COORDONNÉES DE DROITE

17. Les coordonnées considérées ci-dessus sont des coordonnées destinées à déterminer la position d'un point; on dit que ce sont des coordonnées de point. Nous avons aussi des coordonnées de droite (coordonnées tangentielles, voir Sections coniques, n^ 70) pour déterminer la position d'une droite; si, par exemple, dans un système quelconque de coordonnées trilinéaires (^, JK> «)> l'équation d'une droite est Çx 4-71^ -1-1^2 = 0, nous avons alors un système corres-

l4 CHAPITRB I.

pondant de coordonnées de droite, dans lequel on dit que (Ç, TTj, ^)sont les coordonnées (coordonnées tangentielles) de la droite en question. Observons que, d'après cette définition, (Ç, 7|, !î) sont données seulement en ce qui regarde leurs rapports et que leurs grandeurs absolues sont indéterminées ; elles ressemblent par là aux coordonnées ponctuelles prises dans leur sens le plus général.

18. Les coordonnées (Ç, tj, Ç) se rapportent à une droite; une équation linéaire aÇ-h67i-f-cÇ = o entre ces coordonnées s'applique à toute une série de droites telles que les coordonnées de l'une quelconque d'entre elles vérifient cette équation ; mais toutes ces droites passent par un même point ; c'est le point dont les coordonnées dans le système correspondant de coordonnées ponctuelles (x, y^ z) sont (a, 6, c); en eff'et, l'équation linéaire aÇ-h67|-|-cÇ = o exprime que l'équation en coordonnées ponctuelles \x -h 7|jk H- Ç^ = o est satisfaite quand on y remplace (a?, j', z) par (a, fe, c). On en conclut que l'équation a Ç -\- br\-\- cX^^^ oen coordonnées de droite (Ç, r^, Ç) représente un point; c'est celui dont les coordonnées trilinéaires dans le système correspondant sont (a, 6, c). Et, en général, toute équation homogène en coordonnées de droite (Ç, 7|, Ç) représente la courbe qui est l'enveloppe de toutes les droites Ça: + t;^ -i- Çs = o dont les coefficients (Ç, 7|, "Ç) vérifient la relation en question. On dit que cette relation est l'équation tangentielle de cette enveloppe. En d'autres termes, l'équation tangentielle d'une courbe est l'équation entre (Ç, rj, Ç) qui exprime que la droite Çj? H- 7)^ 4- î^^ = o est une tangente à la courbe.

19. Dans ce qui précède, les coordonnées de droite {\} ^7 2^) sont définies au moyen d'un système correspondant de coordonnées trilinéaires {x^ y^ 5), et la signification des rapports $ : tj : Ç se trouve par là même complètement déter-

COORDONNÉES. l5

minée; c^est la marche ia plus commode à suivre. Cependanl il convient de donner du système de coordonnées de droite une définition quantitative indépendante, moins pour les applications dont elle est susceptible que pour établir d'une manière plus complète Tanalogie qui existe entre les deux genres de coordonnées. Nous pouvons dire que les coordonnées trilinéaires (^, tj, Ç) d'une droite sont proportionnelles à des multiples donnés des distances, mesurées suivant des directions données, de la droite à trois points donnés. Supposons, pour fixer les idées, que nous prenions ces coordonnées proportionnelles aux distances perpendiculaires de la droite aux trois points donnés. Si nous rapportons la figure à des coordonnées cartésiennes, les coordonnées des points sont (a, P), (a', P'),(a", P") et l'équation de la droite est

AX -+- BY -+- G = o.

Nous avons alors les relations

Ç: 7i : c=iA«-+-Bp4^G : Aa'-hBp'4-C : ka^-hh^'^c,

ou, ce qui revient au même, l'équation de la droite est

«api '

Les coefïicients de $, tj, Ç sont ici des fonctions linéaires données de (x^ y^ i); si nous désignons ces coefïicients par {x,y, z)y nous aurons {x, y^ z) comme système de coordonnées trilinéaires, et l'équation sera Ça? -f- r\y + Çz = o ; cette définition concorde donc avec celle qu'on a donnée plus haut. Nous pouvons, exactement comme au n° 7, déterminer les coordonnées de droite (Ç, tj, Ç) de manière que la droite (i : 1 : i) soit une droite donnée, ou que le point Ç + ttj -|- J^ = o soit un point donné de la figure.

l6 CHAPITRE I.

âO. Il peut être bon d'indiquer ici quelques systèmes particuliers. Si a, p, Y représentent respectivement les distances, comptées suivant une direction donnée, de la droite variable aux points A, B, G (Jig> a), par exemple

(atrzAa, p=r:B6, Y = Cc),

les coordonnées Ç, tj, Ç peuvent être prises proportionnelles à

Fig. a.

ces distances, i : r, : l^ = a : p : y. Imaginons que le point G s'éloigne à l'infini suivant la direction donnée ; y a une valeur infinie qui doit être regardée comme une constante; et,

r si nous posons Ç:*îri:-=a:p:i, nous pouvons, au lieu des

coordonnnées primitives £,>1, Ç, prendre comme coordonnées

Ç 7i, -> c'est-à-dire a, p, i. Nous avons ainsi un système de

deux coordonnées a, p qui sont respectivement égales aux distances, comptées suivant une direction donnée, de la droite aux deux points fixes.

21. De même, dansla^^. 3, nous avons ou bien, ce qui est la même chose,

* -L — JL --L •

COOIDONNÉBS. I7

Imaginons que A, B s'éloignent à Tinfini en suivant respeclivement les directions /^C et ^C; A/?, B^ ont des valeurs in- Gnies qui doivent être regardées comme des constantes ; et, au lieu de coordonnées proportionnelles à a, ^, y, nous pou*

S vons prendre des coordonnées proportionnelles ^ x"' rr-' Y»

Fig. 3.

c'esl-à-dire que nous pouvons choisir comme coordonnées j^-> TT-i I. Nous avons ainsi un syslème de deux coordonnées qui sont respectivement les inverses des distances, comptées suivant deux directions données, de la droite à un |)oinl fixe.

22. On a peu d^occasions de faire un usage explicite des coordonnées de droite ; mais la théorie en est très importante; elle sert en effet à prouver que, en démontrant en coordonnées ponctuelles un théorème quelconque de nature descriptive, nous établissons en même temps le théorème corrélatif qu^on peut en déduire par la théorie des polaires réciproques (ou celle de la dualité géométrique). Par le fait, nous ne prouvons pas Tun des théorèmes, pour en déduire ensuite Tautre, mais nous les démontrons tous les deux en même temps. Nos (^,J , z), au lieu d'être des coordonnées ponctuelles, représentent des coordonnées de droite, et la démonstration se trouve être, dans chacune de ses parties, ttue démonstration du théorème corrélatif.

S. — Courbes pfa/ies, a

l8 CHAPITRE I.

23. De la même manière, si un théorème est établi en coordonnées de droite, on possède par là même la démonstration de son corrélatif; la seule différence qui existe ici consiste en ce que nous passons de la théorie des coordonnées de droite, qui nous est un peu moins familière, à celle plus usitée des coordonnées de point. La transition se trouve rendue plus claire si nous considérons les coordonnées primitives de droite (5, "yj, Ç) comme les coordonnées ponctuelles du point qui est le pôle de la droite par rapport à la conique x^ 4-j'^ 4- ^- = o.

PIOPBIÉTÉS GÊNftBALBS DES COURBES. I9

Section I. — Ihi nombre des termes dans l'équation générale.

24. Le premier pas à faire pour connaître les propriétés générales des courbes du /i**"* degré consiste à déterminer le nombre des termes contenus dans Tëquation générale. Étant donnée une équation quelconque du n'^*"* degré, nous pourrons ainsi, en comptant simplement le nombre des constantes indépendantes que renferme cette équation, savoir si la forme donnée est ou n'est pas Tune de celles auxquelles on peut ramener toutes les équations du n**°* degré. Par exemple, i équation générale du second degré contient cinq constantes indépendantes. Si donc on nous donne une autre équation quelconque du second degré contenant cinq constantes, par exemple

( X — a )« -h (7 — p )« = ( a a: 4- ^/ 4- c )« oa

nous pouvons la développer; et, en comparant cette équation (voir Sections coniques, n® 77) à Péquation générale du second degré, nous obtiendrons un nombre d'équations suffisant pour déterminer a, ^, . . • , en fonction des coefficients de Téquation générale. Nous voyons alors qu'une équation quelconque du second degré peut, en général, être réduite à l'une des formes ci-dessus, et nous pourrions établir ainsi les

àO CHAPITRE If.

propriétés des foyers et de la directrice. Uéquation

(ax-h by -h cy =:^ (a'x -^ by -h c')(a''x -h by-hc^)

contient sept constantes indépendantes. Par suite, le problème qui consiste à les exprimer en fonction des coeflicienls de l'équation générale esl indéterminé; ce résultat est évident géométriquement, puisque Ton peut mettre l'équation sous cette forme en prenant

a'x-h by -hc' =:0j a^jc -\- by -\- c' = Of

pour représenter deux tangentes quelconques et

ax -^ bf -h c=zo

pour leur corde de contact. Les équations

(aur -h by)* = c j: -h cl y -h e, (ajc-^by-^ i){a'x -^ by -^ i) — o

ne contiennent chacune que quatre constantes indépendantes et doivent, par conséquent, renfermer implicitement une autre condition; ou bien, en d'autres termes, Téquation générale ne peut être mise sous l'une de ces formes, sans qu'une autre condition ne soit vérifiée. Ceci est géométriquement évident, puisque la première équation représente une parabole et la seconde deux lignes droites. L'équation générale du rercle

ne contenant que trois constantes explicites, doit renfermer implicitement deux autres conditions; c'est-à-dire que l'équation générale ne peut être mise sous cette forme à moins que deux autres conditions ne soient remplies. De même, Téqualion

S-AS'=:o

(où S et S' sont des fonctions quadratiques données des

PROPRlfiTÉS GÉNÉRALES DBS COURBÉS. 31

coordonnées) ne contient qu'une constante explicite; elle doit donc entraîner quatre conditions implicites; c'est du reste ce qui a lieu, comme on le sait, puisque la conique représentée par cette équation passe par quatre points fixes.

2d. Il faut agir avec quelque circonspection quand on applique ces principes. Par exemple, Féquation

paraît contenir cinq constantes et, par conséquent, être une forme à laquelle on peut ramener une équation quelconque (lu second degré. Cependant, en effectuant les développements, nous verrons que les constantes ne figurent pas dans les termes du degré le plus élevé dans Téquation et que nous n'avons réellement par le fait que trois équations pour déterminer a, ^, • . . . L'équation ne peut donc être mise sous cette forme, à moins que deux autres conditions ne soient satisfaites. De la même manière, l'équation

aS|-f- ^S, H-cSa-f-r/S^H- eS,-+/Ss — o,

où S|, ... sont six coniques, est une forme à laquelle on peut ramener l'équation d'une conique quelconque. Supposons néanmoins que trois des équations de ces coniques soient liées entre elles par la relation

S,= ASi-f-/St;

eo remplaçant S3 par cette valeur dans l'équation précédente, on trouverait que cette équation ne renferme plus que quatre constantes indépendantes, et l'équation générale ne pourrait être réduite à cette forme à moins de satisfaire à une autre condition.

26. Après avoir ainsi cherché à donner au lecteur une idée de la nature des avantages qu'on peut retirer de la con-

la CHAPITHB II.

naissance du nombre de termes de l'équation générale du

^ièœe degré, nous allons nous livrer à l'étude de ce problème.

L'équation générale du «**"• degré entre deux variables peut

s'écrire

-f-Bj7-hCr

1*^« -h Qo-"-'/ -h ... 4- R.!-/'*-* H- S j» = o,

et le nombre des termes de cette équation est évidemment la somme de la suite i -|- a -|- 3 -|- . . . -f-(n -f- 1); il est par conséquent égal à ^(/i -H i) (/t -i- 2), comme on Ta déjà prouvé (Sections coniques, n® 78).

Nous écrirons quelquefois l'équation générale sous la forme abrégée

ifo H- /'i -h //j -+- . . . -f- M« ~ o;

iio représentera le terme absolu et i/|, ;/2) • • •, Un les termes du premier, du second, . • . , du /i**"' degré en x eiy.

Quelquefois aussi nous nous servirons de l'équation en coordonnées trilinéaires, qui ne diffère de celle qu'on vient d'écrire que par l'introduction d'une troisième variable s, destinée à rendre l'équation homogène; par exemple,

Le nombre des termes est évidemment le même que dans le cas précédent (Sections coniques, n^ 289).

27. Le nombre de conditions nécessaires pour déterminer une courbe du /i'*°* degré est d'une unité moindre que le nombre des termes de l'équation générale; il est donc égal à ^ n(/i -h 3). En effet, l'équation représente la même courbe, si on la multiplie ou si on la divise par une constante; nous pouvons donc diviser tous les termes par A, et la courbe

PIOPBIÉTÉS GÉNftBALBS DES C0UBBB8. 23

sera définie d'une manière complète, si nous pouvons déler-

B C miner les ^n{n -f- 3) quanlités j > -r-y • • • •

Ainsi, une courbe du /i'*°* degré est en général délermince quand on donne -3/1(^ + 3) de ses points; en eflfet, en substituant dans Téquation générale les coordonnées de chacun des points par lesquels passe la courbe, nous obtenons une relation linéaire entre les coefficients. Nous aurons donc ^ n(n H- 3) équations du premier degré pour déterminer un nombre égal d'inconnues ; ce problème n'admet en général qu'une seule solution. Nous voyons ainsi qu'on peut décrire une courbe du troisième degré, quand on connaît neuf de ses points, une courbe du quatrième degré quand on en a quatorze points, et qu'en général par ^ n(/i -|- 3) points on peut décrire une courbe du degré n et une seule,

28. Quand nous disons que ^ n(/i -f- 3) points déterminent une courbe du n'*"* degré, nous n'entendons pas affirmer qu'ils déterminent une courbe propre de ce degré. Tout ce que nous avons démontré, c'est qu'il existe une équation du /i**"' degré vérifiée par les coordonnées des points donnés ; mais celte équation peut être le produit de deux ou plusieurs autres expressions de degré moindre. Par exemple, cinq points déterminent en général une conique; mais, si trois d'entre eux sont situés sur une ligne droite, la conique dégénère en la courbe du second degré formée par cette droite et par la droite qui joint les deux autres points. Et, d'une manière générale, il est évident que si , parmi les ^ n (n + 3) points, il y en a plus de np sur une courbe de degré/? (/> étant moindre que n), on ne peut, par ces points, faire passer une courbe propre du n'*"' degré; car nous serions alors conduits à cette absurdité que deux courbes de degré /i et/> se coupent en plus de np points (Sections coniques, n® 238). Le système de degré n mené par un pareil système de points se compose

24 CHAPITRE If.

d'une courbe du /?**"• degré et d'une courbe du (n — />)**■• degré passant par les points restants.

Nous pouvons même fixer une limite inférieure du nombre de points, déterminant une courbe propre du /i'*°' degré, qui peuvent se trouver sur une courbe de degré/?, et nous pouvons fairvî voir que ce nombre ne peut être plus grand que np — ^{p — i)(/> — 2). En effet, si nous supposons qu'un point de plus [c'est-à-dire np — ^(p — i)(/7 — 2)-i-i] est situé sur une courbe du /?**"• degré, en retranchant ce nombre de ^/i(/i-i-3), nous trouverions que le nombre de points qui restent est ^(n — p){^ — /^ + 3)î ®^ conséquence, on peut, par ces points, faire passer une courbe du(n — /?)""• degré. Cette courbe, jointe à celle du degré /?, constitue un système du degré n qui passe par les points donnés; et ce que nous avons dit dans le numéro précédent fait voir qu'il est généralement impossible d'en faire passer un autre par ces mêmes points.

29. Il y a cependant des cas où la solution du n^ 27 est en défaut; un exemple bien simple suffit pour le montrer. Il faut neuf points pour déterminer une cubique (*); mais neuf points ne déterminent pas dans tous les cas une cubique unique. En effet, deux cubiques se coupent en neuf points et par conséquent il passe deux cubiques par ces neuf points; nous allons faire voir que par ces points il passe par le fait une infinité de cubiques. L'explication de ce fait est la suivante : bien que m équations linéaires suffisent en général pour déterminer m inconnues, ces équations peuvent n'être pas toutes indépendantes ; dans ce dernier cas, elles seront insuffisantes pour permettre de trouver les inconnues. Les

(*) Pour abréger le langage, dous désignons ici, et dans la suite de cet Ouvrage, par cubiques^ biguadratigues ou quartiques ... les courbes du quatrième degré.

PROPRIÉTÉS GÉNÉRALIS DBS COURBES. 25

points donnés sont alors insuffisants pour déterminer la coarbe, et Ton peut faire passer par ces points une infinité de courbes du degré n. II est nécessaire d^expliquer géoméiriquement comment de pareils cas peuvent se présenter.

Pour plus de simplicité, prenons d'abord pour exemple des courbes du troisième degré. Soient U = o, V = o les équations de deux de ces courbes, qui passent toutes les deux par huit points donnés; Téquation d'une courbe quelconque du troisième degré passant par ces mêmes points doit être de la forme U — A:V = o. En effet, d'après sa forme même, cette équation représente une cubique passant par les huit points donnés, et elle renferme une constante arbitraire k que Ton peut déterminer de telle manière que la courbe passe par un neuvième point quelconque. Par le fait,

U' nous aurons dans ce cas A: = -rj^, U' et V étant les résultats

que Ton obtient en substituant les coordonnées du neuvième point dans U et V. Cette relation fournit pour k une valeur bien déterminée dans tous les cas sauf un , celui où le neuvième point est à la fois situé sur U et V. En effet, comme deux courbes de degré m et /i se coupent en mn points, U et V se rencontrent non seulement suivant les huit points donnés, mais encore suivant un autre point. Pour les coordonnées de

ce point, k prend la valeur -; et en effet la forme de l'équation montre suffisamment que toute courbe représentée par Téquation U — A: V = o passe par toutes les intersections de U et V. Nous déduisons de là ce théorème important : Toutes tes courbes du troisième degré qui passent par huit points fixes passent aussi par un neuvième point. Et nous voyons que neuf points ne sont pas toujours suffisants pour déterminer complètement une courbe du troisième degré; car BOUS pouvons faire passer une courbe du troisième degré par les intersections de deux courbes de ce même degré et par un dixième point.

30. Le même raisonnement s'applique aux courbes de degré quelconque. Étant donné un nombre de points inférieur d'une unité à celui qui détermine la courbe [î«(/t4-3) — i], Téquation U — kY = o (U et V désignant deux courbes particulières du système) est Téquation la plus générale d'une courbe du /i**°* degré passant par ces points. En effet, elle renferme une constante arbitraire à laquelle nous pouvons assigner une valeur telle que la courbe passe par un autre point quelconque et par suite soit complètement déterminée. Mais la forme de Féquation montre que la courbe doit passer par tous les n^ points communs à U et V, et par conséquent non seulement parles |/i(/i-f-3) — i points donnés, mais encore par un nombre d'autres points tel qu'on en ait n* en tout. Donc, toutes les courbes du n'^"** degré qui passent par j /i(n H- 3 ) — i points fixes passent aussi par ^{n — i) {n — a) autres points fixes,

31. L'énoncé suivant est une conséquence utile du théorème qui précède : *Si, parmi les n^ points d'intersection de deux courbes du n'^'"* degré^ np se trouvent sur une courbe de degré p {p étant moindre que /i), les n (n — p) points restants seront situés sur une courbe de degré (n — p). En effet, décrivons une courbe du [n — p)'*"» degré qui passe par *^[n — p) [^ — />-|-3) de ces points restants; cette courbe, jointe à celle de degré p^ forme une courbe du n'*"* degré passant par ç(/i — p) (n — p-^ 3) -f- np points; et, comme ce nombre [égal à — j/i(/i -h 3) — i -^-jip — 0(/^ "~ ^)] ne peut être moindre que \n(n -{-i) — i, cette courbe passera par tous les autres points restants; or il est évident qu'aucun de ceux-ci ne se trouve sur la courbe du ^lème (Jegré j par conséquent ils sont tous sur la courbe de degré (/i — p).

Dans ces théorèmes relatifs aux intersections de courbes du n'*"* degré, il est bien entendu que rien n'exige que les

PBOPRIfiTftS GÉIIÉRALES DBS COURBES. 2y

courbes en queslion soient des courbes propres de ce degré ; en eflel, la démonstration du n^ 30 subsiste également, même quand U et V peuvent se décomposer en facteurs. Comme application du théorème de ce numéro, nous ajoutons la proposition suivante : Si un polygone de ^n côtés est inscrit dans une conique, les n(n — 2) points où chaque côté impair coupe les côtés pairs non adjacents seront situés sur une courbe du (n — 2)''^"*^ degré. En effet, le produit de tous les côtés impairs forme un système du n'*"* degré, et le produit de tous les côtés pairs en constitue un autre; les deux systèmes se coupent en n^ points (puisque chaque côté impair a deux côtés pairs adjacents et /i — a autres côtés pairs non adjacents), qui sont les an sommets du polygone et les /i (/i — a) points qui sont l'objet du présent ihéorème. Mais cojnme, par hypothèse, les an sommets sont sur une conique, les n [n — a) points qui restent sont, d'après ce numéro, sur une courbe du (n — ay*«»« degré.

32. Le théorème de Pascal est un cas particulier de celui que nous venons d'établir; mais, comme il importe que le lecteur comprenne bien clairement le principe des démonstrations qui précèdent, nous croyons utile de répéter en d'autres termes la démonstration que nous avons déjà donnée.

Représentons les côtés de l'hexagone par les six premières lettres de l'alphabet, A = o, . . . ; l'expression ACE — ^BDF =: o esl alors l'équation d'un système de courbes du troisième degré qui passent par AB,BC, CD, DE,EF, FA et aussi par AD, BE, CF. Si les six premiers points sont sur une conique S, la courbe du système, déterminée par la condition qu'elle passera aussi par un septième point de la conique S, doit nous donner ACE — A^BDF = SL, car cette courbe ne peut être une courbe propre du troisième degré, puisque aucune courbe de cette espèce ne peut avoir plus de six points communs

a8 CHAPITRE II.

avec S. La ligne droite L contiendra donc les trois points