Considérons le point P comme donné ; la construction

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géométrique à effectuer pour déterminer P' revient en général à ceci : c'est que nous avons une certaine courbe 6, dépendante de P, qui, par ses intersections avec la courbe donnée, détermine les points F. Dans quelques cas, P' est l'une quelconque des intersections en question; mais, dans d'autres cas, un certain nombre d'entre elles coïncideront en général avec P et doivent être mises de côté. Ainsi, dans le cas où P, P' sont collinéaires avec O, la courbe 0 est la droite OP qui rencontre la courbe donnée au point P compté une fois (qui doit être exclu) et en m — i autres points. De même, quand F est un tangentiel de P, la courbe 0 est la tangente en P qui rencontre la courbe donnée au point P compté deux fois (à exclure) et en m — ■ i autres points.

Il y a plus, la courbe 0 peut rencontrer la courbe donnée en des points qui forment deux ou plusieurs classes distinctes, de telle manière que les points de l'une des classes seulement soient des positions du point P^ Ainsi, dans le dernier exemple, en échangeant entre eux les points P, P' el considérant maintenant P^ comme le point de contact d'une tangente menée à la courbe par le point P, la courbe 0 est le système des n — i tangentes menées de P à la courbe; chacune d'elles rencontre la courbe au point P compté une fois, au point de contact P^ compté deux fois et en m — ?j autres points P^^ (qui sont les cotangentiels de P, c'est-à-dire que PP^' est tangent à la courbe en un point P^ différent de P ou P'^ ). Ou , ce qui revient au même, la courbe 0 de l'ordre n—x coupe la courbe au point P compté n- — i fois, en n — a points P' comptés chacun deux fois et en (/i — iî)(m — 3) points P" comptant chacun une fols. La correspondance (P, F) est, comme on l'a vu, (m — a, /z — 2) ; la correspondance (P, P^') est évidemment (/i — i>in — 3, n — 2. m — 5).

374. Le théorème relatif à une courbe unicursale conduit par induction à ce théorème que, pour une courbe en général,

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468 CHAPITRE YlII.

le nombre des points unis devrait être égal à a + a' augmenté d'un multiple du genre, ou bien égal à a + a' -f- //.2D; mais, gi nous admettons que la courbe © intervienne d'elle-même dans le problème, le dernier exemple montre qu'il est nécessaire de considérer le cas où la courbe 6 présente des classes distinctes de "points d'intersection avec la courbe. Le théorème général est le suivant :

Si pour une courbe donnée du genre D les points correspondants de P sont V\ P", ... ; si P, P^ ont une correspondance (a, a') et si le nombre de points unis est égal à a; si P, P'' ont une correspondance ([3, ^') avec h points unis, etc.; et si la courbe 6 qui, par ses intersections avec la. courbe donnée^ détermine les points P^, P^^, . . . , coupe ladite courbe au point P qui soit compté k fois, en chacun des points V qui soit compté p fois, des points V" qui soit compté q fois et ainsi de suite, noiis avons

dans cette relation^ il faut évidemment tenir compte, dans chacune des différentes correspondances, des points unis spéciaux {sHly en a).

Ainsi, dans les exemples considérés ci-dessus, pour une courbe unicursale, si, en premier lieu, P, P' sont collinéaires avec O, nous avons

Ensuite, si P^ est un tangentiel de P,

et, dans le cas où P est un tangentiel de P', et où b^ [3, p' se rapportent à la correspondance des cotangentiels P, P^',

b — 2(m — 3)(/i— 2)H-2(a~-a — a^) = (/i— 2)2D, et; d'après l'exemple immédiatement précédent,

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par conséquent,

Les points unis proprement dits b sont ici les points de contact des tangentes doubles, dont le nombre est 2t; mais nous avons aussi comme points unis spéciaux les rebroussements comptés chacun n — 3 fois [on doit admettre quHl en est ainsi)^ et le résultat est

Les différentes équations (i), (2), (3) qui donnent respectivement la classe, le nombre de points d'inflexion et le nombre des bitangentes d'une courbe de l'ordre m avec S nœuds et >: rebroussements s'accordent avec les équations de Pliicker; on les vérifie de la manière la plus facile au moyen des expressions données (n^ 83) pour les diverses quantités en fonction de w, n et a = Z n -\- x.

375. Si, sur une courbe quelconque, les points P, P' ont une correspondance (i , 1), les points (P', P^^) une correspondance (i, i) et ainsi de suite jusqu'aux points P^'^~^^, P^'^^, il est clair que les points P, P^'^^ ont une correspondance (i, i). Et réciproquement les points P, P^'^^ qui ont une correspondance (i, ï) peuvent êlre regardés comme liés l'un à l'autre par la série des points intermédiaires P', P^', . . . , P(«-0,

Dans le cas d'une courbe unicursale, la correspondance (i , i) des points P, P' implique une correspondance semblable des paramètres 9, 6^; c'est-à-direqu'elleestdela forme (0,i)(6^i)=o ou, ce qui revient au même, aW -{- 69 + c6^H- <^= o, c'està-dire que les paramètres 9, 9' sont liés homographiquement. La transformation dépend de trois paramètres arbitraires.

En prenant pour courbe donnée une conique, si les points P, P^ ont une correspondance (i, i), on sait que la droite PP^ enveloppe une conique qui a un double contact avec la conique donnée ; une pareille conique, devant satis- ,

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/jyO CHAPITRE VIII.

faire à la condition du double contact, dépend de trois paramètres. Mais si nous choisissons les points A, B à volonté et si nous prenons sur la conique P, Q coUinéaires avec A (y?^. Sg), etP^ collinéaire avec B, Q, les points P, P' auront une correspon-

Fig. 59.

dance (i> i) qui dépend, comme on le voit, de quatre paramètres : et il en résulte que les points A, B peuvent, sans qu'on perde rien en généralité, être soumis à une condition unique. Supposons, par exemple, que la correspondance P, P^ soit définie par le moyen de la conique enveloppée par la droite PP^; si sur la corde de contact nous prenons à volonté le point A, si nous menons PA qui rencontre la conique enQ, et QP^ qui rencontre la corde en A, la correspondance ( i? 1) est aussi donnée au moyen des points A, B; mais ici A peut être regardé comme un point déterminé de la corde de contact (comme l'intersection de celle-ci avec une droite fixe); on détermine alors B comme plus haut et la correspondance se trouve définie au moyen de ces deux points, aussi bien que si A avait été pris à volonté sur la corde de contact.

Un cas qui se trouve réellement eompris dans le précédent est celui où la correspondance de P, P^ est telle que la droite P, Pipasse par un point fixe C (/ig.60). La conique enveloppée, regardée comme courbe en coordonnées tangentielles, est ici le point G compté deux fois; quand on la considère comme courbe ponctuelle, c'est le couple de tangentes menées de C à la conique donnée. Ceci revient à dire que la corde de con-

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tact est la polaire du point C; la construction est la même que plus haut et les points A, B, C forment, comme on le voit facilement, un système de points conjugués par rapport à la conique; la correspondance primitive de P, P^ regardés

comme collinéaires avec le point C est ici remplacée par une correspondance définie au moyen des deux points A, B qui forment avec G un système de points conjugués.

Les propriétés qui précèdent se rapportent au problème de l'inscription dans une conique d'un polygone dont les côtés passent par des points donnés ou sont tangents à des coniques ayant chacune un double contact avec la conique donnée.

376. Sur une cubique (D = i) nous avons une correspondance (ïji), elle dépend d'un seul paramètre; mais il y a deux espèces de correspondances, qui sont les suivantes: i*^ les points P, P' sont collinéaires avec un point A de la cubique; 2° les points P, P^ sont tels que P, Q sont collinéaires avec un point A de la cubique et Q, P^ collinéaires avec un point B de la cubique. Cette relation paraît dépendre de deux paramètres, mais elle ne dépend réellement que d'un seul; prenons un point déterminé C sur la cubique {Jig- Qi-)\ menons AG, qui rencontre la cubique en O et BO qui la rencontre en D ; on obtiendra le même point correspondant P^ en prenant P, R

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colliiiéaire avecD, etR,P^collinéaires avec C, c'est-à-dire au moyen du seul point D. Par le fait, il est évident que, si nous partons de P et si nous construisons P^ considéré comme l'intersection des droites QB, RG, la cubique passant par A,

Fig. 6i.

B, C, D, O, P; Q, R passera aussi par P', en sorte que les points A, B et les points G, D conduiront au même point P^ Le théorème renfermé dans la construction précédente peut s'énoncer comme il suit : Si, sur une cubique, les points A, B, G, D sont tels que les droites AG, BD se coupent en un point O de la cubique, nous avons inscrit de cette manière une infinité de quadrilatères PQP^R, dont les côtés passent respectivement par A, B, G, D, c'est-à-dire qu'un point quelconque P de la cubique peut être pris comme sommet d'un pareil quadrilatère.

377. Plus généralement, imaginons que nous a^^ons inscrit dans une cubique un polygone non fermé PQ ... X de 2 n — i côtés, dont les côtés passent par des points fixes de la cubique; les points P,X auront alors une correspondance (1,1) de première espèce, c'est-à-dire que le côté XP qui ferme le polygone rencontrera la cubique en un point fixe; en d'autres termes, nous aurons inscrit dans la cubique une infinité de polygones à 2/1 côtés dont les côtés passent par des points fixes de la cubique. Et parmi ces points, tous sont arbitraires excepté un, qui est déterminé par la construction de l'un de ces polygones.

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378. Gomme application de cette tliéorie on peut exprimer les coordonnées de deux points d'une cubique au moyen de paramètres (n^ 366). Une correspondance (i,i) entre deux points d'une cubique implique une expression rationnelle pour les paramètres sinamz/, cosam?/^, Aam?/'en fonction de sinamw, cosam w, Aam?^; et ceci implique encore l'une ou l'autre des formes u-\- z/^=:const.j u — r/'=const.Mais, quand trois points P, P^, A sont coUinéaires, nous avons en général une relation a + u' -\- u =^ h., on k est une constante qui dépend de l'invariant absolu de la cubique. Une relation de la forme u -\- u' ^= const. implique donc que P, P' sont collinéaires avec un point fixe A. Si la relation est de la forme u — u' -^^ const., par exemple = 6 — a, nous pouvons écrire, z^ + (^ + a = A, c^ H- ^ + i^^ = A, et cela signifie géométriquement que P, Q sont collinéaires avec un point fixe A, et Q, P^ avec un point fixe B. Aux points A, B nous pouvons évidemment substituer deux autres points D, G, pourvu que nous ayons b — a=z c — d on a-\- c = b -\- d^ c'est-à-dire pourvu que les droites AG, BD se coupent sur la cubique. Nous retombons ainsi sur les résultats déjà obtenus.

379. Pour une quartique binodale (D == i ), nous avons une théorie semblable de la correspondance (i, i); pour une quartique nodale (D =: 2), il y a une correspondance (1,1) qui ne dépend d'aucun paramètre arbitraire, car les points P, P' sont collinéaires avec le nœud.

Il existe une théorie intéressante de la correspondance (2,2) sur une courbe unicursale, et en particulier sur une conique. Les paramètres qui déterminent la position des deux points P, P^ sont liés ici par une relation (9, i)^(9', 1)2 :=q. Pour ce qui regarde les coniques, nous avons les théorèmes de Poncelet sur les polygones inscrits et circonscrits.

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[q(\ CIIAPITUE IX.

380. Dans ce Chapitre, nous reprenons la théorie générale des courbes pour faire suite au Chapitre II et nous commençons par la théorie des bitangentes à une courbe d'ordre n^ théorie que nous avons laissée de côté à partir du n® 78. Nous donnerons deux méthodes par le moyen desquelles on peut former l'équation d'une courbe dont les intersections avec une courbe donnée détermineront les points de contact de ses bitangentes.

La théorie des tangentes à une courbe a été étudiée (n° 64) au moyen de l'équation A = o, ou

qui détermine les coordonnées des points où la droite qui joint deux points donnés rencontre la courbe. Nous avons vu en cet endroit que si le point x' y z' est sur la courbe et si xyz est situé quelque part sur la tangente, nous devons avoir U'= o, AU^= o, et que si la tangente rencontre la courbe en trois points consécutifs, nous devons avoir en outre AU^= o; que pour quatre points consécutifs nous aurions de même A^U'^: o, et ainsi de suite. Si la tangente en x^ y z^ est tangente à la courbe en un autre point, en faisant U^=o, AU'= o dans l'équation A = o, l'équation réduite au degré (/i — i) doit avoir des racines égales, et par conséquent, si le discriminant de cette équation est Y = o, cette relation doit être satisfaite par les coordonnées x^ y z\ xyz. Dans le cas de points

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crinflexion où nous avons les deux conditions A*U'=ro, ^2 U^::^ o^ J'une du premier et l'autre du second degré en û^yz, et toutes deux vérifiées pour un point quelconque de la tangente, il est évident, comme on l'a établi (n^ 74), que AU^ = o est l'équation de la tangente et que A^U^^o doit contenir AU^=: o comme facteur. De la même manière, dans le cas d'une bitangente, Y = o doit contenir AU'=o comme facteur, et, en cherchant la condition pour qu'il en soit ainsi, nous trouverons la eondition pour que x^ y z^ soit un point de contact d'une bitangente. La méthode particulière employée n** 74 n'étant pas applicable au cas général, nous aurons recours à la méthode suivante, due à M. Cayley; et il convient de commencer par établir le lemme qui suit.

381. Supposons que les équations de deux courbes contiennent les variables ^jK^ aux degrés aet è respectivement, et x'y'z' aux degrés a^^b^. Supposons que les ab points d'intersection des deux courbes coïncident avec^y^^; on demande de trouver l'ordre de la condition qui doit en outre être vérifiée pour qu'elles aient d'autres points communs, ce qui ne peut arriver que lorsqu'il y a un facteur commun à U et V. S'il en est ainsi, une droite arbitraire quelconque

aura certainement un point commun avec U et V; ce sera le point, ou les points, où la droite arbitraire rencontre la courbe représentée parle facteur commun. Il s'ensuit que le résultat de l'élimination entre U = o, V=: o et l'équation delà droite arbitraire doit, dans ce cas, être nul. Ce résultat contient a^y au degré aby x^yz' au degré ab' -{- ba! et les coefficients de U, V aux degrés 6, a respectivement. Mais, comme le résultat de l'élimination s'obtient en multipliant les résultats de ia substitution dans a^-{- ^y -|- y^ des coordonnées de chacune des intersections de U, V et comme, par hypothèse,

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toutes ces intersections coïncident avec x^ y z\ le résultat doit être de la forme II (a^'+ Pjk'-{- y^^)"^*^. La condition ax''+ j3j^'-h Y^^ = G indique seulement que la droite arbitraire passe par x^ y z\ fet dans ce cas elle passe par un point commun à U et V, que ces courbes aient ou n'aient pas de facteur commun. En mettant ce facteur de côté, la condition restante II = o est la condition cherchée pour que U et V aient un facteur commun, et nous voyons qu'elle ne renferme pas apv, qu'elle est de l'ordre aly -\- a! h — ah en x'y z' et des ordres 6, a respectivement en fonction des coefficients de U et V.

382. Si nous appliquons cette méthode à la recherche des points d'inflexion, c'est-à-dire à la détermination de la condition pour que AU^ A^U^ aient un facteur commun, nous avons a = 1,(7/ ==71 — 1,6= i^h^ -zrzn — 2, et la formule qu'on vient d'obtenir donne 3(^ — .2) pour l'ordre de II en fonction de x^ y ^\ c'est l'ordre de la Hessienne, comme on l'a déjà trouvé. On voit aussi que II est du second degré par rapport aux coefficients de AU^ et du premier pour ceux de A-U^; et, comme chacun d'eux renferme les coefficients de l'équation originale au premier degré, Il contient ces coefficients au troisième degré, ce qui s'accorde aussi avec les résultats antérieurs.

Revenons maintenant au cas des tangentes doubles; comme l'équation A = o se réduit à la forme

un terme type de son discriminant est, par exemple,

ce qui nous montre que Y est de l'ordre (/? -\- %) {n — 3) en xyz^ de l'ordre (ji — îi)(/i — 3) en ^j'^', et de l'ordre i{n — 3) par rapport aux coefficients de l'équation primitive.

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THÉORIE GÉNÉRALE DES COURRES. /^'y?

Nous pouvons, en second lieu, montrer que toutes les intersections de Y et AU' coïncident avec x' y' z^ \ en eflet, l'équation du système des nr — n — 2 tangentes issues du point {x',y ,z') et qu'on trouve par la méthode du n^ 78, est de la forme A-AU'-j- Y(A2U')2= o, et ce système ne peut évidemment être coupé par AU' en aucun autre point différent de i^x\y' ^z')\ si donc nous faisons AU'= o dans la dernière équation que nous venons d'écrire, nous voyons que AU' ne peut rencontrer Y ou A^U' qu'au point x'y' z\ Nous pouvons alors appliquer la méthode du n° 381 , en posant a = i , a' == /z — i , 6==:(7z + 2)(/i— 3), /y = (7i — 2)(^— 3); d'où

ah' -\-a' b-r=.{n}-\- in — [\){n — Z).

Nous trouvons ainsi que l'ordre de II en x'y' z' est

(AH-3)(/i — 2)(/i — 3).

('ette quantité est de l'ordre {n -{- 'i){n — 3) par rapport aux coefficients de AU', du premier par rapport à ceux de Y et en conséquence de l'ordre {n-\-^){n — 3) en fonction des coefficients de l'équation primitive. La courbe bitangentielîe II =: o rencontre la courbe primitive U = o en n(n-\-3)(n — 2)(/i — 3) points; et, comme il y a deux de ces points sur chaque bitangente, le nombre de ces dernières est ^n[n — 2)(n^ — 9), comme nous l'avons trouvé d'une autre

manière, n'

383. La méthode du n° 381 nous permet non seulement de déterminer l'ordre de la condition cherchée II = o, mais encore de trouver cette condition elle-même en effectuant réellement les opérations indiquées. Ainsi supposons que x'^y^ z> soient, comme plus haut, les coordonnées du point sur la courbe; dans le cas des points d'inflexion, nous avons à effectuer l'élimination entre ^x-\- ^jK + y^ = o, AU'=^o, A^U'^o,

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et ces deux dernières équations, écrites tout au long, sont

ax''- -4- by'^ -h cz"- -f- '>^fyz + 2 gzx -|- 2 hxy — o,

Il conviendra, pour éviter les facteurs numériques, de supposer que l'équation originale a été écrite avec les coefficients du binôme, et que les coefllcients numériques communs ont été supprimés après la différentiation, en sorte que L, M, IN représenteront les dérivées premières de U^ divisées par n ; a^ b^c, * * . les dérivées secondes de U 'divisées par n{n — 1) et que les équations ordinaires des fonctions homogènes seront 1.x + M/ -f- N^ = U\ ax' + hy' + gz' =: L,

La condition pour que deux droites se coupent sur une conique peut se mettre sous la forme du déterminant

On peut en effet vérifier que ce déterminant développé est le même que le résultat de la substitution dans l'équation de laconique des coordonnées de l'intersection des deux droites, coordonnées qui sont My — N^, Na — Ly, Lj3 — Ma. Mais, en vertu des équations des fonctions homogènes, le déterminant ci-dessus peut se réduire, en multipliant successivement les trois premières lignes et colonnes respectivement par x' ^ y, z' et en les retranchant de la quatrième. Si donc nous représentons a^' + ^ J + T^' P^i' R? il devient

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bien

Il b f p

a II g h b f

Nous employons, d'après Clebsch, rabréviation ( j pour

désigner le déterminant qui multiplie U', dans lequel la matrice du Hessien est bordée horizontalement et verticalement para, [3, y. De la même manière, le déterminant dont nous sommes parti et où la matrice est bordée par a, j3, y et

parles dérivées de U s'écrirait ( ^ ' |; et l'équation que nous

avons établie est

Si ^'y^'rend D'égal à zéro, l'équation f ' j =:=ose réduit à H = o, comme cela doit être.

384. Afin d'arriver par la même méthode à trouver l'équation de la courbe bitangentielle, nous avons à chercher le résultat qu'on obtient en remplaçant respectivement x^ jk, z parlMy — Np, Na — Ly, LjB — Ma dans le discriminant de l'équation A = o (n*^ 380), et notre marche nous conduira tout d'abord à chercher le résultat de cette substitution dans les différents coefficients de cette équation, à savoir dans A- U^ A'^ U', . . . , ou, comme nous écrirons pour abréger, dans A2, A^, . . . . Le résultat de la substitution dans A^ a été calculé (n^ 383) et Hesse a démontré de la manière suivante que le résultat de la substitution dans A^ est de la forme

qui se réduit à Q/i(a^- + P/^+T^ )^? quand ^^z' est sur la

48o CHAPITRE IX.

courbe. Sa méthode consiste à prouver que, si cette expression est vraie pour deux quantités consécutives A^~^, A^, elle le sera encore pour A^+' , et elle nous permet d'exprimer Pk-{.\ ? Q^h^\ en fonction des coefficients correspondants qui précèdent. On se rappelle que, par définition, nous avons la relation

dans laquelle A représente l'opération

mais on y suppose que ooyz, x'y z' sont des quantités indépendantes. Dans le cas que nous considérons maintenant, où l'on suppose que ^ a la valeur My — N p, et où par conséquent il est une fonction implicite de x' y' z' ^ il faut entendre que, dans l'opération A, la différentiation alTecte seulement x^ y' z' en tant que ces coordonnées apparaissentexplicitement, mais non en tant qu'elles sont contenues implicitement dans

xyz. Représentons par V 1 opération x -^ -{-y -7-7 -{- z -1—,

sans cette restriction; si nous appliquons alors la règle générale qui permet d'obtenir les différentielles par rapport à x'y z^ dans l'hypothèse où xyz sont variables, au moyen des différentielles calculées en supposant ces dernières quantités constantes, nous avons, en opérant sur une fonction quelconque S,

<iS <^S d^

vS -- AS 4- -j- ^x -\- -j- ^y \- —r v-^. dx dy dz

385. Nous avons maintenant à calculer les valeurs de Vx, Vj', V^. Il est facile de voir que le résultat obtenu en opérant avec V sur une fonction quelconque S est

Oj O2 O3

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et par conséquent, quand la fonction est x oiiMyrésiiltat est

ici le coefficient (/i — i) provient de la condition cjiie nous, avons introduite, et suivant laquelle les différentielles de L, . . . sont [n — i) a, .... Le déterminant qu'on vient d'écrire se réduit alors de la manière suivante :

br-f? /t-'^P

R.a^' —ax'

- hx'

^ Il

-(^S/H-Y^O ax'

hx' gx'

Si nous représentons ( J par S, et les moitiés de ses diverses

dérivées par rapport à a, [3, yparSi, So, Sg, ces dernières ne différeront que par leurs signes des déterminants qui multiplient R dans les valeurs de V^, VjK, V^, et nous avons

,dS dx

,dS

-^ dy

,dS dz

Supposons en particuliers = A^(V ), où V est une fonction S. — Courbes planes. 3i

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quelconque de Fordre n' en oo'y' z' ] comme -j- == f^-^, 4^+^ (V),

nous avons

V(A■'•Ti=.A/-^(V)--/r(n--I)R(I:,;^^-E,•A + S3^i^^

'dx'

'dz

dx^

dy

dz'

Gomme A^' ^ (V) est une jfonction homogène en x' y' z' du degré n' ~ A" + i , le dernier terme se réduit à

386. M sera commode d'employer Pabréviation ^j; pour rcprésen ter i' opération

et l'on remarquera aussi que

2d z'dz'

Va

Le résultat obtenu en opérant sur x avec ^ est nul, comme on peut facilement s'en assurer en remplaçant dans la dernière colonne du déterminant les quantités Vi, V2, V3, o par les valeurs A y — g^, b^ — /P? /ï — '^% Py — ïl^' ^^ ^^ décom:pose alors en deux 'déterminants qui sont nuls chacun, comme ayant deux colonnes identiques. Par conséquent, le résultat qu'on obtient en opérant avec A sur une fonction quelconque contenant Xjj, z est le même, qu'on regarde ou non ces quantités comme constantes. Donc l'équation du dernier article, appliquée aux quantités A^. . . , que nous désirons calculer, est

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387 . An moyen de l'eicpression que nous venoiis de trouver, nous pouvons démontrer que, si nous avons

A^-i = P,-,U + Q,A-iR% A^'-=^ P/.U + Q,.R%

rexpression de à^^^ sera de même forme. En efï'et, nous n'avons qu'à substituer ces valeurs de A^~^ , A^ dans l'équation du numéro pTéeéderit et nous devons observer que ?(U) et A(R) sont tous deux nuls, comme on le voit, du reste, immédiatement en remplaçant S|, S2, S3 par L, M, N ou a, [i, r dans

Donc

v.(a^-) = Uv(P,0 + R'^?(Qa-).

Si nous remplaçons respeetivement S)i, S2, S 3 dans /^L, jiMy'Nji et par a, [3, y, nous avons

par

et, par conséquent,

En réunissant maintenant les termes de rexpression donnée pour A^+^ (n" 386), nous avons

où

IV, = V(P/,)-/^(^-I)(/^-/r+I)SP;,,-h/:(/^-I)R^(P/.,.-.0, Qa-+i =- v(Qa) - /^(n - j){n - k -h i)2Q/,.,