Exemple : F = -y^- Soit le cycle
Le degré du premier terme, en x^ est- L'ordre de F,
relativement à ce cycle, est donc (v — n). D'où la formule
(22) ^{^i — ri) — ?>{[x — m),
OÙ la sommation doit s'appliquer à tous les cycles pour lesquels les deux nombres v, n sont différents.
Cette formule (22) donne le nombre des points d'inflexion ;
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car un point d'inflexion ordinaire ( /z = i^ v = 2) apporte à la somme un élément égal à l'unité.
32. Voici maintenant un second exemple, où nous envisagerons tout d'abord l'invariant différentiel souslaforme Fi(ii). Nous prendrons pour Fc(u) le déterminant formé avec la première ligne
11% II], u], u^ih, iHUi, niU,]
les termes correspondants des lignes suivantes seront les dérivées premières, secondes, ., . . cinquièmes de ceuxdela première ligne. C'est un invariant; car c'est le premier membre de l'équation différentielle des coniques. Nous avons immédiatement ainsi 8=12 : c'est le degré par rapport aux lettres u; et co = i5 : c'est le poids par rapport aux indices de dérivation. Ainsi, en calculant 0 comme il a été dit au n"" 30, on aura 0 — 2(1) = — 18, et par suite
Partageons les cycles en deux catégories; la première sera caractérisée par l'inégalité de la classe et de l'ordre ; la seconde par l'égalité.
Prenons un cycle de la première catégorie sous la même forme qu'au n^ 31, et réduisons l'invariant à la forme F^- (x). La première ligne du déterminant se compose des termes ci-après, convenablement rangés :
Leurs parties principales ont, en œ, les degrés respectifs
tous nombres inégaux. Par conséquent, le déterminant luimême, formé avec les dérivées prises par rapport à ^, a pour partie principale le monôme auquel il se réduirait si chacun
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des termes ci-dessus était réduit à sa partie principale. Le degré de ce monôme astégalà la somme des degrés des termes,
diminuée du poids, c'est-à-dire 8 -h i5. Donc Tordre de
rinvariant, relativement au c^^cle, est 4"^ — 7^^- Donc les cycles de la premièi^e catégorie apportent à la somme Q l'élément
Pour un cycle de la seconde catégorie, d'ordre et de classe 71, le calcul précédent ne s'applique pas. Dans la première ligne du déterminant, les termes x'^ et y ont leurs parties principales du même degré 2; les parties principales des autres termes ont les degrés o, i, 3, 4- ^ f^^^^ra donc, pour appliquer la même analyse, remplacer le terme jk par une combinaison linéaire C :
C =z ax" -h a! y + o!' xy -h c/^ j\
dont la partie principale soit de degré supérieur à 2 et différent de 3 et 4- Soit formée une telle combinaison; désignons le degré de sa partie principale par 5 H- /, le nombre / pouvant être négatif et fractionnaire. La partie principale du déterminant est alors du degré /, et son ordre pour le cycle est In, L'interprétation de ce résultat est la suivante : le îiombre(4 + l) marque l'ordre le plus élevé du contact qu'on ])uisse établir entre chaque branche du cycle et une conique. Ce nombre, pour une branche de courbe quelconque, est ordinairement 4? et l est alors nul. Voici donc le résultat : Sur une courbe, de degré m et de classe [Ji, si Von envisage toutes les branches ayant avec leurs tangentes des contacts du premier ordre y et avec des coniques des contacts d^ ordre maximum différent de ^, et qu^on désigne par l\-\- l L^ ordre d^ un cjuelconcjue de ces contacts, on aura
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la dernière sommation s^ appliquant à tous les cycles ou le contact açec la tangente n^ est-pus d^ ordre égal à V unité, \Ln vertu de la relation (22), on peut écrire la même égalité sous diverses formes, parmi lesquelles la suivante :
où la dualité est mise en évidence.
Nous venons d'obtenir ainsi le nombre des points sextactiques. Un point sextactique est l'origine d'une branche simple ayant avec une conique un contact du cinquième ordre. Pour un pareil point, / est égal à l'unité.
