Exemple L

- — cos ^ B .

Les nombres entiers/?, ^ sont premiers entre eux: l'un au moins diffère de i . Voyons d'abord si cette équation appartient à la première ou à la seconde catégorie. Pour un angle 0 les diverses valeurs de r répondent aux diverses déterminations de cos- (O-h ikr^). L'équation appartiendra à la se-

conde catégorie si, quel que soit 0, un de ces cosinus est égal et de signe contraire à cos^(Û + 'n:). On devra donc

c'est-à-dire

/^ (0-1- tu) -f- {2ll-\-l)lZ='-{J)-+-lk^),

Par conséquent,/? et q^ qui sont premiers entre eux, doivent être tous deux impairs. Ainsi V équation est de la première catégorie si Vuii des nombres p^ q est pair ; de la seconde, d in s le cas opposé.

Le nombxx d est manifestement égal à q.

Aux valeurs déterminées de 9o ne répondent que des cycles I.

Les cycles répondant à \ infiniment petit sont donnés ainsi :

- = II' 'J -h V^ \ = V — X ^^ + A '^ . . , ,

Ils appartiennent à la catégorie IV (i) si/> >> 5^ ; à la catégorie IV (2) sip<C(j' En posant X = ^^ et prenant rX, au lieu de r, on a

Si p et ^ sont tous deux impairs, ce développement donne une même valeur de r\ pour deux valeurs égales et opposées de t. Ainsi, quand Féquation est de la seconde catégorie, le nombre p relatif au cycle considéré est égal à 2.

En appliquant les formules (-8), (9) et (9 bis)^ les deux dernières donnant ensemble une vérification, on a ce résultat :

Si/? ou ^ est pair, la classe delà courbe est 2(/?-f-^); son degré eit le plus grand des deux nombres ip ou 2 y. Si p et q sont tous deux impairs, le degré et la classe sont réduits de moitié.

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étude sur les points singuliers. 559

Exemple 2.

r=:^ {As COS59 -f-B^. sin.çG).

Les divers nombres s sont supposés commensurables. En les réduisant à leur plus petit commun dénominateur Çy el posant 6 = ^0), on mettra l'expression de /^ sous la forme r =r Acos pco -4- B sinpto 4- A^cos/)^co -f- B^sinp'co -h ... zzzy(co), où/>; y/, . . . sont entiers et positifs. La lettre/? désignera le plus grand de ces nombres.

Le raisonnement employé dans le précédent exemple s'applique encore ici pour reconnaître la catégorie à laquelle appartient l'équation. Ce sera la seconde catégorie si l'on peut avoir en même temps

(2/c — i)p =: (2/i -h i)q, {ik— i)/>' -— (2A' + l)^, . . .,

et ceci a lieu seulement quand tous les nombres q^ Pi p' i • • sont impairs. On a aussi dr=:q.

Pour des valeurs déterminées de Qq, nous avons des cycles I ou IIL Ces derniers interviennent seuls dans les formules que nous appliquons. Ils correspondent aux racines de /*(od) = O; dont la somme des ordres de multiplicité est égale à ip. Pour chacune de ces racines, le nombre désigné par b est l'unitéj et le nombre désigné par a est l'ordre de multiplicité. Ces racines sont, bien entendu, prises à des multiples près de ir:. La caractéristique P''^ sera égale au nombre de ces racines. Pour qu'il n'y ait aucun doute à cet égard/ nous appellerons N le nombre des racines, distinctes entre elles et différentes de zéro, que possède l'équation

Nous aurons ainsi P'''==N, a"'= 2p, Le nombre N, on le voit aisément, est toujours pair quand les coefficients sont réels.

En remplaçant cos/?(o, sin/xo, . . , par leurs expressions

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56o APPENDICE.

en À, nous avons le développement de r suivfint les puissances croissantes de A, sous la forme

C'est un cycle IV dans lequel a = — />, ^z=z q^ si toutefoi ^ et q sont inégaux. Pour p <C ^y c'est le cas IV (2); pour p ^ q-t c'est le cas IV (3). Enfin, pour/> = q^ nous avons un cycle V : le nombre a n'est pas mis en évidence, mais le nombre h est toujours égal à q.

Appliquant les formules (8), (9), (9 his)^ nous trouvons pour ces divers cas le résultat qui suit : la classe de la courbe est le plus grand des deux nombres 1 p -\-'^ ou^g^+N; son degré est 2 (/? -f- q)- La classe et le degré se réduisent de moitié si tous les nombres q^ PiP' -> * • • sont impairs.

Dans cet exemple encore, au cas où Féquation est de la seconde catégorie, le nombre p est égal à 2 pour les cycles répondant à "k infiniment petit.

Exemple 3.

r^'zm cosAO.

Le nombre k est commensurable, positif ou négatif. S'il est positif, nous poserons k = - ; s'il est négatif, A- = — — ? ^ et s étant premiers entre eux.

Soit d'abord /c=:-. En écrivant l'équation sous la forme

on aperçoit immédiatement qu'elle est de seconde catégorie dans le cas seulement où s est impair. Pour abréger, traitons à la fois les deux cas en désignant par s le nombre i ou 2 suivant que s est pair ou impair.

Les cycles I correspondent aux valeurs de 9o q^i n'annu-

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ÉTUDE SUR LES POINTS SINGULIERS. 56l

lent pas cos/rOo- Il n'y a pas de cycles II. Les cycles lïï répondent à cos/rBo^o. On les obtient donc en faisant

1 4- X ^ =r 0, ce qui donne, pour a, 2 g' valeurs si^ est impair, ^seulement si ^ est pair. D'après notre convention, ces valeurs de \ sont en nombre eq. Pour chacune d'elles, on a un cycle m, dans lequel a =: s, b = q. Donc ol'^^= eqs, ^'^^= eq^.

Pour "k infiniment petit, nous avons des cycles V, dont chacun répond à une détermination différente de la puissance

- du binôme ( i + a M- Le nombre de ces cycles est donc q.

On a d'ailleurs, pour chacun d'eux, a=z2q,b=^s si s est

impair; a=: q, ^ = - si ^ est pair. C'est ce qu'on exprime à

s la fois ainsi : a=: eq. ^ = £-. Nous avons donc ^ 2

Les formules (8) et (9 bis)^ où nous remplacerons, conformément à la conclusion du n° 15, [x et m par sji. et sm, nous donnent

zix^iizq^ -{- zgSj zm :=: zqs -\- zqs.

On voit que e disparaît et que le résultat est simplement celui-ci : Quand le nombre k est positif et égal à la fraction irréductible -5 le degré de la courbe est iqs, sa classe

Soit, en second lieu. A- == — -• La distinction des deux

catégories se fait, comme précédemment, par la parité de s.

Les racines de cos/t:9 donnent ici des cycles I ou II suivant

que - est plus grand ou plus petit que l'unité. En raisonnant

comme dans le cas précédent, nous trouvons 7!'=zzqs, '^f = £5^- pour 5 <; q- Au contraire, pour s^ q, les cycles 11 n'existent pas.

S. — Courbes planes. 36

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Suivant les puissances croissantes de X, on a

Les cycles appartiennent à la catégorie VI ou VII suivant que g est inférieur ou supérieur à s.

q-Cs, a^=izq, b-^z^zs, y^'-uzzq^, i^^'^' ^=z -^ z q s . q>s, a=s{q-is), b^\zs, a:- :=:zq{q -{s), ^^^^-^-^egs.

C'est aussi pour g '^ s que nous venons de trouver

a" ^.sqs^ [i" -=zzq\

Nous avons ainsi

£[j. zrz: zq'^ — zqs^

iqs,

BfJ. :.:r 1 [zqs — £

Vouvq>s ^^^^^^^

Par conséquent, le nombre k étant négatif et égala la fraction irréductible — -^ le degré de la courbe est cjs] sa classe

est cj [cj — s) ou ^g(s — g), suivant gue g est supérieur ou inférieur à ^ ( * )•

Cet exemple donne lieu à une vérification fort intéressante. Par rapport à un cercle de rayon 1, concentrique à l'origine, la courbe proposée a pour polaire réciproque une courbe de même équation, sauf changement de k en k' :

(^) En écrivant l'équation sous la formez'"'^' cosA"6 = i, on passe aux coordonnées rectangulaires ainsi : {x -\- iy)~^ -\- {oo — iy)-'' — 2. Suivant une dénomination empruntée à M. de la Gournerie, la courbe est triangulaire symétrique. Les résultats ci-dessus s'accordent avec ceux qu'a établis, d'une autre manière, M. de la Gournerie, dans Fouvrage intitulé -S?//' les surfaces réglées étraédrales symétriques.

La connaissance du degré entraîne donc immédiatement celle de la classe. En faisant le calcul par ce moyen, on retrouve les résultats ci-dessus.

17. Soit m un point quelconque d'une courbe G, et soit mm 4 la tangente de G au point m. En un point fixe O, on élève la perpendiculaire Om^ au rajon vecteur O/n, et l'on prend le point d'intersection de Om^ avec la tangente nim^, Ge point m^ engendre une courbe Gi, que nous appellerons la tangent telle de G, relative au point O.

Nous allons, comme seconde conséquence de l'étude faite aux n^^ 12 et 13, conclure les singularités de G^, connaissant celles de la courbe G. En appelant r, et 9^ les coordonnées polaires de ni\ par rapport à O, r et 9 étant celles de m, on a

•2 l'i Ci^

Ainsi, sauf une rotation de 90°, la courbe C\ se déduit de G par le changement de - en sa dérivée.

Examinons successivement les diverses catégories de cycles qui peuvent exister sur G, pour en conclure Jes cycles correspondants sur G<.

Parmi les ôycles I, ceux dans lesquels le développement de

- ne contient aucun exposant fractionnaire donnent lieu pour

— à des cycles I présentant le même caractère. G'est notamment ce qui a lieu pour les valeurs tout à fait arbitraires de 80.

En second lieu, ceux des cycles I, où le premier exposant fractionnaire est supérieur à 2, donnent, pour Gj, encore des cycles I.

Enfin ceux où le premier exposant est inférieur à 2 donnent,

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pour Cl , des cjcles II. Soit i + —^ un quelconque de ces expo-

sants. Conformément aux notations précédemment employées, nous poserons a, = lla^, [3i = 26^.

Il y a ainsi, pourC^, de nouveaux cycles II, pour lesquels les éléments analogues à cl" et jâ'' sont a, et ^\ .

Les cycles II de C donnent, pour C^, des cycles III, dont les éléments analogues à ol"^ et [3''' sont P'' — a'^ et ^'\

Les cycles III de C conservent leur caractère pour Ci ; mais les éléments sont a'^'H- [3'^^ et ^'^^

Les deux caractéristiques totales des cycles III de Ci sont donc a."-h ^"-^ P'- a'' et P'''+ P'.

Pour l'étude des cycles qui répondent à X iafiniment petit, transformons la formule (lo) en celle-ci :

Si - est développé suivant les puissances croissantes de )., on

en déduira le développement de — au moyen de cette for-

mule. Il est visible que les coefficients seuls sont modifiés, les exposants restent inaltérés. Il n'y a d'exception que pour le terme indépendant de X, s'il existe : ce terme disparaît dans

le développement de — • D'après cette remarque, nous concluons immédiatement que les cycles IV (i), IV (3), V et VII, relativement à r, donnent lieu respectivement à des cycles de même catégorie relativement à /Vj. En outre, pour les trois premiers cas, on aperçoit de suite que les nombres caractéristiques se conservent. Pour le cas des cycles VII, le même fait a lieu, comme nous allons le prouver.

Les nombres caractéristiques des cycles VII ont été définis ainsi : ayant

r — AX+BP + ...,

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on forme la combinaison

BrX - A C^ - A^ :=zCr''^^ + . . . ,

dont le. développement commence par un terme de degré supérieur à 2. Soit a + 7^ cet exposant; on a par là le nombre a, b étant déjà connu. Ceci revient à dire que les trois premiers termes du développement de - sont les suivants :

r" AX^A^ ^A^ ^ '

on en conclut immédiatement

iT\ Ak Ps.^ \ h) A-^

d'où la preuve du résultat annoncé.

Nous avons mis à part les cycles IV (2) et les cycles VI. Les premiers se conservent, avec leurs caractéristiques, sauf au cas a=o. Dans ce cas spécial, envisageons le second terme du développement de r :

on en conclura

r=r:A-hB}/'+.,

il) A"^ -T

De là, poux" Ti, un cycle qui appartient à la catégorie IV (3) sic> è, à la catégorie V si c=^, àla catégorie IV(2)si c<^h. Mais, en ce dernier cas, le premier exposant de ri, pour ce nouveau cycxe IV (2), n'est pas laul. Nous désignerons par -^ la somme

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5G5 APPKNDICK.

des nombres, tels que c, i^elalifs aux divers cycles IV (2), pour chacun desquels : 1^ a est nul, 2° c est inférieur à h. On voit que, dans le passage de C à C^ la caractéristique a'^' se change en a!J — y. Quant aux deux autres cas c^6, ils n'interviendront pas dans l'application que nous ferons des formul es (8), (9), (9 ^w) à la courbe Gi; effectivement les cycles IV (2), 1V(3), et V n'y figurent que par leurs caractéristiques ^, et cette dernière se conserve ici.

Les cycles VI sont caractérisés par le développement