TRANSFORMATION LINÉAIRE

3!24, Soient x^y^ z les coordonnées de P rapporté à un système quelconque d'axes dans le premier plan; soient x' ,y\z^ celles de P^ rapporté à un système quelconque d'axes du second plan; la correspondance des deux points est dite linéaire quand les dernières coordonnées sont proportionnelles à des fonctions linéaires des premières.

X : j' : z' ^=1 ax -\- hy ^ cz \ a'x -+- b' y + c'z', a" x -^ b" y -i- c"z.

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ÏRANSFORMATION LINÉAIRE. 4l3

En résolvant ces équations, nous obtiendrons évidemment aussi pour x^y, z des expressions linéaires en fonction de

Il est facile de voir que, si nous choisissons convenablement les triangles fondamentaux aussibien que lesrapports des constantes implicites, ces équations pourront, sans rien perdre de leur généralité, être écrites sous la forme x' \ y' : z' =i x \y ', z. Ainsi à une position de l'un des points il correspond donc une position unique de l'autre point. Si P décrit une courbe o(^x^y^ z) = o, en remplaçant dans cette équation x^y^ z par les valeurs que nous venons d'écrire, nous obtiendrons l'équation de la courbe décrite par P^ Cette dernière équation est évidemment de même ordre que la première; donc une courbe située dans l'un des plans a pour correspondante une courbe de même ordre dans l'autre plan. En particulier, à une droite dans l'un correspond une droite dans l'autre. Si a = o, P r= o, Y = o représentent trois droites du premier plan ; et si, parla substitution indiquée ci-dessus, a, P, y deviennent respectivement a^, [3^, y^, une droite quelconque

la -h m p -H /z Y = o

du premier plan aura évidemment pour correspondante la

droite

la.' -hmp' -h îi-^' -=.0

dans l'autre plan. Il est aussi évident qu'à un point double ou à un point de rebroussement d'une des courbes correspondra un point double ou un rebroussement sur l'autre, en sorte que deux courbes qui se correspondent dans cette méthode auront les mêmes caractéristiques Plûckériennes. Les quantités x' ^y\ z' exprimées en fonction de x^y^ z contiennent chacune trois constantes : il y a donc neuf constantes employées dans cette méthode de transformation; mais, comme nous n'avons

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4l4 CHAPITRE VIII.

affaire qu'aux rapports mutuels de x', y^ z' , nous pouvons faire disparaître une constante par la division, et la méthode de transformation homographique doit être regardée comme comprenant huit constantes arbitraires.

325. Un faisceau de quatre droites passant par un point apour correspondant un faisceau dont le rapport an harmonique est le même. En effet, nous avons montré [Sections conicjues^ n° 59) que le rapport anharmonique de quatre droites, a — /{"P^a — /p, a — 772^, a — n^ est une fonction de/r, /, m, n seulement et qu'il est par conséquent le même que le rapport anharmonique de a — /c[3^, .... De même à quatre points en ligne droite correspondent quatre points dont la fonction anharmonique est la niême.

Etant donnés quatre points quelconques de la première figure et les points A^, B^, C, D'qui leur correspondent dans la seconde, on voit facilement d'après cela comment nous pouvons construn^e le point P^ qui correspondra à un autre point quelconque P de la première figure. En effet, le rapport anharmonique du faisceau A^(B^, G^, D^, P^) est égal à celui du faisceau A (A, G, D, P) ; nous pouvons par conséquent construire la droite xV, P^; nous construirions de même les droites BT^, GT^, D^P^ et ces quatre droites concourront évidemment en un même point, qui est le point P^ Gette construction est applicable, que les deux plans soient distincts ou superposés.

326. Supposons maintenant les plans superposés, et cherchons une autre construction géométrique pour exprimer la relation entre les droites et les points correspondants. Soient A, B, G les sommets du triangle formé par les droites x^y, z\ et A',B^, G'ceuxdu triangle formé par les droites correspondantes. Gomme toutes les droites issues de A forment un système homographique aux droites correspondantes menées par A^,

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TRANSFOlUIATiON LINÉAIRE. l^lS

le Heu des points d'intersection des droites correspondantes est une conique. Analytiquement, comme la droite jk + A^3 correspond à y-^k^z^ on peut éliminer k et le lieu du point d'intersection sera yz' ^^y'z. De même, toutes droites menées par B et par G rencontrent les droites correspondantes sur les coniques fixes zx' — xz', xy' — yx' . La construction suppose donc que, outre les trois couples de points correspondants A, A^; B, B^; G, G', on nous donne trois coniques fixes qui passent chacune par un couple de

% oc ')^ z

points correspondants; et la forme des équations ^ r= — t=z -

montre que ces trois coniques ont aussi trois points communs. Pour construire le point du second système qui correspond à un point quelconque P du premier, nous mènerons donc ]a droite AP qui rencontrera la courbe jk^' — yz au point F; AT sera la droite qui correspond àPA; si nous supposons de même que PB, PG rencontrent respectivement les coniques zx^ — xz^ ^ xy' — yx^ aux points G, H; B^ G, G'H seront respectivement les droites correspondantes. Les trois droites AT, B^G, G^H auront un point commun P^ qui sera le point correspondant demandé de P. La droite qui correspond à une droite donnée quelconque s'obtiendra en construisant les points correspondant à deux points de la droite donnée.

327. Dans la méthode qui précède, la relation qui existe entre deux points n'est pas réciproque en général; c'est-à-dire que si P, point du premier système, a pour correspondant le point P^ du second, il ne sera pas vrai que P^, considéré comme point du premier système, aura P pour correspondant dans le second. En effet, si nous considérons P comme appartenant au second système, nous construirons le point correspondant, en joignant P à A', B^, G^; supposons que ces droites rencontrent les coniquesrespectives enF^, G^, H^; alors PA^, PB^, PC' auront pour correspondantes dans le premier système les

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■4l6 GH A PI TUE VI II.

droites AF', BG^ GH^ qui se rencontreront en un point P^ généralement différent de P.

Gonsidérons cependant les trois points L, M, N communs aux trois coniques yz — z^y^ z^x — x^ z^ x'y — y'x; la conslrnction montre qu'aux droites LA^ LB^ LG correspondront respectivement les droites LA', LB', LG\ Il en résulte que les deux systèmes ont en commun tes trois points L, M,N; chacun de ces points, considéré comme appartenant à l'un des systèmes, est lui-même son propre correspondant dans Tautre. De même, les droites qui joignent ces points sont évidemment les mêmes pour les deux systèmes. Si nous partons des points L, M, N considérés comme donnés, et si nous connaissons un seul couple de points correspondants, nous pourrons, en vertu du théorème du n° 325, construire immédiatement dans l'un des systèmes le point qui correspond à un point quelconque de l'autre système.

Si nous exprimons les équations en coordonnées trilinéaires, en prenant les trois droites LM, MN, NL pour droites de référence, les équations qui dans le second système correspondent à ^ = o,jK = o, ^ = o du premier doivent encore représenter les mêmes droites ; elles ne peuvent donc en ditlerer que par des multiplicateurs constants qui doivent être de la forme

Ix = o, my =1 o, nz ■=: o.

Donc, par un choix convenable des axes de référence, la correspondance homographique peut toujours s'exprimer sous une forme telle qu'un point {x' ,y , z^) du premier système ait pour correspondant le point {lx\ my' , nz') du second; et la transformation homographique s'effectuera alors en rempJaçant respectivement dans l'équation de la courbe x^ y^ z par Ix^ mjj nz. Nous ne pouvons plus poser ici

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