II

En désignant par A^ le déterminant conjugué obtenu par le simple changement de B((^)en — B((^) au dernier terme, on aura le covariant sous forme rationnelle et entière ainsi :

On y aperçoit immédiatement les nombres caractéristiques

Le nombre N est donc ici le double de celui qu'on a trouvé dans l'exemple précédent.

Lés coniques bitangentes à' une conique donnée, passant par un point donné et ayant un contact du second ordre avec une courbe donnée que caractérisent les nombres 7?7, [j.^ /% p, sont donc en nombre égal à 2 (3 /?2 + p) = 2 (3 jj. -[- r).

En conséquence, c'est eacore le même nombre pour les coniques bitangentes à une conique donnée, touchant une droite et ayant un contact du second ordre avec la courbe.

On peut, pour cas particulier, réduire la conique donnée à deux droites ou à deux points ; nous aurons de la sorte les caractéristiques de l'ensemble des coniques ayant avec une courbe (/n, [jl, /^, p) des contacts du second ordre.

43. C'est pour une raison générale que, dans les deux exemples précédents, on a trouvé une proportionnalité entre les trois nombres caractéristiques. Toute équation différentielle du second ordre algébrique, dont l'intégrale générale est représentée par des coniques, est ainsi caractérisée par les nombres y, ^ =: 3y, 5^ = o. Pour s'en convaincre, il suffît d'observer, dans le covariant F^(i^), la signification géomé-^ trique du coefficient de la plus haute puissance de D, et celle du terme indépendant de D. En les égalant à zéro, on obtient deux connexes exprimant la liaison qui existe entre les origines et les tangentes des cycles des courbes intégrales où l'ordre diffère de la classe. Quand les courbes intégrales sont des coniques, le coefficient de D^, égalé à zéro, donne le lieu des points auxquels se réduisent les coniques dégénérées, envisagées en coordonnées tangenti elles ; le terme indépendant de D donne, au contraire, l'enveloppe des droites auxquelles se réduisent les coniques dégénérées, envisagées en coordonnées ponctuelles. Ainsi le coefficient de D^ ne contient pas les lettres ^, et le terme indépendant de D ne contient pas les lettres u. C'est ce qu'il fallait prouver. De là cette conséquence qui appartient à la théorie générale des caractéristiques pour les coniques : le nombre des coniques qui ont

Hosted by

ÉTUDE SUR Li:S POINTS SINGULIERS. 5gCf

des contacts du second ordre avec une courbe donnée et satisfont, d'autre part, à une condition triple indépendante de la conrbe, est y (3m + p). Le coefficient y ne dépend que de la condition triple; m est le degré de la courbe, p l'équivalent de ses points singuliers en points d'inflexion.

Pour avoir un exemple où ne se présentent pas de pareilles circonstances, il faut prendre une équation difi'érentielle dont l'intégrale générale ne soit pas représentée par des coniques. En voici un : désignant par a, 6, c les premiers membres des équations de trois droites, prenons le déterminant

L'intégrale générale de F^(i/) = o est représentée par les cubiques ayant pour point et tangente de rebroussement le point a = c = G et la droite a = o ; en outre, leur point d'inflexion a pour lieu c = o et la tangente d'inflexion passe constamment au point a = b = o.he nombre de ces cubiques qui ont un contact du second ordre avec une courbe est donné par la formule 6m + p. On a, en eflet,

44. Nous allons maintenant faire la discussion générale, commencée au n° 36, pour les covariants diflerentiels du troisième ordre. Tout d'abord, prenons ces covariants sous leur forme projective, ou, en d'autres termes, indépendante des coordonnées. Dans une pareille forme, les dérivées du troisième ordre seront introduites au moyen de la combinaison suivante :

G =z {uu'u"^) aii/x^ -h- 3 ( uié li") a^'^i — 3 ( uu'u") a^as .

Les signes Gw, at, ... expriment des formes linéaires, savoir :

Ua' ■=-aiu\ -^a^^u'^^ -4-^3^3^ ar^ ^^aj?", -H «2 ^2 -^-'a^j.

D'après les expressions des ^, on peut aussi écrire

Oi^-=:z(oLUu')y y.i' ■=: [y. Uu" ) .

On voit que au, et aç/ sont les dérivées de au et a^.

Les propriétés de la combinaison G s'établissent aisément. Pour la clarté, considérons a^ , aa, ol^ comme les coordonnées d'un point a, et a^ , ^2, a^ comme celles d'une droite, joignant deux points [3, y- De cette manière, on peut écrire a„ = (Pyi/). L'analyse du n'' 27 ou un calcul direct donne immédiatement cette conséquence que l'expression suivante

reste absolument invariable, soit qu'on cliange la variable indépendante, soit qu'on effectue à la fois sur les Uj a, [3, y une même substitution linéaire. En conséquence, la dérivée de P^ reste également invariable pour les substitutions linéaires. Quant au changement de la variable, son effet se traduit par la relation

dVj ^P, ds

dt ds dt

D'après l'expression de G, nous avoDs

~ dû {^^(uf

Si nous effectuons une substitution linéaire à la fois sur les Uj a, p, y, que les nouvelles coordonnées soient désignées par des majuscules, et que A soit le déterminant de la substitution ; si nous faisons, en même temps, un changement de la variable indépendante, nous aurons, pour traduire le changement qu'éprouve la forme de G, l'égalité

Ainsi G^ (?/) est un covariant différentiel du troisième

Hosted by

ÉTUDE SUR LES POINTS SINGULIERS. 6o I

ordre, et son expression contient un point a et une droite a en outre des éléments du point x. Pour ce covariant, le nombre to est égal à 5. Le nombre S est égal à 6 ; par suite,

On peut, sans inconvénient, supposer le point à sur la droite a. Prenant alors des coordonnées {particulières, on pourra faire

(2i = 0, <22=0, (^3=:I, ai=:0, a^ =: I , «gZizO.

Choisissant x =^ ~ pour variable, et j/ = — pour fonction,

on réduit ainsi P a -7-^ et (j a — — :• Par la se reconnaît que, dx^ clx'^ ^

dans cette hypothèse (le point a sur la droite a), G=o est

l'équation différentielle des coniques qui touchent la droite a

au point a. Si, au contraire, on suppose que a ne soit pas

sur a, on peut choisir les coordonnées ainsi

(2i=i:0, (22 = 0, «3=1, ai=zO, «2=0? «3=1.

Avec les mêmes variables que tout à l'heure, on a pour G

l'expression -7- — -; — , où les dérivées sont prises par

rapport à x. L'intégrale générale de G = o est

A ^^ + 2 B xy 4- G j^ = I ,

où A, B, G sont les constantes d'intégration. Elle est représentée par les coniques relativement auxquelles a est le pôle de a.

45. Au moyen du covariant G nous pouvons écrire un covariant quelconque du troisième ordre sous forme projective. Il suffit, à cet effet, de faire intervenir avec G le déterminant D=(i^t<^' ^'') et de prendre pour coefficients des fonctions des lettres w et ^.

Hosted by

6o'2 APPENDICE.

Avec les mêmes notations qu'au n"" 40, nous avons ainsi cette forme générale

¥,{u)^^G-^D^(uP',^),

où les exposants, pour chaque terme, sont déterminés par deux d'entre eux, suivant les conditions qu'impose la constance de co et o)^ à tous les termes

— 4 Y — 3 £ H- /) rzz oj' .

A ces nombres il sera plus commode d'en substituer d'autres pour mettre en évidence la dualité. Soient

c = max. de (s + 3^),

a = co — le, a^=zco'H-|c;

l) m max. de y.

Les nombres a^ a\ h et les couples 5, ^ dont chacun définit un terme de Ff(w) sont ceux que nous conserverons explicitement. Nous allons d'abord examiner comment ils se transforment par la dualité.

Nous l'avons déjà observé, le changement des coordonnées ponctuelles en tangentielles se fait par le changement de D en D^, de i^ en ^ et de ^ en D m. En conséquence, l'expres-

s Ion P ou — ~ se chans^e en -, — ^? si l'on échano^e en même

temps le point a et la droite a. Par conséquent, l'expression

1 i- 1 11 • ^''(^a d f CCW . ,j .

de G se chane^e en celle-ci — r-^ -r i~:T y ce qui se réduit

^ aé dt \Daf,7 ^

Si l'on fait ces changements dans F, on obtient pour le terme général transformé une expression de cette forme

Hosted by

ÉTUDE SLR LES POINTS SINGULIERS. 6c 3

L'exposant de D peut s'éci^ire 2.^-^-28 -\- q = oj— (s-f-Sy). li a pour minimum (co — c). 11 y a donc lieu de supprimer le facteur D"^"^" à tous les termes. Après cette suppression, nous avons, pour le lerme envisagé dans F, un terme correspondant du covariant corrélatif, et les exposants correspour dants sont les suivants *.

Ti = ïj £1 — 2Y-H2£-H^ — wH-c, Pi-=-q, cji—P'

Calculons, par leur moyen, les nombres s^j s\^ d^^ a\, et tout d'abord C| :

£i-l-3Yi = 5Y-f-2£-i-^ — ■ (^ -\- c^=. c — £.

Comme F ne contient pas le facteur D, il y a au moins un terme où £ est nul. Par conséquent, s, -[- 3^1 a pour maximuih c; c'est-à-dire c^ = c. On a ensuite

. 5i== Yi-4- £i — iCi ==37-1- 2S-1--67-- w +-— -— 2 Y -— £ + -==--«^' j

y j =z 2 Yi -i- £1 — |Ci ==: 4 Y + 2 £ -h ^ — W -f- - — — Y — £ -i- - =: 5,

a^ =031 — f ^i = ^Ti + 3£ -{- cji — I (?!==: a',

En résumé, pour le covariant corrélatif de F, les nombres a et a' sont échangés, le nombre b se conserve; et pour chaque terme les nombres s, s' sont échangés.

46. Soit à chercher Tordre du covariant F relativement à un cycle

bi — diilere de 1 unité, on trouve immédiatement pour

le degré de la partie principale de G. D'ailleurs la partie principale de D est du degré '■' Donc un terme quelconque

Hosted by

6o4 APPENDICE.

de r a sa partie principale du degré -— —

, . c (v — n) sv -\- s' n. -f ce que nous pouvons écrire -^- La partie

principale de F est donc fournie par celui de tous les termes où sy -]- s^ n est le plus grand possible. Donc l'ordre de F relativement au cycle est |c(v — n) — max. de (^v + s' n). Nous avons dit qu'on trouve immédiatement la partie principale de G. Effectivement, supposant le point a sur la droite a, nous avons vu qu'un choix convenable des coordon-

nées donne à G la forme -r^- Mais^ en laissant a et a quelconques, le calcul n'est pas moins facile. Prenons, en effet, la quantité P en y choisissant ^ pour la variable indépendante. Pour un cycle v^/i, le premier terme de son développernent

est du degré ; le premier terme de sa dérivée est du

degré Il en est de même pour G, qui s'obtient en

multipliant cette dérivée par une quantité dont le premier terme est une constante.

Prenons maintenant un cycle d'ordre n égal à sa classe, représentée par

On a, pour P, le développement

P,. .= A/ + (^ - ^o)''[(^ - ^oT]

SI - <" I . Mais, s: — ^ i, on a

i\ r= A^ + (^ -- .To) [(^ - ^or];

car le facteur

— — r-, introduit un terme du premier de oré, qui ne peut disparaître tant que a, [3, y restent indéterminés.

ÉTUDE SUR LES POINTS SINGULIERS. 6o5

11 en résulte que, pour le cycle envisagé, Tordre de G est — {n — A") si A" <^ /2 ; ou zéro si k ^ n.

Nous désignerons par H la somme positive S (/i — k) pour tous les pareils cycles. Le degré du covariant, relativement à G, étant b, l'ordre total de F, pour ces cycles, est — ^H.

Quant aux cycles v^^, chacun d'eux apporte àO l'élément calculé précédemment. Le nombre des éléments de i), qui se rapportent à des points variables, est donc

N = wjx 4- w^m + ^H 4-- ^ (/i — v) +7, max. de (^v -{- s' n).

Combinant cette formule avec (22) et introduisant a et d au lieu de o) et co^, nous aurons

(26) N = a\x -\-a' m -h^H + N max. de (5v -h s' n).

Telle est la formule définitive qui donne le nombre des points, sur une courbe, où s'évanouit un covariant différentiel du troisième ordre. Elle est sous forme dualis tique : le aombre H se conserve pour les transformations corrélatives ; |JL et m s'échangent, ainsi que a et a^ ; v et n s'échangent, ains« que s et 5^

47. Il convient de nous arrêter quelques instants sur la formule (26). On peut se donner à volonté un ensemble quelconque de couples 5,5^ : il y répond toujours des covariants F, sauf quelques restrictions que voici : i^ les nombres 25, ^s' sont tous entiers et d'une même parité; i"^ s -{- s' esV toujours positif, et l'une de ses valeurs est zéro ; 3^ les maxima de s -\- qls' el àe s' -\- 'is sont égaux.

Quand ces conditions sont remplies, on peut prendre

\c^=i max. de {s -h 25') =1 max. de {s' -h 25), puis a el a' k volonté, de telle sorte toutefois que 2a et 2a^

êù6 APPENDICE.

soient entiers et de la même parité que 25 et 25', et en respectant aussi les inégalités

a = max. de {2s' — s), a'^max. de (25 — s').

Au moyen de ces nombres on peut, pour chaque co,np]:e 5,5', déterminer /?,^, y, £ d'après les égalités ci-dessus. Ces quatre nombres seront, comme on le voit aisément, entiers et positifs; en outre, e + Sy aura le maximum c; le terme correspondant proviendra du couple s,s^^ où 25^ -f- 5 est maximum; £ aura le minimum zéro, correspondant au maximum de 25 + 5'; enfin y aura le minimum zéro, correspondant à s -\- s' = o,

La deuxième et la troisième condition imposée aux couples 5,5' sont facilement satisfaites ainsi : prenons à volonté des couples S, S', les nombres 2 S, 2S' étant entiers et d'une même parité. Nous en pouvons déduire des couples s^s^ en posant

et déterminant \ et )/ par les deux équations