Nous avons démontré (n° 190) qu'il y a

points dont les droites polaires par rapport à deux courbes u, ^ sont les mêmes, et que la Jacobienne de u^ v et d'une troisième courbe quelconque doit passer par ces points. Nous avons établi (n° 90) que la Jacobienne coupe u aux points qui peuvent être des points de contact de u avec les courbes du système v -\-\w. Il résulte immédiatement de là que le lieu des points de contact des courbes du système u + \ li avec les courbes du système (^ + [Ji ç'^, où i^ et u! sont du degré 772, et ^, s/ du degré m! ^ est une courbe du degré im-^im' — 3, dont l'équation peut s'écrire sous l'une des formes équivalentes ( ^ )

ICy,

Wi

Ih

(*) Steiner a remarqué que le nombre des courbes du système u-h'ku'

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On voit encore, d'après ce qui précède, que les points où les courbes des systèmes u -\-\ii' ^ ^ + [j,(^^, pp -f- vpp' peuvent êlre toutes les trois tangentes sont compris parmi les intersections de deux courbes dont les degrés respectifs sont 2m+2/n' — 3, im-\-iïd' — 3. Mais; parmi ces intersections, figurent les m^ points w, u et les 3 (m — i)^ points communs à la Jacobienne de toutes les courbes du système n -\-\u' . En retranchant ces nombres, nous obtenons pour le nombre de points où les courbes peuvent être tangentes

4 ( mm' -i- m' m" -+- m" m.) — 6 ( m + m' + m" ) — 6.

398. Nous avons vu (n° 97) que l'ordre de la condition de contact de deux courbes u^ ç>, ou, comme nous l'appelons, de leur tact-invariant, est mijn -\- ini! — 3) — 2 S — 3/ir ou n + ini[ni' — i) par rapport aux coefficients de (^, et qu'il en est de même de l'ordre n^ + im^ni — i ) en fonction des coefficients de a. Nous avons trouvé le tact-invariant dans le cas de deux coniques (^Sections coniques, n° 372) en formant le discriminant de u-^\v^ puis le discriminant de ce discriminant considéré comme fonction de X. Par un raisonnement semblable à celui qu'on a employé dans le cas de coniques, on peut montrer que, si l'on applique le même procédé dans le cas de deux courbes du 772'^'"^^ ordre, le tact-invariant figure comme facteur dans le résultat.

En effet, si A est le tact-invariant, si B = o est la condition pour qu'il soit possible de déterminer \ de manière que u -\-\v puisse avoir deux points doubles et G == o la condition pour

qui oscillent les courbes du système v + |xç^' est

3[(/n + m') {m -i- m' — 6) --h imm' -\- 5,

{Journal de Ci^elle, t. XLVII, p. 6). On se rappellera que nous avons vu (n° 102) que la condition d'osculation de deux courbes exige, outre les conditions de contact ordinaire, que le rapport de H à L^ soit le même pour les deux courbes.

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qu'il soit possible de déterminer \ de manière que u-i-'kç puisse avoir un rebroussement^ le discriminant par rapport à X du discriminant du ?/ -h X^ est AB- G^. On voit que B et G figurent comme facteurs dans le résultat en prenant pour ^une courbe qui ait ou deux points doubles, ou un rebroussement. Dans ce cas, non seulement le discriminant de u est nui, mais il en est encore de même pour ses dérivées par rapport à chacun des coefficients de u [Algèbre supérieure^ n° 116). Donc, dans le discriminant de i/ + Xp, le terme qui ne contient pas X et celui qui en contient la première puissance sont nuls tous les deux, ou bien \^ est facteur dans le discriminant; donc son discriminantconsidéré comme fonction de \ est nul. Si u et V sont des cubiques, le discriminant de chacune d'elles contient ses propres coefficients au douzième degré et ces coefficients entrent au degré 182 dans le discriminant par rapport à "k. Mais le tact-invariant contient les coefficients de chacune des courbes au degré 18 ; les invariants, qui sont nuls quand u-{-\^ Si un rebroussement ou deux points doubles, contiennent les coefficients de chaque courbe aux degrés 24 et 21 respectivement. En effet, le degré par rapport aux coefficients est le même que le nombre de courbes de la forme ^ | X p H- [JL (^ qui ont les singularités en question. Dans le cas du rebroussement, ce nombre s'obtient en égalant à zéro les invariants S et T ; ce qui nous donne ainsi une équation du quatrième degré et une du sixième pour déterminer )., [i., et par conséquent 24 solutions. Dans le cas des deux points doubles, nous pouvons supposer que u^ i^, iv ont sept points communs, et par ces points nous pouvons avoir 21 systèmes composés d'une droite et d'une conique. Nous avons alors i32 = 18 + 2 x(2i)-i-3x(24).

399. En général, le discriminant étant du degré 3 (/n — i)^, le discriminant par rapport à "X contient les coefficients de chaque courbe au degré 3 (m — iY{^m^ — 6m -i- 2). Mais

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le tact-invariant renferme les coefncients de chacune des courbes au degré 'im{m— i) et il ressort de considéralions que nous exposerons plus loin que l'ordre de la condilion pour que u-{-\i^ puisse avoir un couple de points doubles (ou, ce qui revient au même, le nombre des courbes du système u-\-\^ -^ \kW qui ont deux points doubles) est |(/72 — i)(37n^ — ym- — 5/72 +22), et que le nombre correspondant pour le cas du rebroussement est

12 (m — I )(7?^ — 1) ; on peut vérifier que

==: 3 m ( 7?2 — I ) 4- 3 ( 7/2 — I ) ( 3 ni^ — 9 m'^ —57/24-22) 4- 36 (7/2 — i){m — 2 ).

De la même manière, si nous avons formé le discriminant de \u + [J^v -\- vpp, où u, p, w sont des courbes de même degré, nous pouvons cliercher le discriminant de ce dernier considéré comme fonction de 1, [x, v. Ce discriminant contiendra comme facteur le résultant de Uj Vj iv et les conditions pour qu'une courbe \u + [i,ç^ + vw puisse avoir trois points doubles, ou un point double et un rebroussement, ou bien un point tacnodal; l'ordre de l'une quelconque de ces conditions par rapport aux coefficients de l'une des courbes est le même que le nombre des courbes de la forme

1 II 4- [-'- (^ 4- V (^P 4- t =z O

qui ont la singularité en question. Quand les courbes sont toutes des coniques, le discriminant considéré comme fonction de X, [Ji, V, du discriminant de 1^/ 4- p-^ + v(v est AB^ ; ici A est le résultant de u, v, pp> etB = o la condition pour que "Xi/ + fj.p + vfv = o puisse représenter deux droites qui coïncident; mais je n'ai pas pu établir la théorie générale.