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on en tire
Le cycle se conserve donc, avec ses caractéristiques, sauf au casa=: h. Pour ce cas spécial, il convient de prendre un ternie de plus dans les développements, et d'écrire
(^est, pour r^ , un cycle VII ûs^ib\ un cycle VI si 5 <^ 2 6. Mais, en ce dernier cas, la nouvelle caractéristique est 5, an lieu de a, et elle diffère de b. Si 5 ^26, les caractéristiques 7/' et [3''% quand on passe de G à G,, sont diminuées de la somme des nombres analogues è, et [3^" est augmentée de cette même somme. Au point de vue de l'application des formules (8),(9),(9èi^),cefaitintroduit, danslaformule(8)seulement, une diminution du dernier élément. Cette diminution est
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égale à la somme des nombres b. Si s<^ib, ^^'' n'est pas changée, et a'' est augmentée de la somme des nombres (s — b). Ce fait produit aussi, dans la formule (8) seulement, une diminution S (5 — ■ b) du terme — a''.
Nous réunirons ensemble ces deux diminutions, dont nous désignerons la somme par S.
En résumé, quand on passe de la courbe G à la courbe G^
ol\ [y' sont remplacés par ocj, p^
Quant à tous les autres éléments qui figurent dans les formules (8), (9), (9 bis)^ ils se coaservent, sauf une diminution y pour a' et une diminution S pour 1 ^'' — a^\
Le nombre d se conserve, comme on le reconnaît a priori cl comme le prouve aussi la comparaison des formules (9) et (9 bis). Enfin les courbes G et G| appartiennent toutes deux à une même catégorie. En désignant, comme nous Favons déjà fait, par t cette catégorie, par m 1 el [a, le degré de la courbe Gj, nous aurons
( £ (;x, - ^)^ P^^-f- ?'■'+ Pi- a,- 2 (y -h 8), ^ ' '^ I s {m, --m)-=. ^J" ~ P" — a^
18. Nous venons d'admettre que les courbes G et G| sont toutes deux de la même catégorie. Il y a cependant une exception à cette règle générale. Considérons un développement
de - suivant les puissances croissantes de X. La courbe G est
(le la seconde catégorie si les numérateurs de tous les exposants, réduits à leurs plus simples expressions, sont impairs ; elle est de la première catégorie dans le cas opposé. Dans le
développement de — ^ tous les exposants S€ conservent, sauf
l'exposant zéro. Les deux courbes sont donc de catégories
différentes dans un seul cas, celui où le développement de -
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5b5 APPENDICE.
ne contient que des exposants à numérateurs impairs, sauf un terme constant.
La courbe C est ainsi déduite d'une courbe C, appartenant
à la deuxième catégorie, par l'addition d'une constante à •
Les formules (i i) doivent être, pour ce cas, modifiées ainsi :
Voici un exemple : - =r a -i- cos9. On trouve aisément
<^j"— f/=i y/— Pi — cci =: a ~ o, 7 = I ; m --=2, p. — J .
Tl en résulte [jl, =r o, mi = i. Effectivement C, est une ligne droite, directrice de la conique C, relative à l'origine qui est un foyer.
19, Répétons la même transformation sur Ci, et considérons la courbe C2, tangentielle de C^. Il y a déjà une simplification consistant en ce que C^ ne contient aucun de ces cycles IV (2) et VI, qui ont exigé un examen spécial, et introduit le terme — 2 (y + S) dans la première équation (11).
Parmi les cycles I, à exposants fractionnaires, qui existent dans C, il nous faut maintenant distinguer ceux pour lesquels le premier exposant fractionnaire est compris entre vl et 3. Soit ainsi
^^rz:A4-B(e-eo)4-G(e-eo)^ + D(6-eo)'''2L. ia.<b,)
et faisons 2^2 = 0:2, Iib^^^Pz- Pour l'application des formules (ij), relativement à C2 et C^, les caractéristiques ^3''^, P'^, a% Po a^ vont être remplacées par (â''^-|- ^\ p^, a^, po, ao ; et nous aurons
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D'une manière générale, disons qu'un cycle I de C, à exposants fractionnaires, est du rang /2 quand le premier exposant
fractionnaire du développement de - est compris entre n et
7z H- I. Dans le passage de G à Cj, chaque cycle I de rang /z, pour G, donne un cycle I de rang n — i pour G^.
Le rang ji n'est pas moindre que Funité; le rang zéro, par les définitions du n"12, constitue un cycle II; le rang négatif caractérise un cycle III .
Envisageons la série indéfinie des tangentielles successives G, G^ , G2, ... et prenons celle qui a le rang ^4-i, G^. Les cycles I qui, pour G, ont les rangs A"-}-!, k-{-i^ ... donnent pour G;t des cycles I ayant les rangs i, 2, .... Geux qui, pour G, ont le rang k, donnent pour G^ des cycles II; ceux enfin qui, pour G, ont des rangs moindres que A", donnent pour Ga des cycles III.
D'une manière générale, soit
izrr A -h B(G - Oo)-f-. . . + L(G - Go)'^4- M(0 - Oo)"""'^"-!- . . .
l'équation d'un cycle de G ayant le l'ang n, et faisons pour tous les cycles de ce même rang Sa = a,^, S6 =: ^n- Pour G/^, les caractéristiques analogues à cfl' et ^" sont a^ et p^î et les caractéristiques analogues à a!'^ et ^"' sont
ce''/ a'' ce, -a, . . . a;,, + A-(,3'^^ -h- P/) + (/c - i)Pi . . . -f-p/,i,
Gonsidérons à la fois Gr-k et G;^, et, distinguant leurs classes et leurs degrés par les lettres ^ elm affectées des indices correspondants, nous aurons
20. Nous avons, par les formules (12), acquis la connaissance du degré et. de la classe de chacune des courbes
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C, C|, C2, .... Manifestement, il n'y a là aucune loi générale pour un rang déterminé; car on peut concevoir des exemples où la suite des nombres a/^, [3^ se prolongera si loin qu'on voudra; et d'une manière tout à fait arbitraire. Mais, quel que soit cet exemple, l'équation choisie étant algébrique, cette suite (a^^? ?>k) sera toujours limitée. Soit (a^^, ^,2) le dernier terme de cette suite. Les éc[uations (12) seront valables jusqu'à k =::• n inclusivement. En posant, pour abréger,
nous aurons ensuite
A partir d\in rang toujours limité, supérieur d\ine unité au rang le plus élevé des cycles I de la courbe initiale ^ les degrés et les classes des tangentielles successives dUine courbe algébrique quelconque forment deux progressions arithmétiques de même raison.
21. Nous prendrons pour exemples les trois courbes considérées au n^ 16.
Exemple 1.
'-cos/-^0.
A ce qui a été dit déjà (n^l6) nous devons ajouter que : i® les cycles I sont tous sans exposants fractionnaires; a'^les cycles IV (2) ne sont pas dans le cas exceptionnel où le
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premier exposant est zéro. Donc le rang à partir duquel s'applique la dernière proposition est zéro, ainsi que la raison R. Les tangentielles successives sont du même degré et de la même classe que la courbe proposée. Effectivement, elles lui sont toutes semblables.
Exemple 2.
/• = A cos ^ 0 + B sin ^ G -f- A' CCS ^ 0 + B^ sin ^ 0 -H . . . . q q q q
Les cycles I sont sans exposants fractionnaires. Les cycles IV (2) ne répondent pas à Fexposant zéro; il n'y a aucun cycle VI ou IL Donc là aussi la loi régulière commence avec la courbe elle-même. La raison R coïncide alors avec la caractéristique jB''^ Cette caractéristique est ici le nombre désigné au n^ 16 par N. On a donc
zm,,-=z-ni H- AN, z\xi,-=:z\). + AN.
Le nombre £ est, comme on l'a vu, égal à 2 si ^,/>, p\ . . . sont tous impairs ; à i dans le cas opposé.
Cet exemple fournit un moyen simple pour obtenir une raison ad libitum.
Exemple 3.
/•■'^•=co3/rO
Si k est positif et désigné par -^ la discussion faite au n'' 10
montre que la loi régulière commence à la courbe elle-même. La raison R est égale à e^^^ Qn a donc
7;^/, = 2qs -\- luf-, ]y.j^-=. qs -\- {h + 1)^7".
Si A- est négatif et désigné par — - 5 le développement de r suivant les puissances de \ (n" 1X5) montre que les cycles VI n'appartiennent pas au cas d'exception, sauf dans la seule hypothèse 5^ = i , 5 = 2. Laissant de côté cette courbe spéciale,
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nous voyons que le terme (v -f- S) de la formule (ii) est nul
Quant aux cycles qui répondent à des valeurs détermine'es de 9o, leur caractère est révélé par la formule
Ils sont à exposants fractionnaires si q n'est pas égal à l'unité
et si cos -Oo est nul. Ce sont des cycles I ou II suivant
s que - est supérieur ou inférieur à l'unité.
Si ^=1, alors on n'a que des cycles I sans exposants fractionnaires. La loi régulière commence avec la courbe, et la raison est nulle. Le degré et la classe se conservent donc ies mêmes pour toutes les courbes successives. C'est un résultat dont la vérification directe est facile. Il y a exception seulement pour le cas particulier qz=zi^ s = 9., C'est l'exemple que nous avons cité au n" 18, pour le changement de catégorie entre C et C|.
Si q diffère de l'unité, nous pouvons réunir les deux cas s^q et s<^q dans un seul, en disant que les cycles correspondant à cos - Qg = 0 ont pour rang le plus petit entier
contenu dans -• Soit n cet entier; les caractéristiques q
ol"\ ^"\ . . . sont toutes nulles, sauf On aura donc les résultats suivants :
n^ri — m, \^„ ■=i\}^-\-q--\-q{s — mj),
i:i,,^.^:^ /?i -H q--\-q{s— nq), {i.„+i — p. -i- 2 q'- -\~ q {s — nq),
cl généralement
in,,^n — in -hqs-h(h — n ) <^^ ^a«+/, = (J- -f- 7.? 4- ( /^ -f- î ~ n )r/\
ÉTUDE SUR LES POINTS SINGULIERS. SjS
22. Si, par rapport à un cercle de rayon 1 , ayant son centre à l'origine des coordonnées, on prend les polaires réciproques C/ et C\ des courbes C et Cj , la courbe C^ est la déi^eloppée de G\ L'analyse qui précède nous apprend donc à trouver le degré, la classe, les singularités de la développée d'une courbe algébrique quelconque; la proposition du n"* 20 nous donne celle-ci :
A partir d^ un rang toujours limité^ les degrés et les classes des développées successives d^une courbe algébricjue quelconque forment deux progressions arithmétiques de même raison.
Les exemples du n° 21 constituent des exemples pour cette nouvelle proposition. A ce point de vue, le premier exemple se rapporte aux épicycloïdes algébriques. Le troisième se rapporte encore aux courbes r^^=i cos/rO, suivant une remarque faite à la fin du n^ 16, et d'après laquelle ces courbes ont pour polaires réciproques des courbes de même définition.
23. En considérant une équation entre r et 6 comme définissant la courbe G^ nous avons là les coordonnées qu'on peut appeler /)o/a/7'^^ tangentielles. L'angle 9 est celui que
fait la normale avec un axe fixe; - est la distance de l'origine
à la tangente. A ce point de vue, la distinction des équations en deux catégories acquiert une importance beaucoup plus grande. Pour la courbe C, cette distinction est relative à l'origine des coordonnées; quand on prend arbitrairement cette origine, toute courbe est de seconde catégorie ('). Mais, pour les coordonnées polaires tangentielles^ la distinction est
(') L'équation d'une courbe est de la première catégorie quand l'origine a la propriété suivante : sa distance à un point quelconque, pris sur la courbe, est une fonction rationnelle des coordonnées rectilignes de ce dernier
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foTidamentale. En effet, le chaDgement d'origine, dans ce système de coordonnées, se fait par le changement de - en
- + a cos9 -f- b sin9, ce qui ne modifie pas la catégorie. Les
courbeS; dont l'équation en coordonnées polaires tangentielles vTppar tient à la première catégorie, sont celles que M. Laguerrc a appelées courbes de direction ( ' ).
(') Sur les hypercycles {Comptes rendus, t. XCIV, p. 778). — Sur la Géométrie de direction {Bulletin de la Société mathématique, i. Vill, p. 196).
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