cd^ d^— iS cd\ ) ^^ H

e= <^b''[{b'dl-{-Ç>b'c''d,)

-^ {(\b'Ul^e,-\- i2b^ cH^ — Ç>b^ cd^d,— 'ô'jb'' G^ d^)x

H- ( 4 ^' <io ^1 + 12 b'^c^e^ — 28 b"^ cd^ d.^ + 3 1 6^ cd\ — 89 6^ c-^ d^ )y

-^r{ib'^dJ,+ [^b'el + Qb'c'f,

-{- Qd'^cd^e^— [\%b'^cd^e^^■— lobb'^c^c^— 2(^Zb'^c^df^d^

+ ^Çx^b"" c'' d\-{-?>Qb&^ d^) x''-\- . . . ], 4» = 66 I (63eo+ 4ô2c^J -\-x{b^f,-8b''ce,— ?>8bc''d.,)

+ r [^Vi— 2 è'ce2+ 27^2 (6^^-—t/,t/2) — 41602^3]

-^ x\~i2b'^cf^— i2b'^ dç^e^-h 1 2 6^ e^ c/j

+ 660^62— 16200(^0(^2+ i686c(5?i— bc'^d^)-\' . . . (.

Parmi les quantités A, B, . . ,, les seules qui renferment des termes indépendants de ^ et jK sont A = b^, F = bc. Si donc nous écrivons tout au long une quantité ^ de la forme 0 -\- kE^ et qu'elle soit

A + Boa7 + C^y -\- Bf,x'^ -h ...,

fd^Y le degré de ^j^ étant 22, le terme absolu dans le covariant A [-j] H- ... est

d' 'h è'^B* 4-44 ^cAB, et le terme absolu dans A -y-^ +.. . ^st 2b'^C^ -{- ^^2bcPy^.

S. — Courbes planes. 32

49^ CHAPITRE ÏX.

Jacobienne. En effet, des équations

(où m, m! ^ ni!' sont respectivement les degrés des trois courbes), nous déduisons

H- m^ ^' ( W-'2 Uz (^3 ?^2 ) + ^?^''' ^ ( ^2 ^3 i^3 ^2 ) J

que nous pouvons écrire

J ^ =z 7?^ A fi + 772' B ? 4- 772^'' C (P.

Celte relation montre évidemment que J est nul pour toutes les valeurs qui annulent u^ p, w.

Si les trois courbes sont de même degré, ce point commun est un point double sur la Jacobienne. En effet, en prenant les dérivées par rapport à x^ il vient

cU dk , cm „ dC

ô -~ X -j— =: mu -r. h m V -, 1- m w -7-

dx dx dx dx

H- 772 A u^ -{- 77z^B Vi 4- m" QaW^ ; mais, comme A ^/^ + Bc^^ + Gi^j = J, nous voyons que, si m=im' ^=i ni!' ^ -j- sera nul pour toutes valeurs qui rendront nuls 11^ p, w et par conséquent J. De même encore

dJ dk , d\^ „ dC

dy dy dy dy

Comme k.u^ + B^^2 + Cf'f^o = 0, cette quantité s'annule pour toutes les valeurs qui annulent w, (', pp, J, si m = ni! ^=. nd' , On verra de la même manière que les autres dérivées de J sont nulles pour le même point.

Si deux seulement des courbes sont du même degré, la Jacobienne est tangente à la troisième courbe au point com-

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mun; car l'équation écrite ci-dessus, quand nous y faisons m = m! , devient

cU dk cm , de

^ -\- œ -— = mu -; — h rfii> -, h m w -r-

dx dx dx dx

H- m J -h ( m^^ — m ) G MP^i ;

pour le point commun elle se réduit à x^^ =i{m!' — w)G(^v'^ et nous avons de même

^ J2 == ( m" — m)Cw^, ^ J3 r= ( m" — m ) G c^3,

en sorte que

xii +7J2 4-^J3 = o et

représentent la même droite.

Sij dans ce cas, le point commun est un point double sur çVy il sera aussi un point double sur J et aura les mêmes tangentes que celles de la courbe çv (^).

Les valeurs que nous venons de trouver pour Jj, J2, J3 sont nulles quand ç^^, w^, <^3 le sont. Si nous prenons de nouveau les dérivées et laissons de côté les termes qui sont nuls, parce qu'ils contiennent u^ r, pp, J, J,, ou (^^, w^-) (^3, nous avons

dU ( dk d^\ , ,

ax-' \ dx dx /

Mais, d'après les valeurs précédemment trouvées pour A etB, nous avons

dk dlà ^ , ,

et, en éliminant xyz entre les équations

XU^ ~\- fU2 4- ^.'•■;: =: O, JCt^i -j- JÇ^ + -^^3 = O,

(*) Glebsch et GoaDAN, Abelschen Function&n^ p. 62.

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il vient

et l'on voit de la même manière que les autres dérivées secondes de J sont proportionnelles à celles de iv] autrement dit, les deux courbes ont les mêmes tangentes en leur point double commun.