Poursuivons la discussion commencée au n" 36, et

prenons un covariant différentiel du second ordre. SoitF^.(^)

dy d'^y ^ ;, -.

ce covariant qui contient ^, j}^, -— > T^/ ordonnons-le par

, d^y . , fd'yY.f dy

rapport a -— ^ et soit un de ses termes I -p~ ] J\^^y^7t'

Envisageons un cycle

(' ) FouiiET, Mëmoii^e sur les systèmes généraux de courbes planes, définis par deux caractéristiques {Bulletin de la Soc. Math.., t. II, p. 72).

S. — Courbes planes, 38

La partie principale du terme considéré est ici

n \ Il

Par la même raison qu'au n^ 36, on voit que ce coefficient ne peut être nul quelles que soient les données du covariant; par conséquent, la partie principale de F^(^) a pour degré

le plus petit des nombres — ; et son ordre relativement

au cycle est le plus petit des nombres a(v — n\ Si v^/2, cet ordre est zéro; car F est supposé indécomposable et ne contient pas, par conséquent, le facteur V^ * Si. au contraire,

v<^7?, le minimum répond au maximum de a; ce sera donc

.à} y • — y(7z — v), Y désignant le degré de F par rapport à —-^ • Ainsi :

Le nombre des points sur une courbe de degré m et de classe \K, en chacun desquels s^ épanouit un covariant différentiel du second ordre , indépendant de la courbe ^ est

N =:: co[x 4- co'm -H Y /^(/i — v),

OÙ la sommation s^ applique à tous les cycles de la courbe pour lesquels V ordre surpasse la classe.

Distinguons les cycles en deux espèces : dans la première rangeons les cycles caractérisés par /i^v; dans la deuxième ceux qui sont, au contraire, caractérisés par n'<^^/ . Faisons

A cause de la relation (22), qui peut s'écrire

le nombre N est susceptible de deux expressions

(24) N=:ico(JL-4- co'm 4- Y^ =:(co^ + o-{)m-\-{bi — 3y)[^ +7?? corrélatives l'une de l'autre.

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ÉTUDE SUR LES POINTS SINGULIERS. 5g5

M). Cette corrélation se vérifie aisément sur la forme pro^ jective clés covariants différentiels du second ordre. Poui nous placer au même point de vue que dans le n*^ 38, nous définirons cette forme comme il suit. Abréviativement, désignons par (uP^^) une fonction doublement homogène de Uiy U2t Uz et ç,, ^2? ?3? du degré p par rapport aux u. du degré q par rapport aux ?. Faisons aussi

La forme générale projective clierchée est

Par rapport aux indices de dérivation, le poids de D est

égal à 3. Le poids de F est celui d'un quelconque de ses

termes

ca zzL 3y 4- ^.

Le degré par rapport à u est égal à 3 pour D, à 2 pour les \. Le degré S de F est donc celui d'un quelconque de

ses termes :

S — Sy-H 2q-{-p', par conséquent,

ij^' -zrzil — 2 w rzzy; — 3 y.

La seconde forme (24) du nombre N est ainsi

(25) N =i/>m + ^ [j. 4- YP .

Pour une transformation corrélative on doit remplacer respectivement u par ^, \ parDw et D par D-. Ces substitutions faites, F contient le facteur D avec l'exposant 2Y + q] ce facteur supprimé, on obtient pour le covariant transformé

F' ~ Dr ( UP' \'i' ) + Dï-l ( W/^'-3.^'7'^3 ) | J3 y-2 ( ;^/./-6 ^ry/+G ) ^

^'rrz^-H3Y, q'-=p — 3^(.

La première forme (24) du nombre N est donc

( 2 5 bis ) N =n p' ij. ^L r/ m + y /*,

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596 ÀPPENDICK.

et les deux formes (^5) et (20 bis) ont entre elles la corrélation nécessaire.

Suivant la remarque faite au n° 31, nous devons exclure les lignes droites pour l'application de ces résultats.

41. Si la courbe considérée n'admet que des singularités ordinaires, les lettres r et p marquent le nombre des points de rebroussemcnt et celui des points d'inflexion. Il existe donc une catégorie de problèmes bien définie, dans lesquels tous les points singuliers peuvent être remplacés par des équivalents en points de rebroussemcnt et points d'inflexion. Pour mieux dire, une courbe quelconque à l'égard des problèmes que nous venons de traiter est représentée par les nombres m, [Ji, r, p. Mais cette propriété appartient exclusivement aux problèmes qui concernent les covariants du premier et du second ordre, comme nous le verrons bientôt.

De même qu'au n^ 38, la formule (24) est susceptible d'un énoncé relatif au nombre des courbes appartenant à un système à deux arbitraires, et qui ont un contact du second ordre avec une courbe donnée. Il paraît inutile de nous y arrêter,