X = O, ^ = TC, ^ = 2 TT

De même, le lecteurpourra discuter la figure de y séc^ qui se compose aussi d'un nombre infini de branches infinies; seulement chaque branche, au lieu de couper l'axe, comme dans le dernier cas, est tout entière d'un même côté de cet axe. Les branches sont alternativement du côté positif et négatif de l'axe des x. A la même famille appartient une courbe appelée la compagne de la cycloïde. Elle est engendrée en prolongeant les ordonnées d'un cercle, non pas comme dans le cas de la cycloïde, jusqu'à ce que Idipartie prolongée soit égale à l'arc, mais jusqu'à ce que l'ordonnée tout entière soit égale à l'arc. Si le centre est l'origine, la courbe est représentée par les équations

al' c'est une courbe de la même famille que la sinusoïde.

^macosô, yzrzia^, x~-aco^

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314. Après les courbes qui dépendent des fonctions trigonométriques, nous pouvons citer celles qui dépendent des exponentielles. La courbe logarithmique est caractérisée par cette propriété, que son abscisse est proportionnelle au logarithme de son ordonnée; son équation est donc

X ■=! m logjK ou y = a^.

La courbe a l'axe des x pour asymptote, puisque, pour .:r= — 00 ,on aj^ = o;elle coupe l'axe des àj' une distance égale à l'unité de longueur et croît ensuite jusqu'à l'infini positif.

La sous-tangente de la logarithmique est constante; car sa

v cloo valeur, qui est, en général, • % devient égale à m pour la

ay

courbe.

[1 y a eu un peu de controverse au sujet de l'interprétation |)ropre de l'équation de cette courbe y = e^. On a d'abord seulement considéré la branche de la courbe qui est située du côté positif de l'axe des x^ et qu'on obtient en prenant la seule valeur positive et réelle de e^ qui corresponde à chaque valeur de X, Euler, dans son Analysis injinitorum, t. II, p. 290, a insisté sur la nécessité de prendre en considération la multiplicité des valeurs qu'admet la fonction; et le même sujet a été plus longuement développé par M. Vincent {Annales de Gergonne, vol. XV, p. 1). Par exemple, si x est «ne fraction à dénominateur pair, e^ a une valeur réelle négative aussi bien qu'une valeur positive, et par conséquent il doit y avoir, du côté négatif de l'axe, un point qui corresponde à cette valeur négative; mais il n'y a pas de branche continue dans cette région, car, lorsque x est une fraction à dénominateur impair, e^ ne peut avoir qu'une seule valeur réelle et positive. L'expression générale, qui renferme toutes Jes valeurs de l'ordonnée, s'obtient en multipliant les expressions numériques de e^ par les racines imaginaires de l'unité dont l'expression générale est cos 2 mx'rz -|- is\n 1 mxiz^ m devant recevoir successivement toutes les valeurs entières et

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COURBES TRANSCENDANTES. [\0l

/représentant, comme d'habitude, la quantité y/ — i. Ceci revient à dire que l'équation y z=: e^ doit être considérée comme représentant non seulement une branche réelle, mais encore une infinité de branches imaginaires comprises dans la formule y = g^ii+sm^Tt)^ \]ne quelconque de ces branches imaginaires contient un nombre de points réels : ce sont ceux où elle rencontre la branche e"^^i-+--'"^'^) et qui doivent être considérés comme des points conjugués sur la courbe. H y a une infinité de ces points qui se trouvent tous sur la branche réelle de la courbe ou sur la branche similaire du côté négatif de l'axe des x. Cette dernière branche est curieuse ; car, bien que chacun de ses points puisse être considéré comme appartenant à la courbe logarithmique, il n'y a pas deux points qui soient consécutifs, puisque deux points consécutifs appartiennent à des branches différentes. On a ici ce que M. Vincent appelle une courbe pointillée. Cependant M. Vincent me paraît être tombé dans une grosse erreur sur un point. Il dit que les points de cette branche doivent être soigneusement distingués des points conjugués; car, en un point conjugué, les coefficients différentiels ont des valeurs imaginaires, tandis qu'en un de ces points, du côté négatif de l'axe, les quotients différentiels, étant tous égaux à <?^^*, sopt tous réels et diffèrent seulement par le signe des points correspondants situés du côté positif de Taxe. Il est vraiment étonnant que M. Vincent n'ait pas observé que, si les coefficients différentiels étaient tous réels, il résulterait du théorème de Taylor que le point immédiatement consécutif serait un point réel de la courbe, et que la branche négative serait une branche ordinaire de la même courbe. Mais, parle fait, un quelconque de ces points doit être considéré comme appartenant à une branche dont l'équation est jk = ^'" ^' '*'""''' ^"^'^ et le quotient différentiel correspondant sera j^(i + irmzsj — i). Si donc on considère un point acnodal en général comme l'intersection de branches imaginaires, de même qu'un point crunodal est l'intersection S. — Courbes planes. 26

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402 CHAPITRE Vil.

de branches réelles, les points dont il est ici question, étant les points d'intersection de branches imaginaires, semblent devoir, avec juste raison, être regardés comme acnodaux. Nous avons déjà vu qu'une courbe transcendante peut avoir une infinité de points doubles ou conjugués, et, dans le cas des épitrochoïdes, que ces points peuvent être rangés d'une manière discontinue sur certains lieux (^).

315. La chaînette est la forme que prend une chaîne non élastique, de densité uniforme quand elle est au repos. Des considérations mécaniques très simples conduisent à la propriété que nous prendrons pour définition mathématique do cette courbe, à savoir que l'arc mesuré à partir du point le plus bas est proportionnel à la tangente trigonométrique de l'angle que la tangente à l'extrémité supérieure de l'arc fait avec la tangente horizontale. Si donc les axes sont une verticale et une ligne horizontale passant par le point le plus bas, nous avons

sz=z c —-' Mais, en coordonnées rectangulaires, l'élément d'arc cix ^

est la base d'un triangle rectangle dont dx et dy sont les côtés et ds' = dx^ -\- dy"^» L'équation de la courbe nous donnera donc

, ds"- G ds

s- -^ c^-=i c- -7—, ) dx = - — 5

dx^ ^ 5.2 | ql

(^) I^'exemple employé ici est dû au D"* Hart. Quelques objections aux vues de M. Vincent, et qui méritent l'attention, se trouvent dans un Mémoire de M. Gregory {^Cambridge Journal^ I, p. 281, 264). M. Gayley considère e'' (qu'il écrit de préférence exp. x) comme une véritable fonction à une seule valeur; il admet qu'il n'y a rien autre chose que la branche réelle et que les valeurs à considérer sont celles de la fonction

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la constante étant prise de manière que ^ et ^ s'annulent en même temps. 11 en résulte que

Mais l'équation de la courbe donne, de la même manière,

5^ + c^ ds- j s ds

Donc /- ==5^ + c^, pourvu qu'on suppose les axes pris de manière que, pour ^ ou 5 = o, on ait jk = c. Cette yaleur dej' donne immédiatement l'équation de la coarbe, à savoir :

Une notation très commode est la suivante :

-{e^ -\- e~ ^) ■=! cosh^, - {e^ — e~ ^) = sinli^

(lisez sinus et cosinus hyperboliques). Nous avons alors pour la chaînette

y r— c COS 11 - ; X ^:^ C COS h - • "^ C c