TRANSFORMATION LINÉAIRE. [\\-J

comme dans le n^ 321, parce que les deux' figures seraieiit idenliques.

328. La méthode de projection est un cas de la transformation liomographique. Dans cette méthode, la droite qui joint deux points correspondants quelconques passe par un point fixe qui est le sommet du cône projetant et deux droites correspondantes quelconques se coupent sur une certaine droite (ixe qui est l'intersection des deux plans de section, Si Fun des plans tourne autour de cette droite de manière à venir coïncider avec l'autre, les figures jouiront toujours de la propriété que la droite qui joint deux points correspondants passera par un point fixe. En effet, si nous considérons les triangles formés par trois couples de droites correspondantes, les côtés correspondants se coupent sur une même droite; par conséquent, les droites qui joignent les sommets correspondants se rencontrent en unrnême point. Il est facile de former les équations les plus générales d'un pareil système. Soit ax -{- by -i- cz =: o l'équation de la droite sur laquelle se coupent les droites correspondantes; il esr alors évident que les équations de ^^, jV ^^ (l^s droites qui correspondent à X, y^ z) seront de la forme

x' ■=. a'x -H hy -^ cz ■=! o, y ■=. ax -h h' y -h cz =0, z' =rz ax -f- hy -h c' z m o.

Ce système renferme trois constantes de moins que dans le cas général, et par conséquent il en contient cinq en tout.

Nous appellerons pôle du système le point où se rencontrent les droites qui joignent les points correspondants, et axe du système la droite sur laquelle se coupent les droites correspondantes. En retranchant successivement l'une de l'autre chacune des équations qu'on vient d'écrire, on verra que le pôle du système dont nous avons écrit les équations est dô- S. — Courbes planes. "27

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4l8 CHAPITRE VlII.

terminé par les relations

{a-~a')xz=z{h~ b')y^{c— c')z.

Les formes les plus simples des équations de la transformation projective s'obtiennent comme il suit : Toute droite qui passe par le pôle reste la même dans la nouvelle figure ; en effet, deux points situés sur cette droite auront pour correspondants deux points de la même droite. Si donc nous prenons le point xy pour pôle, les deux droites x^yne seront pas altérées parla projection ; une autre droite A^+B^+Cs^o aura pour correspondante la droite A^ + B/ -|- C'C = o et les deux droites se couperont sur l'axe fixe z — Ç = o. Toute droite Kx -\- ^y = o qui passe par le pôle ne change évidemment pas.

329. Réciproquement, si deux figures homographicjues situées dans le même plan jouissent de cette propriété que des droites correspondantes quelconques se coupent sur un axe fixe, une des figures peut être considérée comme la projection de l'autre. Faisons tourner le plan de l'une des figures autour de l'axe et considérons trois couples de points correspondants A, B, C, a, &, Cj les côtés correspondants des triangles qu'ils forment se coupant en L, M, N. Lorsque le plan tourne, Aa, B^ doivent encore se couper (puisque les droites AB, ab se rencontrent en N et sont par conséquent situées dans le même plan); et d'après la théorie des transversales, Aa prolongé est coupé par B6 dans le même rapport qu'avant que les figures se soient déplacées. On voit de même que Ce et la droite qui joint un autre couple de points correspondants rencontrent A a au même point.

330. La méthode générale de transformation homographique contenant trois constantes de plus que la méthode projective, il semblerait à première vue qu'elle constitue un instrument de recherche plus puissant, et nous pourrions nous attendre

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TRANSFOIlx^IATION LINÉAIRE. 4'9

à arriver, avec son aide, à des extensions de théorèmes connus plus générales que celles que nous a données la méthode de projection. Il est évident, cependant, que si une figure était transportée tout d'une pièce dans une autre position quelconque, cette opération nous fournirait une transformation linéaire, dans laquelle chaque droite de la première figure aurait pour correspondante une droite de la seconde figure, mais qui ne nous donnerait cependant aucune propriété géométrique nouvelle. Nous devons à Magnus cette remarque, que la transformation la plus générale peut être ramenée à une transformation projective, en faisant tourner la figure d'un angle donné et la transportant parallèlement à elle-même d'une longueur donnée suivant une direction donnée; ces trois dernières constantes sont justement celles qui font paraître la transformation homographique plus générale que la transformation projective.

Pour démontrer cette proposition, nous devons d'ahord faire remarquer que, si une figure éprouve une translation suivant une direction quelconque sans rotation simultanée, toutes les droites restent parallèles à leur première position ; par conséquent la position des points à l'infini n'éprouve aucun changement par le fait de cette opération.

Supposons maintenant que toute la figure tourne autour d'un point fixe ; un système quelconque de droites parallèles demeurera encore un système de droites parallèles, quoique ces dernières ne soient plus parallèles à leurs directions primitives. Toutpoint à l'infini reste donc à l'infini et par conséquent la droite de l'infini est la même pour la figure dans ses deux positions. Gomme de plus un cercle restera un cercle, de quelque manière qu'on le fasse mouvoir, nous voyons que les deux poini s circulaires à l'infini ne changeront pas, quel que soit le mouvement de la figure.

Supposons donc qu'on demande de déplacer une figure de manière à la mettre en projection avec une figure homogrà-

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pliique donnée; soient to, iù' les deux points circulaires, 0, o^ les deux points correspondants de la seconde figure ; comme aucun mouvement de la première figure ne peut changer la position de co et w^la seule position possible du pôle cherché pour les deux figures est le point \ où les droites oto, o' to' se coupent. Supposons maintenant que la première figure ait été déplacée, de manière que le point / qui correspond à )^ coïncide avec lui. Faisons enfin tourner (a première figure autour de /, de manière à amener 7??, ^ (un autre couple de points correspondants) sur une même droite avec /, les deux figures seront en perspective et la droite qui joint deux autres points correspondants /z, v devra aussi passer par /; car le rapport anharmonique de (/. a)to^ p-v) = (/. 00' mn) fn" 3^5) et, comme trois droites des deux faisceaux sont les mêmes, les quatrièmes droites de ces faisceaux doivent se confondre. Le théorème de Magnus se trouve ainsi démontré.

331. Il n'y a pas de difficulté à exprimer analytiquement la théorie géométrique du numéro précédent. Supposons qu'on nous demande de trouver les coordonnées du point /dans le cas de la transformation générale; il faut d'abord, d'après la théorie qu'on vient d'exposer, trouver la droite otù qui joint le point (.r + if-i z) à

\\ax --f- by -{- cz-\' i{a^x -\- b^y -h c^z)\^ a^x^ b^y H- c^z^.

'Jette droite sera

(/72— ia^)[{ax -\- by -^ cz)-i- i{a^x -\- b^y -^-c^z)]

— [«1-1- b 4- i{b^ — a)'\{a^x-^ Ky -^ ^2^) — o ou

{ab^ ^~. a^b)x +{a^b^ — a^ b<2)y

-V [{cb.2~ c^b) -\- {c^a^-- c^aj )]--+- i\{a^b^— b^a^)x

r.a droite qui joint 0)^,0' ne différera de celle-ci que parle

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É^ÎIANGE ENTRE LES COORDONNÉES DE DROITE ET DE POINT. u^'ll

signe de la quantité qui multiplie i. Le point cherché est donc rintersection des deux droites que l'on obtient en égalant séparément à zéro la partie réelle et la partie imaginaire de l'équation.

Il n'est pas nécessaire de nous appesantir sur les cas particuliers de la transformation linéaire, par exemple sur le cas de la similitude. Nous mentionnerons seulement un genre de relation homographique dans lequel l'aire d'une portion quelconque d'une figure est égale à celle de la portion correspondante de l'autre figure. On voit facilement qu'une pareille transformation est possible. En effet, supposons que le triangle formé par ^, j)/, z soit égal à celui que forment x\ y, z' ; si nous prenons un point O sur la première figure, il est facile de déterminer un point correspondant o sur la seconde, de manière que Oxj' =: ox'y , etO^^ = ox^z' et que par conséquent Ovz =^oyz' , Le triangle formé par trois points quelconques O, P,Qsera égal au triangle formé par opq^ cjui sont les points correspondants ainsi déterminés.

Cette sorte de relation homographique diffère de la projection orthogonale comme la relation générale de collinéation diffère de la projection en général.