De l'équation de la courbe nous déduisons

dy I / f f \ s \/ y^ — c^

dx 2 c c

Nous sommes ainsi conduits à la construction suivante. Du pied de l'ordonnée M(/ig, 55), menons la tangente MT au cercle décrit du point G comme centre avec c pour rayon. Alors

MG ^ y, CT =zc, MT = sjy^ — c^ ,

tano- MGT ^. tanff MT.L = "^-^ î'.

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4o4 CHAPITRE VII.

Donc la tanê'ente PS est parallèle à MT. Les mêmes valeurs démontrent aussi que PS =i MT =: l'arc compris entre P et ie point le plus bas. Le lieu du point S est donc la dévelop-

pante de la chaînette et SN, parallèle à TG, en est la tangente, puisque PS doit être normal au lieu de S, comme tangente à sa développée. La développante de la chaînette est donc une courbe telle que le segment SN intercepté sur sa tangente entre le point de contact et une ligne fixe est constant (^). Une courbe de ce genre est appelée une tr actrice.

317. L'équation de la tractrice peut s'obtenir sans grande difficulté; car la longueur comprise entre le pied de l'ordonnée de S et le point N esty/c- — r^ ; mais, en faisant^ ■==. o

dans l'équation, elle est aussi --^-^j^* Donc l'équation diiïérentielie de la courbe est

y clx

(*) La forme d'équilibre d'une chaîne flexible a été étudiée la première fois par Galilée, qui la crut une parabole. Son erreur a été découverte expérimentalement en 1669 par Joachim Jungius, géomètre allemand; la véritable forme de la courbe a été obtenue par Jacques Bernoulli, en 1691. Gregory {Ex., p. 234) l'envoie à vn Mémoire de M. Wallace sur cette courbe, qui parait intéressant {Edinburgh Transactions, t. XIV, p. 625).

COURBES TRANSCKNDANTES. 4o5

On la rend rationnelle en posant z- = c^ — j^, ce qui donne

dx = nous avons ainsi

^ = clog ^~ VC--J-.

On verra facilement que la courbe se compose de quatre portions semblables, comme dans la courbe ponctuée de \d.fig. 55 ; et la construction géométrique du numéro précédent montre immédiatement comment on peut mener géométriquement une tangente à la courbe.

La syntractrice est le lieu d'un point Q situé sur la tangente à la tractrice et qui divise en segments de longueur donnée la droite constante SN. Soient x\ y les coordonnées du point de la tractrice, x^y celles du point du lieu cherché; soit QN = d\ nous aurons alors

yd =: yc et y/c- — y'^ — s/d'^ — y'^ = x ■ et comme, d'après l'équation de la tractrice,

^^H- \Jc^ : — /'- -^^ c log l'équation de la syntractrice sera

■ -f- sjd- — y ^^ C log -^ — ;--

La tractrice est un cas particulier du problème général des courbes équitangentielles, où l'on demande de trouver une courbe telle que le segment de la tangente compris entre la courbe et une directrice fixe soit constant.

318. Le problème des courbes de poursuite a été présenté pour la première fois sous cette forme : Trouver la piste d'un chien qui court pour atteindre son maître, Ma^

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4o6 CHAPITRE VII.

thématiquement, il s'énonce comme il suit : Le point A décrit une courbe connue ; on demande la courbe décrite par un point B; dont le mouvement est toujours dirigé vers A. Nous supposons que les deux mouvements s'effectuent d'une manière uniforme et cjueA se déplace sur une droite que nous prendrons pour axe des y (^). Le segment déterminé par la

tangente sur cet axe desjK est jr — x ;i— et par hypothèse son

accroissement infiniment petit est proportionnel à celui de

dy l'arc ; ou bien, en posant ---- = />,

— œdp z=i h\J i -h p- dx^

log^/^ + log(/? + V/l 4--P^) -t-logA=:0,

ip z=. k.-^ X-'*- — Kx^\

A + I h — i La courbe sera donc algébrique, excepté dans le cas où A = i, où nous aurons à remplacer — parlog^.

319. La développante de cercle est une autre courbe transcendante dont l'équation peut être formée sans beaucoup

Fig. SÇi,

(') Voir BouGUER, Mémoires de V Académie, 17.32 . Correspondance sur l'École Polytechnique, t. II, p. 275; Saint-Laurent, Annales de Gergonne, t. XIII, p. 145.

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COURliES TRANSCENDANTES. 4^7

cle difiîculté. La question se ramène à la solution du problème suivant : Si^ sur la tangente en un point P d'un cercle^ on prend une longueur PQ telle qu^elle soit égale à Varc PQ mesuré à partir d^ un point fixe A, trouver le lieu du point Q. Soit a le rayon du cercle, le centre étant C, et soit p le rayon vecteur CQ; soit PGA = cp, QGA = 9; alors,

PQ==vV-^^;

mais il est aussi égal à acp par hypothèse ; et comme

cp =: 6 + arc ces -->

l'équation polaire du lieu est

v/,3- — ar ^ a

= 0 H- arc ces -•

La développante de cercle est le lieu des intersections des tangentes menées aux points où une ordonnée quelconque rencontre un cercle et la cycloïde correspondante dont le sommet est en A.

320. Nous allons terminer ce Chapitre par quelques mots sur les spirales. Quand ces courbes sont rapportées à des coordonnées polaires, le rayon vecteur est une fonction non périodique de l'angle qui donne une infinité de valeurs dififérentes quand nous faisons co =: 9, d) = 27i -j- 9, w = 4'^^ + 9, . . . . La même droite rencontre donc la courbe en un nombre infini de points et cette dernière est transcendante. Prenons d'abord la spirale d^ Archimède qui est le lieu décrit par un point qui s'éloigne de l'origine d'un mouvement uniforme, tandis que le rayon qui le porte tourne autour de l'origine d'un mouvement uniforme. L'équation polaire de la courbe est

donc

p m a to.

La spirale estle lieu des pieds des perpendiculaires abaissées

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4o8 CHAPITRE VU.

sur la tangente de la développante discutée dansleprécédentnuméro. En effet, d'après la nature des développantes, la tangente en Q est perpendiculaire à PQ ; et la longueur de la perpendiculaire abaissée de C sur cette tangente est égale à PQ = ao, et cp est l'angle que cette perpendiculaire fait avec une droite fixe. Donc aussi l'inverse de la développante est la spirale hyperbolique pw = a^ que nous discuterons dans le numéro suivant. La spirale d'Archimède appartient à une famille comprise dans l'équation générale p = aco"; dans toutes ces courbes, la tangente approche d'autant plus d'être perpendiculaire au rayon vecteur que le point est plus éloigné de

l'origine, car ^-y— =-; donc (n° 95) la tangente de l'angle

fait par le rayon vecteur avec la tangente croît avec co et ne devient infinie que quand co est infini.

321. Nous venons de parler de l'équation de la spirale hyperbolique pw^a. Cette courbe a une asymptote parallèle à la droite à partir de laquelle on mes.ure Tangle w. Car la perpendiculaire abaissée d'un point quelconque de la spirale sur cette droite est psinco = a ? quiala valeur finie a

quand co est nul et quand p devient infini. Nous pourrions encore calculer la longueur de la perpendiculaire abaissée de

Fig. 57.

l'origine sur la tangente. La tangente trîgonométrique de

l'angle que le rayon vecteur fait avec la tangente est p -r- =— ^ w;

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COURBES TRANSCENDANTES, l\OC)

donc la perpendiculaire est ^ z= qui est égale à a quand p

devient infini. La forme de la courbe est celle que nous indiquons ci-conlre (Jig' Sy). La sous-tangente polaire est constante. L'arc AB du cercle décrit avec le rayon vecteur OA, en un point quelconque de la courbe, est évidemment constant. Une autre spirale digne de remarque est celle dont l'équation est p^co = a^; elle a aussi une asymptote : c'est la droite à partir de laquelle on mesure co.En effet, la distance d'un point

, , , , , , . . a^sinix)

ffuelconque de la courbe a cette droite, psincor=: ?

^ -■- . • ^ pto

décroît indéfiniment quand p augmente et quand, par conséquent, 0) diminue.

322. Nous mentionnerons en dernier lieu la spirale logarithmique p = a^. Dans cette courbe, p croît indéfiniment avec (i) ; quand co = o, p = i ; il diminue ensuite pour des valeurs négatives de co et ne devient nul que pour cù =: — ce . La courbe fait donc une infinité de tours avant d'atteindre le pôle. Une des propriétés fondamentales de cette courbe, c'est qu'elle coupe tous les rayons vecteurs sous un angle constant;

carp-T- devient le module du système de logarithmes qui

a a pour base; donc l'angle que fait le rayon vecteur avec la tangente a toujours ce module pour tangente trigonométrique. Cette propriété conduit immédiatement à la rectification delà courbe; car, si nous considérons le triangle élémentaire qui a pour hypoténuse l'élément d'arc et pour côté l'accroissement infinitésimal du rayon vecteur, nous voyons que l'élément d'arc est égal à l'accroissement infinitésimal du rayon vecteur multiplié par la sécante de cet angle constant, et par conséquent un arc quelconque est égal à la différence des rayons vecteurs extrêmes, multipliée par la sécante du même angle. La longueur entière, mesurée d'un point quelconque P jusqu'au pôle, étant p séc9, on la construit en éle-

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4iO CHAPITRE YII.

vant au pôle la droite OQ perpendiculaire à OP jusqu'à la rencontre en Q de la tangente en P; PQ est alors la longueur cherchée. Le lieu de Q sera évidemment une développante de la courbe; mais les angles du triangle OPQ étant constants, OQ est proportionnel à OP; il fait un angle droit avec OP; le lieu de Q est donc une spirale logarithmique, construite en faisant tourner tous les rayons vecteurs d'un angle droit et les changeant suivant un rapport donné. Réciproquement, la développée d'une spirale logarithmique est une spirale logarithmique. Le lieu du pied de la perpendiculaire abaissée sur la tangente est aussi une spirale logarithmique ; car cetle longueur est dans un rapport constant avec le rayon vecteur et fait avec lui un angle constant. Les caustiques par réflexion et réfraction, dans l'hypothèse où la lumière émane du pôle, sont de même des spirales logarithmiques (^).

(') Cette courbe a été imaginée par Descartes, qui reconnut quelques-unes de ses propriétés. La propriété de se reproduire elle-même de diverses manières, comme on l'a montré ci-dessus, a été découverte par Bernoulli et excita sa vive admiration.

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TRAiVSFOBMATION DES COTJBBES. l{ll

323. Dans les parties précédentes de cet Ouvrage, nous avons exposé les méthodes particulières au moyen desquelles on peut déduire les propriétés d'une courbe de celles d'une autre courbe ; telles sont les méthodes de la projection, des polaires réciproques, de l'inversion .... Nous nous proposons dans ce Chapitre d'étudier la théorie générale qui leur sert de base. Dans toutes ces méthodes, nous avons en général à considérer la correspondance de deux points P, P^ qui peuvent être situés dans le même plan ou dans des plans différents. Dans ce dernier cas, les deux plans peuvent être regardés comme coexistant dans un espace commun et les deux points P, P^ peuvent être liés l'un à l'autre dans cet espace par des relations géométriques. Par exemple, dans la mélhode de projection, la droite qui joint les points P, P^ est assujettie à la condition de passer toujours par un point fixe O. D'une manière analogue, nous aurions un autre système de transformation, si la droite PP^ était soumise à la condition de rencontrer toujours deux droites fixes, et ainsi de suite. Le développement de ces théories, en général, appartient à la Géométrie de l'espace ; ici nous considérerons les deux plans comme existant, indépendamment àe loui espace commun. Pour prendre l'exemple le plus simple, supposons que nous ayons un couple d'axes dans Fun des plans et un autre couple d'axes dans l'autre plan ; et admettons que les coordonnées de P rapporté au premier système doivent toujours

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4l2 CHAPITRE VIII.

être respectivement égales aux coordonnées de P^ rapporté an second couple d'axes ; nous obtiendrons évidemment ainsi un système dans lequel un point quelconque P du premier plan correspondra à un point P^ du second, et réciproquement.

Nous pouvons supposer les deux plans applicpés l'un sur l'autre, de manière à former un plan unique. Si nous concevons cette opération effectuée, il y aura des théorèmes qui dépendront de la superposition des deux plans; mais, en outre de ceux-ci, il en subsistera d'autres qui existaient quand les deux plans étaient distincts, et leur théorie ne sera réellement pas altérée. En d'autres termes, au lieu de deux figures situées dans des plans différents, nous avons deux figures contenues dans le même plan; et par le mot de figure, nous entendons désigner un système quelconque de points, de droites ou de courbes ; ou bien encore, nous pourrons employer ce mot pour désigner tous les points du plan. Le genre de transformation qu'on a surtout étudié est la transformation rationnelle^ c'est-à-dire celle où une position donnée de P' correspond en général à une position unique de P, et une seule position de P à une seule position de P^ L'exemple le plus simple de ce genre est la transformation linéaire ou homographique; nous allons l'étudier en détail.