V. Le développement de r commence par un terme de degré — i
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Origine à l'infini; tangente j'i = A; ordre 26^ classe a.
VI. Le développement de r commence par un terme du premier degré, et le terme suivant est de degré moindre que 3.
ri=:AX-[-BX ''^-h..., a<2b^
Origine à distance finie; tangente/^ = o, ordre a, classe 2 b — a.
VIL Le développement de r commence par un terme du premierdegré,et le terme suivant estde degré au moins égal à 3 :
r=. AX-+-BX^ + ...,
le coefficient B pouvant d'ailleurs manquer. Envisageons la combinaison
BrX -A ("y-A^rrzGX'""^^ -+-...,
dont le premier terme est de degré supérieur à 2. On aura
Origine à distance finie; tangente B^/,=A(^^ — A); ordre 2 bj classe a.
a. Ayant passé en revue tous les cas, nous pouvons en tirer des conséquences. La première sera le calcul du degré et de la classe d\tne courbe définie en coordonnées polaires.
Les lettres a et p, affectées d'accents, représenteront les sommes de nombres a ou b pour les divers cycles distingués par les chiffres romains correspondant à ces accents Par exemple, ^" — cd' désigne la somme de tous les nombres tels que b — a pour les divers cycles II, en d'autres termes pour tous les développements, delà forme (7), tirés de 1 équation entre r et 9.
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Calcul de la classe. — Appliquons la dernière proposition du n° 7, en considérant les diverses tangentes issues du point o) =y = o.
Les cycles T n'en fournissent aucune;
Les cycles II en fournissent ^'^ — a'^, nombre égal à la somme» des classes, puisque le point considéré n'est pas l'origine de ces cycles;
Les cycles III en fournissent p^'^ + a^'^, nombre égal à la somme des ordres et des classes, le point considéré étant l'origine de ces cycles.
Nous avons ensuite, en tenant compte de chaque cycle IV , V, VI et de son conjugué, les nombres suivants :
Ainsi, la classe de la courbe étant désignée par [i., on a
(8) ^ -==. ^"— a'^H- ^"'-^^ rj!"^ 2 [p7 4- a\^ -+- fl + cl'I + a^" + 2 p^"' — a^' ] .
Calcul du degré. — Nous pouvons le faire de deux manières :
1° En prenant le nombre total des points delà courbe sur une droite arbitraire menée par l'origine. Les points variables avec cette droite ont pour nombre le double du degré, par rapport à r, de l'équation de la courbe, mise sous forme entière par rapport à r et à X. Désignons par d ce degré. Les points fixes sont à l'origine des coordonnées ; leur nombre est (n° 7) la somme des ordres des cycles ayant cette origine. Soit donc m le degré de la courbe, on aura
2^ Nous pouvons évaluer le degré en prenant les intersections avec la droite isotrope jk< = o. Ceci nous conduit à Li formule
(9 bis) m — ^'" -h 2 a7 -h 2 ^l -V- 2 ^3^ -h 2 ^^ -H 2 p^' -h 2 ^''\
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ÉTUDE SUR LES POINTS SINGULIERS. 55j
On remarquera que les formules (8) et {g bis) n'exigent pas la connaissance du nombre d,
15. L'analyse qui précède se rapporte aux courbes appartenant à la seconde catégorie (n^'* 10 et 11). Examinons maintenant les modifications pour les courbes de la première catégorie. Les résultats du n^ 12 s'appliquent encore sans modification. Mais il faut observer qu'à chaque cycle de la courbe correspondent deux cycles différents pour r, 9. Par conséquent, dans les formules (8), (g) et (9 bis)y les nombres affectés des doubles ou triples accents doivent être divisés par 2.
Pour chaque cycle répondant à X infiniment petit ou infiniment grand, deux cas peuvent se présenter : ou bien deux cycles (r,)v) différents correspondent encore à un seul cycle de la courbe; alors, dans les formules, les nombres correspondant? doivent être divisés par 2; ou bien un seul cycle (/%).) contieni à la fois FyX et — 7% — X. En ce cas, le nombre p (n"" 9) est éga* à 2. Les nombres a,R correspondants doivent donc être encore divisés par 2. Enfin le nombre des points de la courbe, mobile*^ sur une sécante variable issue de l'origine, n'est plus 2d, mais seulement d. Donc enfin, pour les courbes de la première catégorie, les formules (8), (9), (9 bis) donnent le double de la classe et le double du degré.
