COORDONNÉES DE POINT

1. Le plan renferme une droite toute spéciale, la droite de l'infini; sur celle-ci sont situés deux points particuliers (imaginaires) : ce sont les points circulaires à l'iafini. Un théorème de Géométrie peut n'avoir aucun rapport avec cette droite et ces points : on dit alors qu'il est descriptif; dans le cas contraire, il est métrique,

2. Les coordonnées dont on fait usage pour déterminer la position d'un point dans un plan sont les coordonnées cartésiennes (rectangulaires ou obliques) ou les coordonnées trilinéaires ; ces dernières comprennent toutefois les premières comme cas particulier. D'une manière générale, nous pouvons dire que les coordonnées cartésiennes (rectangulaires) sont celles qui se prêtent le mieux à la discussion des propriétés métriques ; tandis que les coordonnées tri-

(*) Ce Chapitre a été rédigé par M. Cayley. S, — Courbes planes.

linéaires conviennent mieux à l'étude des propriétés descriptives. Cependant, quand il s'agit de propriétés métriques, il y a souvent un avantage sérieux à employer la notation des coordonnées trilinéaires ; Téquation d'une courbe affecte alors la forme d'une équation homogène en {Xjy, z), dans laquelle x, y sont les coordonnées rectangulaires ordinaires et où z est égal à l'unité. Il convient d'étudier avec quelques détails la théorie des systèmes de coordonnées dont i] vient d'être question.

3. Les coordonnées trilinéaires, telles qu'on les a définies dans les Sections coniques (n** 62), sont les distances perpendiculaires (/?, ^, r^ d'un point à trois droites données; on admet que ces droites constituent un triangle (c'està-dire que deux d'entre elles ne sont pas parallèles). Si l'on appelle a, b^ c les côtés de ce triangle, A son aire, et si l'on convient de plus de regarder les coordonnées (/?, q^ r) comme positives quand le point est dans l'intérieur du triangle, les coordonnées [p, q, r) vérifient la relation (Sections coniques, n^ 63)

ap -\- hq -\- cr ■=. 1 L,

Cette relation permet de rendre homogène une équation qui ne l'était pas primitivement; nous supposerons toujours cette opération effectuée et, par le fait, les équations dont nous nous servirons seront toujours homogènes.

4. Il est toutefois avantageux d'avoir une définition plus générale des coordonnées trilinéaires ; ainsi, sans fixer aucunement les grandeurs absolues des coordonnées (^,j", 2), nous pouvons les prendre égales à des multiples donnés {^^p^^q^'^r) des coordonnées trilinéaires primitives (/?, q, r). Si l'on remarque que la distance d'un point à une droite mesurée suivant une direction donnée est un multiple donné de la perpendiculaire abaissée du point siir la droite, on peut

donner à la définition les diverses formes qui suivent et qui ont le même degré de généralité : les coordonnées trilinéaires (oo^y^ z) d'un point du plan sont proportionnelles à des multiples donnés des distances perpendiculaires

des multiples des distances mesurées suivant des f ^^ point

directions données. . * . \ à trois

des multiples donnés des distances mesurées droites suivant une seule et même direction donnée. . \ données, aux distances mesurées suivant des directions

données

Les trois droites données, par exemple les droites ^ = o, )/ r=: o,^ = O; sont appelées les axes de coordonnées, ou simplement les axes; et le triangle qu'elles constituent a reçu le nom de triangle fondamental, triangle de référence, ou simplement de triangle.

Remarquons que^, tant que les quantités {x^y^ i;) restent indétei-minées, en ce qui regarde leur grandeur absolue, il ne peut exister de relation identique qui les lie les unes aux autres ; et, comme les équations dont nous faisons usage sont nécessairement homogènes, elles expriment des relations «ntre les rapports mutuels des coordonnées.

5. Il n'y a pas, en général, d'avantage à fixer les grandeurs absolues des coordonnées ; mais nous pouvons le faire, si nous voulons, et spécifier que les quantités (^, jk, z) seront respectivement égales à (ap, ^q^ yr). Dans ce cas, les coordonnées sont liées par la relation

ax by cz ^

cette relation sert à déterminer les grandeurs absolues des coordonnées (^, y^ z) d'un point particulier quelconque, quand leurs rapports sont connus.

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Il est à peine nécessaire de faire remarquer que la distance d'un point à une droite est considérée comme changeant de signe, quand le point passe d'un côté à l'autre de la droite. On peut, pour chacune des droites, choisir à volonté le côté positif et le côté négatif; cependant il est commode, en général, de les fixer de telle sorte que pour un point situé à l'intérieur du triangle les rapports (x ', y l z) on les coordonnées (x, jK, z) (quand ces dernières sont déterminées en grandeur absolue) soient positives.

6. Si nous choisissons les droites œ= o, jk=o,^=o pour droites données, les valeurs des rapports œ'.ylz dépendent de celles des constantes implicites a, [3, y et par conséquent ne sont pas encore complètement déterminées ; mais nous pouvons les fixer de telle manière que, pour un point donné,, les rapports (ce \y : z) aient des valeurs données. Par exemple, si, pour le point dont les distances perpendiculaires sont P\') <^\i J^\-> ces rapports doivent avoir les valeurs données ^ilyil^iy la détermination des coordonnées se trouve complète; car nous avons

Pi Çi ^

Nous pouvons aussi (ce qui revient à peu près au même) choisir nos coordonnées de manière qu'une équation linéaire

donnée

A^ + BjM-Gx;=:o

représente une droite donnée. Et en effet, si l'équation de la droite donnée en fonction des coordonnées (/?, q, r) est

nous aurons les relations

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En général, il n'y a pas avantage à faire usage des équations que nous venons d'écrire ; le procédé le plus commode consiste à considérer les coordonnées comme fixées de telle sorte que le point (i : i : i) soit un point donné de la figure, ou que la droite

^ + JK -+- -2 = O

soit une droite donnée de cette même figure.

7. Il faut remarquer que nous pouvons, sans incorrection, parler du point (a, (3, y); nous entendrons par là le point dont les coordonnées ont leurs rapports mutuels xiy\z égaux à a: ^ : v. Et quand nous dirons que les coordonnées d'un point sont (a, [5, y), ou que les I^Xy^jZ) sont égaux à (a, p, y), nous ne ferons cju'exprimer la même chose; c'està-dire que nous ferons seulement connaître que les rapports de ces quantités sont égaux, pour la raison toute simple que les grandeurs absolues sont indéterminées. Ainsi, dans le numéro précédent, au lieu de parler du point (i:i:i) nous aurions pu dire le point (i, i, i).

8. Le point (i, I, i) et la droite ^ +r + ^ ==:o, ou plus généralement le point (a, p, y) et la droite

ont, par rapport au triangle fondamental, une relation géométrique bien connue. Si le point en question est O (/ig» i)? la droite correspondante LMN est celle qui joint les points d'intersection des côtés du triangle fondamental ABC avec les côtés du triangle DEF ; ce dernier est formé par les points où les droites, qui joignent O aux sommets du triangle ABC, rencontrent les côtés opposés. Réciproquement, étant donnée la droite LMN, nous pouvons construire le point O en joi*

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gQant les points L, M, N, où la droite coupe les côtés du triangle ABC, aux sommets opposés de ce triangle ; ces droites forment un nouveau triangle et les droites qui joignent ses sommets aux sommets correspondants du triangle

Fig. ï.

fondamental se coupent au point O. Par le fait, le point et la droite sont des éléments harmoniques, et nous montrerons dans la suite qu'ils sont dans la situation de pôle et polaire par rapport au triangle considéré comme courbe du troisième ordre ou, comme nous pouvons le dire plus simplement, par rapport au triangle. Si donc l'on donne l'un des deux éléments, point ou droite, l'autre est connu; et il revient au même de supposer que le point (i, i, i) soit un point donné, ou que la droite

soit une droite donnée.

Si nous regardons la droite x -hjk +^ = o comme une droite donnée, nous avons en tout quatre droites données ; et si nous posons pour plus de commodité

(c'est-à-dire, si nous considérons w comme remplaçant — X — y — 5), les coordonnées se trouvent déterminées de

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telle manière que

^r=zO, J m: O, -S ^= O, (^ip m: O

sont des droites données.

9. Les coordonnées peuvent être choisies de telle sorte que le point (i, i, i) soit le centre de gravité du triangle et

que la droite

soit la droite à l'iniini. Si nous nous reportons à l'équation

ap -\- bq -\- cr ■= 2 A,

ceci revient à supposer

X *, y \ z ■=: ap \ bcj \ cr,

c'est-à-dire que, si nous joignons le point aux trois sommets, en divisant ainsi le triangle fondamental en trois triangles, les coordonnées x^ jk, z sont proportionnelles à ces trois triangles composants (ou, ce qui revient au même, chaque coordonnée est proportionnelle au quotient de la perpendiculaire abaissée du point sur un côté et de la perpendiculaire abaissée du sommet opposé sur le même côté). On peut remarquer que, si nous fixons les grandeurs absolues des coordonnées et si nous posons

ap bq cr

c'est-à-dire si nous prenons x^ y^ z égaux aux rapports des triangles composants à la surface du triangle fondamental, la relation que vérifient les coordonnées est

10. Le triangle fondamental équilatéral constitue un cas particulier; dans ce cas, si x^ y, z sont proportionnels aux

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8 CHAPITRE ï.

perpendiculaires abaissées d'un point sur les côtés du triangle de référence, le point (i, i, i) est le centre de ligure et ^ -f- r + ^ = o représente la droite à rinlîni. Si, pour fixer les grandeurs absolues, nous prenons {x, y, z) égaux aux perpendiculaires abaissées sur les côtés, et si de plus nous choisissons comme unité de longueur la perpendiculaire abaissée d'un sommet quelconque sur le côté opposé, les

coordonnées du centre de figure sont i^-, ^? ^J et celles

d'un point quelconque sont liées par la relation

Dans le cas actuel, où le triangle fondamental est équilatéral et où x-^y-^z-=o est l'équation de la droite à l'infini, les coordonnées des points circulaires à l'infini sont

^ ; j/ • ^ z.— I * co : to^ et

^ : j/ : ^ r= I : w^ : to,

to étant une racine cubique imaginaire de l'unité. En efi'et, six et Y sont des coordonnées cartésiennes (rectangulaires), si l'origine est placée au sommet (,r = o, jk = o) du triangle et si l'on compte les X suivant le côté ^ =: o, on a

Xv/3— Y 2— Xv/3— Y

Mais, pour les points circulaires à l'infini, X et Y sont infinis

et X dz ? Y = o ( i est égal à y-— i , comme d'habitude) ; par conséquent,

— j ZTz is^/Z ^ — I dz isJZ

— i\f^ ^ . —1-4- isj?»

œ\ y: z-=zi

Si nous posons co = ^> et par suite to^

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cette suite de rapports équivaut à

^ ; j/ : ^ z=: I : CO • 0)2 ou à ^ '. y l Z := 1 l 0)^ l to,

IK Supposons que l'un des axes, celui des z par exemple, soit la droite à l'infini ; la distance r a dans ce cas la valeur 00 , qui doit être regardée comme une constante infinie; vr est donc une constante que nous pouvons supposer finie et égale à l'unité, sans nuire à la généralité de nos raisonnements. Nous avons alors les relations

^ { j : ^ nz a/j> : p ^ : I .

Les coefficients a et (3 peuvent être déterminés de telle manière que ap et ^q représentent les distances d'un point aux droites .7; = o et 7 = 0, ces distances étant mesurée^ chacune parallèlement à la direction de l'autre droite ; c'est-à-dire que, si X, Y sont les coordonnées cartésiennes du point, nous avons

ou, ce qui revient au même, si nous fixons les grandeurs absolues des coordonnées, Xyj et z {= 1) seront les coordonnées cartésiennes du point rapporté à deux axes quelconques de coordonnées.

12. Dans tout ce qui précède nous nous sommes seulement servi de la droite à l'infini, mais nous n'avons fait aucun usage des points circulaires à l'infini; aussi les coordonnées cartésiennes résultantes sont-elles généralement obliques; elles peuvent cependant être rectangulaires; en effet, si nous prenons pour les droites ^ == o et y =: o deux droites en relation harmonique avec les points circulaires à l'infini, ou, ce qui revient au même, deux droites perpendiculaires l'une sur l'autre, les coordonnées seront rectangulaires. La relation harmonique à laquelle nous faisons allusion consiste en ce

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que les deux droites coupent la droite à l'infini suivant un couple de points formant avec les points circulaires à l'infini un groupe de quatre points harmoniques; ou, ce qui est la même chose, les deux droites en question et celles qui joignent leur point d'intersection aux points circulaires à l'infini constituent un faisceau harmonique. (Voir Sections coniques, n° 356. )

13. Il peut y avoir avantage dans quelques cas à faire usage des coordonnées imaginaires \=. x -\~ iy^ -f\z= x — iy et ^ =: I ; on peut leur donner le nom de coordonnées circulaires.