Exemples des formules (22) et (aS

Exemple 1. — Soit la courbe représentée en coordonnées homogènes par

Ses points singuliers sont, l'un au sommet ^ = 5 ==: o ; cycle

le second au sommet x =j^ = o; cycle

Du sommet ^ = ^ == o on ne peut mener aucune tangente hormis celle du cycle qui a cette origine. Donc ji. =: ni +V| =5. D'ailleurs m = 5. D'après (^is), 3([Ji — m) — (v| — ^^) étant égal à I, il y a^^/2 point d'inflexion. Cela fait donc un autre cycle 723=: I, V3 = 2. La formule (aS) donne, au second membre, — 3. Pour le second cycle l'élément / est — 5. Donc il y a deux points sextactiques.

Exemple 2.

.XP y1 n= zP^^,

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Les nombres/),^ sont entiers et premiers entre eux. Cette combe, qu'on peut appeler anharmonique à cause de ses propriétés (^ ), se reproduit elle-même par une infinité de substitutions homographiques, conservant le triangle de référence. Il en résulte qu'il ne peut y avoir ni point d'inflexion, ni point sextactique, hormis les sommets de cetriani>le. La classe est égale au degré, attendu que la courbe est sa propre corrélative. Les sommets x z=z z = o ely = z=: o sont les origines de deux cycles corrélatifs dont les ordres sont p et q^ les classes q et /?. On a donc bien zéro au second membre de (22). En outre, la somme des nombres ^ -h vest ^(p -hq) ou m + [j., et l'on a zéro au second membre delà formule (^3).

34. Par les deux applications des n°^ 31 et 32, on a vu comment la formule (ai) est propre à faire connaître le nombre des points où les éléments infinitésimaux d'une courbe satisfont à une relation projective donnée. Dans ces deux applications, la relation était exprimée par l'évanouissement d'un invariant. S'il s'agit d'un covariant, c'est-à-dire si la relation a lieu entre la courbe et une figure donnée, il y a place pour une discussion. On doit examiner : i"^ quels sont les éléments du nombre Q qui proviennent de points invariables sur la courbe quand la figure varie; 2^ quels sont les éléments qui , au contraire , proviennent de points variables avec cette figure; 3° comment enfin ces éléments peuvent se confondre pour des situations particulières de la figure et de la courbe. Cette dernière partie de la discussion doit être réservée pour chaque cas particulier*. En la laissant de côté, on se trouve en présence d'un problème général bien défini. La figure est représentée par quatre points, comme il a été

(') FouRET, Su7' quelques propriétés des systèmes de courbes; et Intégratioji géométrique [Comptes rendus, t. LXXVllI, pp. 169.3 et 1887).

Klein et Lie, Ueber vertauschbare linectre Transformationen {Math* Ann., t. IV, p. 5o).

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(lit aun"^ 28. Ces quatre points, dont un au moins existe dans le covariant, sont laissés indéterminés. En cela consiste Vindépendance entre le covariant et la courbe considérée.

II y a cependant encore une observation nécessaire au sujet de cette indépendance. Envisageons le covariant comme une fonction des lettres a, . . . coordonnées de la figure ; les coefficients sont alors des fonctions du point mobile. Ce covariant, ainsi considéré comme un polynôme des lettres a, est susceptible de formes plus simples moyennant quelques relations entre les coefficients du polynôme. Ces coefficients

étant ici des fonctions de cc^ y -—-> * . . , ilpeut arriver que de

telles relations soient ou incompatibles ou compatibles entre dles. Dans le cas où elles sont compatibles, il existe des courbes sur lesquelles ces relations sont vérifiées en chaque point. Pour une quelconque de ces courbes et le covariant envisagé, le problème, on le voit, est changé; il se rapporte proprement à un autre covariant plus simple.

Nous achèverons de préciser nos hypothèses en admettant que la courbe considérée n'est pas au nombre de celles pour qui le covariant se simplifie.

Un exemple éclaircira ce qui vient d'être dit. Prenons le covariant suivant qui est sous la forme F^ ( w, «), les accents dénotant les dérivées par rapport à ^ :

{ahc){acd){adb){ubc){ucd){udb){uu' u") + k{bcdy {uu' af ,

Si Ton a identiquement (uu'u")=Oj le covariant se réduit au dernier terme qui est un cube.

Ainsi, pour ce covariant il faudrait exclure les lignes droites.

3§. Commençons la discussion en examinant quels sont les éléments du nombre ù qui répondent à des points de la courbe variables avec les points a, 6, c, d.

Soit ^ un de ces points. Puisqu'il varie avec a, . . . et que a, . . . restent indéterminés par hypothèse, x est un point

simple de la courbe G. DoncrélémentdeQ qui s'y rapporte est entier et positif. Si cet élément n'est pas égal à l'unité, c'est que la dérivée du covariant F, prise par rapport au point x le long de la courbe G, s'évanouit en même temps que F. Soit F^ ce que devient F quand on y substitue, au lieu de r et de ses dérivées, leurs expressions en x relatives à G, en sorte que F< dépend maintenant de la coordonnée x et des a, by ... L'hypothèse entraîne cette conséquence

r)F que -r— î- s'évanouit avec F^ . Il en résulte aussi que les dérivées

partielles de F^, par rapport aux coordonnées de a, b, . . , s'évanouissent, aussi en même temps. Donc F], considéré comme fonction de ces dernières quantités, se décompose en facteurs dont un au moins est un carré. G'est un fait qui peut se produire, mais se rapporte précisément au cas que nous venons d'exclure, celui où, pour la courbe envisagée, le covariant se décompose. Ge cas exclu, le point x apporte au nombre ù un élément égal à l'unité. Donc la partie du nombre Q, relative aux points de la courbe variables avec les éléments du covariant, est égale au nombre des points simples de la courbe, en chacun desquels ce covariant s'évanouit.

36. Les éléments de 0 qui répondent, au contraire, à des points de la courbe invariables, ne sauraient être discutés à la fois pour tous les covariants imaginables. Mais on peut répartir les covariants en vastes groupes, à chacun desquels s'applique une discussion unique. L'ordre le plus élevé des dérivées qui figurent dans le covariant peut servir de base à cette classification.

Dans un covariant du premier ordre, les éléments de la courbe

sont x'^ y-t'Z/' Pour le calcul du nombre 0, ces trois quantités ont, en chaque point, des valeurs finies. Il est impossible que la substitution de ces valeurs dans le covariant

DgO APPENDICE.

donne un résultat qui ne soit pas fini et difTérent de zéro, lânt que a, 6, c, d restent indéterminés. Donc, en ce cas, ij n'y a aucun élément de 0 indépendant de a, 6, c, d. Donc : Sur une courbe de degré m, de classe \k, le nombre des points en chacun desquels s^ évanouit un covariant différentiel du premier ordre, indépendant de la courbe est 03 [jL -f- to^m, les nombres co e^ co' ne dépendan t que de ce covariant.

37. Nous avons déjà observé (n^ 28) que la forme d'un covarîant peut, sans inconvénient, contenir explicitement, au lieu des quatre points a, Z?, e, rf, toute autre figure. Dans l'exemple ci-après, nous prendrons une telle forme.

Soit A le premier membre de l'équation d'une ligne droite, et B le premier membre de l'équation d'une courbe dont nous désignerons le degré par k. Prenons le covarîant

dt\ki^

qui peut être mis sous forme de déterminant. En désignant par ^,, ^2? ?3 les coordonnées tangentielles, savoir

et dénotant par des indices les dérivées partielles

on trouve aisément

dk

du:

à II s'

¥,{u) = {kBl):

Sous cette forme, on voit que F = o exprime la relation suivante : la droite A, la polaire du point variable par rapport à la courbe B et la tangente de la coarbe C, lieu du point variable, sont concourantes.

Les nombres S r=: /c -j- i , co = i sont en évidence dans les

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deiiK formes de F. On a ainsi, pour le nombre N des points où la condition F = o est satisfaite,

Tel est le résultat quand, la courbe C étant censée donnée, V indépendance a lieu, c'est-à-dire que A etB restent indéterminées. L'examen des circonstances qui accompagnent la dépendance doit, avons-nous dit (n"^ 34), être réservé pour chaque cas particulier. Faisons ici cet examen, en nous bornant toutefois, pour abréger, à la recherche des éléments répondant à des points de G qui ne varient pas avec la droite A.

En prenant, pour le point ?/, r=z?/2 = o, l'origine d'un cvcle et pour la droite ?/2 = ^ 1^ tangente de ce cycle, pour

variable indépendante ^ = —^5 nous avons, à Forioine du

cycle, les valeurs o, i, o pour ^,, ^o? ?3 ; par suite, d'après la dernière forme du covariant, F^(^) est fini, différent de zéro, si Ai B3 — AaBi n'est pas nul. Ce binôme ne peut être nul, quelle que soit la droite A, que si B^ et B3 sont nuls tous deux. Cette circonstance se présente, ou bien si B et C sont tangentes entre elles au point x^ ou si ce point est multiple sur B. Pour examiner un tel cas, revenons à la première forme de F, en y prenant pour t une variable suivant laquelle se développent les coordonnées de x sur le cycle. Soit h Tordre de B pour ce cycle, c'est-à-dire le degré du premier terme dans le développement de B suivant les puissances croissantes de t. L'ordre de F, pour ce même cycle, est h — /^, si n marque l'ordre du cycle.

En prenant pour chaque point commun à B et C le nombre analogue à h — /z, nous aurons donc

Ni = (/(•— l)7??. -k-[Si—^{Jl-~/l)

pour le nombre Ni des points variables avec la seule droite A. Si toutes les intersections de B et C sont simples, notre

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592 APPSPsDICE.

analyse même et notre dernière formule montrent toutes deux que tous les éléments h — n sont nuls. Pour les autres cas^ nous pourrons modifier la formule en observant qu'on a

> A =rz km, 11 vient ainsi

OÙ la somme comprend tous les cycles de G ayant leurs origines sur B. C'est, en termes plus ordinaires, la somme totale des ordres de multiplicité des points de G, qui sont sur B.

Pour chaque point x de la courbe G, on prend Tintersection de la tangente en x et de la polaire de x par rapport à B. Soit Xii cette intersection. Le lieu de x^ est une courbe G| dont le calcul précédent nous donne le degré N^. En supposant pour B deux droites isotropes conjuguées, ayant O pour point commun, on retrouve pour G, la tangentielle de G (n^ 17), et, par une transformation corrélative, on a ce résultat : La classe de la développée d'une courbe est égale à Vexcès de son degré sur sa classe, augmenté de la somme des classes de tous les cycles dont les tangentes sont ou isotropes ou à U infini.

38. Au lieu de faire dépendre un co variant différentiel d'une figure^ on peut aussi le faire dépendre de coefficients se modifiant par un changement de coordonnées, tout comme le premier membre de l'équation d'une courbe. A ce point de vue, la forme projective d'un covariant du premier ordre consiste en un polynôme entier à deux séries de variables et doublement homogène. Ges variables sont, d'une part, ^/^, Wiy i^3, coordonnées du point x\ et les coordonnées d'une droite ^j, ^o, ^s- D'ailleurs le point x est sur cette droite, ce qui est exprimé par

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et permet de varier la forme extérieure d'un même co variant. Si l'on omet la condition que x soit sur la droite, une équation entre les u et les \ définit ce que Glebsch a appelé un connexe.

Les nombres co et o)^ qui sont les degrés du polynôme relativement aux lettres \^l u sont la classe et Mordre du connexe. La proposition du n" 36 donne donc celle-ci : Sur une courbe, le nombre des points dont chacun, avec la tangente en ce point, appartient à un connexe^ est égal au produit des ordres du connexe et de la courbe, augmenté du produit de leurs classes.

On peut encore envisager le système des courbes qui sont leprésentées par l'intégrale générale de l'équation obtenue en éoralant le covariant différentiel à zéro. Alors o) et w' sont ies deux caractéristiques du système, to le nombre de ces courbes qui passent par un point^ o)^ le nombre de celles qui touchent une droite. La proposition prend alors cette autre (orme : Dans un système ayant les car ctc té ris tiques co et iù^, le nombre des courbes qui touchent une autre courbe donnée de degré m, de classe [jl, e^^ cojjl + co^m (^ ).

Il ne faut pas oublier, dans les deux énoncés, l'indépendance qui a été primitivement supposée.