DEUXIÈME PARTIE

24. Soit <Ï>(^,jk) une fonction rationnelle pouvant contenir,

non seulement x et y^ mais encore les dérivées de y par

rapport à x. Envisageons, d'autre part, un cycle défini par les

développements de ^ et jr suivant les puissances ascendantes,

à exposants entiers, d'une variable t. De ces développements

cl Y ci' y on en peut tirer d'analogues pour -^? j %^ Faisons la

substitution dans <ï>, et ordonnons suivant les puissances croissantes de t. Le degré du premier terme sera appelé ici l'ordre de la fonction^ relativement au cycle. Cet ordre est indépendant du choix de ^, pourvu que cette variable corresponde uniformément aux points du cycle (n^ 9).

Envisageant maintenant une courbe, nous laisserons de côté le cas où tous les points de la courbe rendraient <ï> nul ou infini. Il n'y a alors sur la courbe qu'un nombre limité de points, origines de cycles relativement auxquels l'ordre de ^ ne soit pas nul.

25. Théorème. — La somme des ordres dhuie même fonction relatiçement à tous les cycles d'une même courbe est égale à zéro.

Supposons d'abord que <ï> contienne seulement x et y sans dérivées, et soit simplement un polynôme entier. Soit Vix^ y)=z o l'équation de la courbe, et envisageons l'équation en x seul, qui résulte de l'élimination àe y entre F = o et <ï> = G. Pour simplifier, nous pouvons, sans restreindre cependant la généralité, grâce à la signification

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5j6 APPKxNDICE.

donnée à x etj^', supposer que, dans F, ne manque pas le terme en y de degré égal à celui de F. Conséquemment, si l'on j)rend toutes les racines j de F = o pour une valeur arbitraire de X, on aura, comme il est connu, pour le premier membre de l'équation résultante,

(j3) I{{,x)=Ylc^{a^,f),

en mettant, pour r, dans les divers facteurs du produit, toutes les racines répondant à x.

Envisageons un cycle dont l'origine ait la coordonnée finie Xq, et représentons-le par un développement de y suivant les puissances croissantes de x — Xq. Soit q le plus ])etit commun dénominateur des exposants. Ce développement est susceptible de q déterminations diverses ; mais, ^ ne contenant aucun exposant fractionnaire, chacune de ces déterminations, mise à la place de ^ dans <ï>(^, jk), fournit un développement dont le premier terme est, pour chacun, d'un même

degré h par rapport k {x — ^o)''- Si l'on fait x — ^y ==:: ^^, on reconnaît que h est ce que nous venons d'appeler l'ordre de <ï> relativement au cycle.

Si, dans (i3), nous supposons x voisin de Xqj tous les facteurs du second membre pourront, de la même manière, êlre développés suivant les puissances croissantes de(^ — Xq); et le premier terme du développement aura pour exposant la somme des nombres analogues à A, ou somme des ordres de^> pour tous les cycles dont l'origine a la coordonnée Xq, Or cet exposant marque le degré de multiplicité de la racine Xq dans R(^). La somme totale de ces degrés est le degré de R(^). Donc le degré de R(^) est égal à la somme des ordres de ^ pour tous les cycles de la courbe dont les origines ont des coordonnées Xq finies.

D'autre part, nous pouvons évaluer le degré de R(^) par celui du premier terme de son développement suivant les puissances décroissantes de x. A cet effet, on peut répéter le

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même raisonnement pour les divers cycles qui répondenl à X infiniment grand. Un tel cycle est représenté par un développement de j^ suivant les puissances croissantes de t^ quand on a posé x=^ f^. Il en résulte que le degré du premier terme dans le développement de R(;r) suivant les puissance i décroissantes de x est égal à la somme, changée de signe, des ordres de ^ï> pour tous les cycles répondant à x infiniment grand. En égalant ces deux expressions du degré de R(^), on a la preuve du théorème annoncé, pour le cas supposé où ^ï>(^, jk) est un polynôme entier en x et j/ seuls.

Pour une fonction rationnelle, l'ordre relatif à un cycle est égal à la différence des ordres des polynômes entiers qui servent de numérateur et de dénominateur. Donc la proposition s'étend naturellement à une fonction rationnelle de x^ y.

Pour une courbe algébrique, les dérivées -y-? -7^? •••

peuvent s'exprimer rationnellement en x et y , Donc la proposition s'étend aussi au cas où la fonction <î>(^, jk) contient ces dérivées. La démonstration en est donc complète.

26. Pour les applications du dernier théorème, il y a toujours nécessité de distinguer, parmi les cycles relativement auxquels l'ordre de <î n'est pas nul, ceux pour qui cette circonstance est due uniquement au choix des coordonnées. Nous allons faire cette distinction une fois pour toutes. Pour ce but, une courte digression est nécessaire.

Il s'agit d'introduire, d'une manière générale, la projec-

tivité dans les équations différentielles, de manière à pouvoir

y faire aisément les changements de coordonnées. A cet effet,

nous considérerons des transformations qui serviront surtout

au raisonnement, et dont nous nous affranchirons ensuite.

o • , ' ^ ,^ ' dy (P y ^j

boit une équation algébrique entre ^,JK, -7-5 -7-7^» .... iNous

supposerons un changement de variable indépendante, laissant d'ailleurs la nouvelle variable ^indéterminée; et nous

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imaginerons les coordonnées rendues homogènes, en prenant pour nouvelles coordonnées u>^^ u-i, W3, et posant

L'équation ainsi transformée sera supposée mise sous forme entière; soit alors ft{u) son premier membre. La lettre z/, mise entre parenthèses, rappelle les coordonnées, et l'indice^ rappelle la variable indépendante.

La fonction/^ (i/) jouit évidemment de deux homogénéités, Fune par rapport aux lettres w, abstraction faite des indices de dérivation, l'autre par rapport aux indices de dérivation. Mais elle a des propriétés plus caractéristiques, qui se reconnaissent comme il suit.

Désignant par \ une fonction quelconque de t, et par ^^i? ^27 ^'3 de nouvelles coordonnées, posons

( 1,5 ) u^ — X ^1 , a.2 — X ^2, ih = ^^ <^3 •

D'après la règle de Leibnitz pour les dérivées d'un produit, (m aura

s étant le degré de /par rapport aux lettres u^ et cp ne contenant que des dérivées d'ordre inférieur à l'ordre même de f. Mais la comparaison des formules (i4) et (i5) montre que la nouvelle équation transformée doit différer de la précédente par le changement seul des lettres u en les lettres (^. Donc cp est identiquement nul, et l'on a

Par un raisonnement tout semblable, on établit la pro- ])riété suivante; relative au changement de la variable indé- ])endante :

fds\ ^

(>7) /.(«) = b-Jy.(«)-

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L'exposant o) est égal au poids de / par rapport aux indices de dérivation.

27. Pour rendre l'équation projective, prenons, comme figure de comparaison, un quadrilatère arbitraire. A cet effet, : Introduisons les coordonnées de quatre points. Abrégeons i écriture en employant la notation {abc) pour le déterminant lormé avec les coordonnées a^, «2, a^] ^i, ^2? ^aj <^m <^2? ^3 Je trois points a, b^ c. Désignant par çv les nouvelles coordonnées du point variable, nous poserons

I u^z=i{whc){accl){ahd),

(18) \ ii^-=.{^wca)(bad){bcd), \ u.^-=i(^wab){cbd){cad).

En substituant, nous avons, au lieu de/^(?^),une fonction des coordonnées w, a, 6, c, d, qui peut, dans certains cas, se décomposer en le produit de deux facteurs dont l'un ne contienne pas les w. Prenant cette hypothèse, la plus générale^ nous aurons ainsi

les lettres entre parenthèses sont destinées à rappeler les coordonnées qui figurent dans les fonctions; la lettre a est mise pour a, 6, c, d.

D'après la forme des équations (18), une même substitution linéaire effectuée à la fois sur les w, a, 6, c, <i a pour effet de multiplier les u par le cube du déterminant A de la substitution. Donc le produit cp(a)F^(pv, a) se reproduit multiplié par A*^^, et les deux facteurs se reproduisent chacun multiplié p'ar une puissance de A. Désignant par W, A, . . , les nouvelles coordonnées, nous aurons donc

(19) F,((r,a)^AOF,(W, A).

La fonction F^ (tv, a) est un cov ar tant différentiel y Q>oviXç,'

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58o APPENDICE.

liant uniquement, outre les coordonnées du point variable et leurs dérivées, les coordonnées de quatre points a, 6, c, cL Tout autre élément peut y être envisagé comme purement numérique. Si l'équation différentielle, qui a servi de point de départ, exprime une propriété projective, son premier membre se présente naturellement comme une fonction des coordonnées du point et des éléments d'une figure, fonction inaltérable par les substitutions linéaires. Mais toute figure peut être projectivement rapportée à quatre points, et représentée par ces points et des nombres. Donc toute forme projective d'une équation différentielle équivaut à celle que nous venons de considérer.

Le covariant différentiel F^(pp, a) peut ne contenir aucun des points a, &, c, d. C'est alors un invariant différentiel. Pour ce cas spécial, dont nous verrons des exemples, on

i8. Nous pouvons maintenant revenir, pour le covariant^ a la forme simple dans laquelle les coordonnées du point mobile sont réduites à deux, et où l'une d'elles est la variable indépendante. Ce covariant donne lieu à deux identités semblables à (16) et (»7). Remettant donc la lettre w, au lieu de (^, pour les coordonnées courantes, et supprimant l'indication des coordonnées a, 6, . . nous aurons, en emploj'ant les formules (i4)j

Dans Fx(^)les coordonnées sont x^y^ i.

En faisant maintenant un changement de coordonnées quelconques, appliqué non seulement au point mobile, mais encore aux points a, 6, c, <i, et réduisant aussi les coordonnées du point mobile à X, Y, i, nous aurons de même

F.(U) = i:l(fy'F.(X).

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ÉTUDE SUR LES POINTS SINGULIERS. 58l

Enfin, en nous servant de l'égalilé (19), nous conclurons

Ecrivons explicitement les formules du changement de coordonnées :

et nous aurons, pour l'égalité définitive que nous voulions obtenir,

(a3X-Hp3Y-f-Y

__,(i±\ FWX).

Telle est la formule pour le changement de coordonnées dans le premier membre d'une équation différentielle exprimant une propriété projective.

29. Les deux exposants S, to sont importants pour ce qui va suivre. Il sera utile de savoir les calculer sans exécuter le changement de coordonnées.

Supposons le point mobile aux environs de l'origine du

cycle

a: — sco -— p^ (;/ — jo )- -+- p3 (7 — joV -f- • • » )

les coefficients p2, p-s, ... étant arbitraires. Au second membre de (20), tous les facteurs ont, poury =jKo? des valeurs finies différentes de zéro, sauf ( ^ ) dont le développement commence par un terme du degré — tù eny — y-^.

Par conséquent, le nombre co, changé de signe, est l'ordre de F^(^) pour le cycle considéré. On pourra aussi calculer cet ordre en renversant l'équation du cycle, et prenant

Substituant ce dernier développement, à coefficients arbi-

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cl^r —

traires^ dans F^. (^), on aura, pour le degré du premier ternie en X, le nombre

Exemple : soit F^^. (^) = -j^^- Le degré du premier terme

est — |. Donc oj ==: 3.

Pour calculer S, mettons, dans (20), à la place de dx son expression

(7.:3X + 63Y4-T.)(a,^XM-Bir/Y) — (a,X + 3,YH-T0(c^-,r/.X4-e,r/Y) Supposons maintenant le point mobile sur le cycle

D'après Texpression de dxj le second membre de la formule (20), développé suivant les puissances décroissantes de x^ a son premier terme du degré S — 2Cl). Donc, en substiiLiant le développement de y dans ¥^{x)j on aura pour le degré du premier terme S — 2to; ce qui détermine S.

d^ y Dans l'exemple Ya:{x) =^—~^^^ le premier terme est du

degré — 3. Donc S — 2co = — 3, et, par suite, 3 = 3. Ces résultats se vérifient aisément si l'on observe que, pour cet inv ariant différentiel, la forme Ff(w) est le déterminant {lui'u"). C'est le nombre S -— 2Cl) que le calcul précédent donne directement, et non pas S. C'est aussi S — 2 co qui intervient dans les résultats, et nous poserons

30. Le nombre — w est l'ordre du covariant F^. (^) pour un cjcle dont la tangente est ^ =: Xq, Pour une courbe quelconque, le nombre des pareils cycles est la classe \k de la courbe. Donc la somme des ordres du covariant, relativement à tous ces cycles, est — [ji.to. De même — w' est l'ordre du co-

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variant pour un cycle dont Forigine a ses coordonnées x^y^ infinies. Pour une courbe du degré m, la somme totale des ordres du covariant, relativement à tous les cycles analogues, est — niiù' ,

Pour appliquer la proposition du n^ 25, nous avons ainsi dans la somme des ordres du covariant, relativement à tous les cycles de la courbe, cet élément — ((0[a + w'/n), qui se rapporte exclusivement aux coordonnées. Au contraire, tout autre élément de la somme est indépendant de ces coordonnées. En effet, voulant calculer l'ordre de F^^(x) relativement à un cycle, nous pourrons, dans la formule (20), supposer l'origine de ce cycle et sa tangente répondant à X =r Y =: o, et Y =: o. Si l'origine de ce cycle ne répond pas aux coordonnées x, y infinies, et si la tangente n'est pas x=zXqj alors les facteurs du second membre dans (20), sauf Fx(X), sont d'ordre zéro. Donc l'ordre de F^ [x) est égal à celui de Fx(X). Il est indépendant des coordonnées ,x^ y et peut être calculé en réduisant les coordonnées à la forme la plus simple. En désignant par Q la somme des ordres du covariant, ainsi calculés pour chaque cycle, on aura donc

(21) Q =: (ja>j, -]- w'/?!.