ^mb'^cos^Km — i)cp,
p2 ~ «2 | p2 ^Q^ç. Yx = ; p (M.
^ {m-\- if {m-{- if^ ^ ^
(*) L'invention des épicycloïdes est attribuée à l'astronome danois Rœmer qui, en 1674, fut conduit à étudier ces courbes en cherchant la meilleure forme à donner aux dents d'engrenages. La rectification de ces courbes a été donnée par Newton {Principia, Liv. I, prop. 49)-
Hosted by
SgS CHAPITRE YIl.
312. On peut de la manière suivante trouver une autre expression générale pour le rayon de courbure des roulettes (ou courbes engendrées par un point situé dans le plan d'une courbe c[ui roule). Soient P, P' deux points consécutifs de la courbe, M le point de contact de la courbe roulante avec celle qui est fixe, et R le centre de courbure. Alors PP^, l'élément
de l'arc de la roulette, est égal àMP.PMP^*, mais, si nous considérons les courbes comme des polygones d'un nombre infini de côtés, nous pouvons voir que PMP^, l'angle dont tourne PM, est égal à la somme (ou à la différence) des angles compris entre deux tangentes consécutives à la courbe fixe et à la courbe mobile. Donc, si da est l'élément d'arc de la roulette, ds l'élément commun d'arc pour la courbe fixe et la mobile, p et p^ les rayons de courbure de chacune d'elles, nous avons
Mais cet élément c/o- est aussi égal à PR, rayon de courbure, multiplié par l'angle compris entre deux normales consécutives; et si nous appelons cp l'angle OMP entre les normales à la roulette et à la courbe fixe, l'angle de deux normales con-
, T 1 coscp ds 1, ,
secutives de la roulette est ,.',, ? d ou
M xi
