Gi .73 — or>.25. i4=: S (M — L
c'est-à-dire que la droite de Pascal fournie par la dernière équation passe par l'intersection des deux autres.
On peut cependant remarquer que le théorème du n^ 31 dans le cas en question (n = 3), est un cas particulier du théorème du n^ 30. En effet, le système des trois côtés impairs est l'une des cubiques U = o, V = o du n** 30, et le système des côtés pairs est l'autre cubique. Nous pouvons déduire directement le théorème de Pascal de cette proposition ; en effet, si nous considérons la conique qui passe par les six points sommets et la droite qui joint deux des trois autres points d'intersection, cette conique et cette droite constituent une cubique qui passe par huit de ces neuf points, et conséquemment par le neuvième. C'est-à-dire que la droite passe par le troisième des points d'intersection des côtés opposés; autrement dit, ces trois points sont en ligne droite.
PBOPRIÉTÉS GtNÉRALBS DBS COUBBBS. 39
33. Bien que deux courbes du n^^''^ degré se coupent en n^ points, on a cependant démontré que n^ points, pris arbitrairement, ne seront pas les intersections de deux de ces courbes; mais que, n^ — j(/i — OC'* — ^) d'entre eux étant donnés, le reste sera déterminé. Il existe un théorème semblable pour les np points d'intersection de deux courbes, l'une du degré /i, Tautre du degré p. Ainsi, bien qu'une courbe du troisième degré coupe une courbe du quairième en douze points, cependant, par douze points pris arbitrairement sur une courbe du troisième degré, il sera, en général, impossible de décrire une courbe propre du quairième degré. En effet, la ligne du quatrième degré qui passe par ces douze points et par deux autres points ne sera, en 1,'énéra], rien autre chose que la courbe du troisième degré et la droite qui joint les deux points. Et généralement, toute courbe du n^^^^ degrés menée par np — ^ {p — i)(/> — a) points situés sur une courbe du degré p {p étant moindre que n)j rencontre cette courbe en^ (p — i)(p — ^) autres l>oints fixes. En effet, dans le n^ 31, nous avons eu occasion de voir que
«/'-Kf'— 0(/>— 2)-h;(/i-/>)(«-P-h3)=z-;/i(/i-h3)— I.
Donc (diaprés le n" 30) tout s^^stème du /i**"' degré mené par les points donnés et par ^(/i — p){f^ — /> 4- 3) autres points passe encore par ^(/i — i)(/t — a) autres points fixes. Or un système du n^^^^ degré pouvant passer par les points est ia courbe donnée du degré /> et u ne autre courbe de degré {n — p) passant par les points additionnels. Les ^(/i — i)(/i — 2) nouveaux points doivent donc se trouver, les uns sur Tune de ces courbes, et les autres sur Tautre. Et il est évident que ces points doivent être distribués entre elles de telle manière que le nombre total des points soit np dans le premier casetn(n — p) dans le second. Ceci démontre l'exactitude du théorème énoncé.
3o CHAPITRE II.
34. M. Cayley a donné à ce théorème une extension plus grande. Toute courbe du degré r (r étant plus grand que m y ou /i, mais pas plus grand que m-^- n — i) qui passe par tous les mn points dUntersection de deux courbes des degrés m et n, sauf ^ {m-^ n — r — i) (m-f-zi — /' — a), passera aussi par tous les autres points»
Le lecteur comprendra mieux Tesprit de la démontsration générale que nous allons donner, si nous faisons d'abord une application de ce théorème à un cas particulier : « Toute courbe du cinquième degré qui passe par quinze des points d'intersection de deux courbes du quatrième degré passera aussi par le seizième. » En effet, prenons arbitrairement deux points sur chacune des courbes du quatrième degré. Ces quatre points, joints aux quinze points donnés, constituent un total de dix-neuf points; si plusieurs courbes du cinquième degré passent par ces points, elles passeront aussi (n° 30) par six autres points fixes. Mais chaque courbe du quatrième degré et la droite qui joint les deux points arbitraires pris sur Fautre courbe forment un système du cinquième degré passant par les dix-neuf points. Donc toutes les intersections des courbes données du quatrième degré sont sur une courbe du cinquième degré passant par ces points; ce qu'il fallait démontrer.
De même, en général, prenons ^(r — m) (r — m-f-3) points arbitraires sur une courbe du /i**"* degré, et par ces points faisons passer une courbe du degré [r — m)\ prenons aussi ^(r — w) (r — w-h3) points sur la courbe de degré m et, par ces points, faisons passer une courbe du degré (r — n) ; prenons enfin parmi les mn intersections autant de points qu'il en faut pour arriver au nombre deir(r — 3) — i avec les points arbitraires : comme les courbes du degré (r — m) et m constituent alors un système du degré r passant par les points, et que les courbes du degré (r — n) et n en forment un autre, les points d'inter-
PHOPHitTÉS GÉNtHALBS DBS COURBES. 3l
section de ces deux sjslèmes seront communs à toute courbe du degré r qui passera par ces points. Mais
ir(r4-3) — I — ;(r — m)(r — /72-*-3)— -;(/• — /i)(r — /i-+-3) = mn — \{m-\-n — r — i)(/n-hn — r — 2),
comme le lecteur peut le vérifier sans difficulté. L'exactitude du théorème se trouve ainsi démontrée. Pour que notre raisonnement soit applicable, il faut que r soit au moins égal au plus grand des deux nombres m et /i; il faut aussi que (r — m) soit moindre que n\ car, s'il en était autrement, il ne serait pas possible de faire passer, par les points pris sur la courbe du /i'*"* degré, une courbe de degré (r — m) distincte de la courbe de degré /i, ou qui ne la contînt pas comme partie intégrante; et comme le théorème est illusoire pour r = m + /i — i oum + Ai — 2, la condition à remplir consiste en ce que r ne doit pas être . plus grand que w4-;i — 3(*).
(*) Euler parait avoir remarqué le premier ce paradoxe qae deux courbes du n'*"* degré peuvent se couper en un nombre de points plus considérable que celui qui suffit pour déterminer une pareille courbe (voir un Mémoire dans les TranwLCtion» de Berlin pour 1768 : Sur une contradiction apparente de la théorie des courbes), La même difficulté est indiquée par Cramer dans son Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques, publiée en 1750. Cependant c'est à une date relativement toute récente qu*0Q a remarqué les importants théorèmes de Géométrie qui dérivent de ce principe. En 1827, Gergonne a donné le théorème du n« 31 {Annales, vol. XVII, p. aao). Le théorème général du n* 30 a été trouvé à peu près à la même époque par PlQcker {Entwickelungen, t. I, p. aaS; tiAnneUesde Gergonne^ Tome XIX, p. 97 et 129). C'est quelques années après qu*on a é udié la relation qui existe entre les points d'intersection de courbes et de surfaces de degrés différents (comme dans le n« 33). Ces cas ont été discutés dans deux Mémoires envoyés en même temps pour être publiés dans le Journal de Crelle, l'un par Jacobi {t. XV, p. 385) fantre par Pliicker (t. XVI, p. 47)- ISn outre des articles qu'on vient de mentionner, le lecteur peut aussi consulter un Mémoire de M. Caytey. {Journal mat/iématigue de Cambridge, t. lïl, p. an). La notice liis-
3a COAPITRB II.
Section II. — De la nature des points et tangentes multiples des courbes.
3o. La manière la plus simple de présenter au lecteur la théorie des points singuliers et des droites singulières des courbes paraît être la suivante : faire comprendre d^abord par des exemples particuliers la nature de ces points et de ces droites; poser ensuite des règles qui permettent d'en découvrir l'existence en général.
Nous emploierons l'équation en coordonnées cartésiennes donnée dans le n^ 26. Si nous rapportons cette équation à des coordonnées polaires en remplaçant x eiy par p cos 0 et p sinO (ou par mp et np, si les axes ne sont pas rectangulaires; voir Sections coniques, n® 136), nous obtenons une équation du n^^^^ degré en p, dont les racines sont les distances de l'origine aux n points où la courbe est rencontrée par une droite issue de Torigine et faisant un angle 0 avec l'axe des x.
36. Si dans l'équation générale le terme absolu A est égal à zéro, l'origine est un point de la courbe; en effet, l'équation est évidemment satisfaite par les valeurs x = Oy y =o^ c'est-à-dire par les coordonnées de l'origine. On déduit le même résultat de l'équation exprimée en coordonnées polaires
(Bcosô -hCsinÔ) p
-+- (Deos* 6 4- Ecosô sinÔ-h Fsiii'ô) p»-f-...i= o.
En effet, cette équation étant divisible par p, une de ses
torique donnée dans la présente note est empruntée à PKkckcr^ Théorie des courbes algébriques^ p. i3. (Nutk dr l'Aitecr).
On trouvera également une discussion complète de ces théorèmes dans l'Ouvrage de M. Cremona {Introduzione ad una Theoria geometrica délie curve piane).
racines doit être p = o, quelle que soit la valeur de 0, et, dans ce cas, l'un des n points suivant lesquels une droite quelconque menée par Toriginc rencontre la courbe coïncidera avec l'origine elle-même. Les (n — i) autres points seront en général distincts de Torigine ; il existe cependant une valeur (le S pour laquelle un second point coïncidera encore avec Torigine ; ce cas se présentera quand 0 sera tel qu'on ait
Bcose-f-Csinô = o.
L'équation devient alors
(Dcos*6 -+-Ecos0siii6 h- F sin*0) p* 4-...— o ;
elle est divible par p^ et, par conséquent, deux de ses racines ont pour valeur p = o. La droite qui correspond à cette valeur de 0 rencontre donc la courbe en deux points qui coïncident; autrement dit, elle est la tangente à l'origine.
Comme nous n'avons qu'une seule équation pour déterminer lang 8, nous voyons qu'en un point donné d'une courbe on ne peut en général mener qu'une seule tangente. Son équation est évidemment
p (B cos6 -hG sin6)r=o ou ilx-^Cy =: o.
Donc, si P équation (fune courbe est Ui -\- u-i-i-».. = o ( iorigine étant un point de la courbe), V équation de la tangente à V origine est m, = o.
Si B=o, l'axe des x est une tangente; si G = 0, c'est l*axe des r.
37. Supposons maintenant que A, B, G soient tous nuls; le coeflicient de p sera égal à zéro, quelle que soit la valeur de 6. Donc, dans ce cas, toute droite menée par l'origine rencontre la courbe en deux points qui coïncident avec Torigine. On dit alors que l'origine est un point double. S. — Courbes planes. i
34 ' CBAPITEB II.
Nous pouvons encore voir ici, exactement comme dans l* numéro précédent, que dans ce cas l^on peut mener par Torigine des droites qui rencontrent la courbe en trois points coïncidents. En efTet, supposons que 8 soit tel qu^il annule le coefficient de p'^, ou que
Dcos-Ô4- Fsinôcos6-i-Fsin«e =0,
Féquation devient alors divisible par p**, et trois des valeurs de p sont égales à zéro. Comme nous avons une équation du second degré pour déterminer tangO, il s'ensuit que par un point double on peut mener deux lignes droites rencontrant chacune la courbe en trois points qui coïncident. Leur équation est
p'(Dcos«ô-|-EcosesinO-|-Fsiii'0)z=o, ou
Dœ^-hEav -hF V'- o-
Ceci nous montre que, bien que toute droite menée par un point double r.'ncontre la courbe en deux points coincidentSy il y £^ cependant deux de ces droites dont le contact avec la courbe est plus intime que celui des autres droites; on a pour cette raison Thabitudc de dire qu^en un point double d'une courbe on peut mener deux tangentes. Si l'équation de la courbe (l'origine étant un point double) est mise sous la forme u^ -i- W3 H-... = o, u^ = o est alors l'équation du couple de tangentes à l'origine.
38. Il est nécessaire de distinguer trois espèces de poinu doubles, suivant que les droites représentées par l'équation 1/2 == o sont réelles, imaginaires ou coïncidentes.
i^ Dans le premier cas, les tangentes sont toutes deux réelles ; le point double ou nœud est tel que le représente la seconde figure (n® 39). Un simple examen de la courbe montre que le nœud est le point d'intersection de deux, branches dont chacune a sa tangente propre; et Téqualion du
PROPRIÉTÉS GÉIfÉRÀLBS DBS COURBES. 35
second degré qui précède délermine par le iail les directions (le ces deux tangentes; un point de ce genre est nommé un nœud en croix ou point crunodaL
On se trouve en présence d'un exemple simple de points doubles de cette sorte, quand Téquation donnée est le produit de deux équations de degrés moindres, c'est-à-dire quand U = PQ. L'équation U = o représente alors les deux courbes P==oetQ = o. Mais si Ton considère ces deux dernières ( omme constituant ensemble une courbe du /i'*"* degré, on doit dire que cette courbe a pq points doubles (ce sont les points où P coupe Q), et en chacun de ces points il y a évidemment deux tangentes (les tangentes à P et à Q).
2® L'équation 1/2 = 0 peut avoir ses deux racines imaginair/ss. Dans ce cas, il n'y a pas de point réel consécutif à l'origine, qui est alors appelée anpoint conjugué ou acnodaL Ses coordonnées satisfont bien à l'équation de la courbe, mais il ne semble pas être situé sur cette courbe ; et, par le fait, on ne peut seulement faire ressortir géométriquement l'existence de points de cette espèce, qu'en montrant qu'il existe des points tels que toute droite menée par eux ne peut rencontrer la courbe en plus de {n — a) autres points.
3^ L'équation U2 peut être un carré parfait; dans ce cas, les tangentes au point double coïncident et la courbe prend la forme représentée dans la quatrième figure (n* 39). Des points de ce genre sont appelés/>oi/i/5 cuspidaux ou points de rebrousse ment. Ou les appelle aussi quelquefois points stationnaires; en effets si nous imaginons que la courbe soit engendrée par le mouvement d'un point, en tout point cuspidal le mouvement qui s'eiFectue dans un sens déterminé éprouve un arrêt et se change eu un mouvement dans le sens opposé.
Le lecteur pourrait se figurer qu'il est facile de donner des exemples de ces points, comme dans le numéro précédent, en supposant que la courbe U se décompose en deux autres courbes P et Q tangentes entre elles; car tout point de
36 CHAPITBE II.
contact sera un point double où lestangen tes coïncident(yf^. 4) Maïs un pareil point doit être classé parmi les singularités d*un ordre plus élevé que celles que nous considérons maintep. - nant; en effet, la tangente en ce point ren-
>^ . contre la courbe complexe en quatre points
^?^^^^^^ consécutifs, c'est-à-dire en deux points situés sur chacune des courbes simples, tandis qu'aux points cuspidaux que nous considérons nous v^J\^^ Jy avons vu que la tangente rencontre généralement la courbe en trois points consécutifs seulement. Pour que la tangente en un point cuspidal rencontre la courbe en quatre points consécutifs, il est nécessaire que non seulement u^ soit un carré parfait, mais que de plus sa racine carrée figure comme facteur dans i/j ; c'est-à-dire que l'équation doit être de la forme
i^* -4- r, Tj -h 1/4 -h . . . = o.
Des points de ce genre proviennent de la réunion de deux points doubles, comme le lecteur s'en rendra facilement compte, d'après l'exemple que nous avons déjà donné. En effet, lorsque les deux courbes P et Q sont tangentes^ leur point de contact remplace deux points d'intersection.
Il convient de remarquer que le noeud (en croix) et le point conjugué sont des variétés du nœud et que ces variétés ont la même généralité ; la seule différence qui existe entre eux est celle du réel et de l'imaginaire. Dans l'étude que nous venons de faire, le point cuspidal s'est présenté à nous comme un cas particulier du nœud. Cependant, c'est réellement une singularité distincte; cette remarque se justifiem dans ce qui suit.
39. Comme le lecteur éprouvera probablement quelque difficulté à se faire une idée de la relation qui existe entre les points conjugués et la courbe, nous allons élucider ce sujet
PROPBIÉTÉS GÉNÉRALES DBS GOURBIS. Sj
par l'exemple suivant. Prenons la courbe
Dans cette équation, nous supposons que a est plus petit et c plus grand que è. Cette courbe est évidemment symétrique par rapport à Taxe des x^ puisque chaque valeur de x donne des valeurs àey égales et de signe contraire. La courbe coupe l'axe des x aux trois points a:=:a, j? = è, x=:c. Tant que X est moindre que a, y^ est négatif et par suite y est imaginaire, y^ devient positif pour des valeurs de x comprises
Fig. 5.
entre a et é, puis devient de nouveau négatif pour des valeurs de X entre 6 et c; et enfin il est positif pour toutes les valeurs de x plus grandes que c, La courbe ( fig, 5) se compose donc d'un ovale situé entre A et B, et d'une branche qui commence en C et qui s'étend indéfiniment au delà. Supposons maintenant 6 = c; Téquation deviendra
r' = {iv — a){x — A)*,
où 6 est plus grand que a. Le point B se confond maintenant
Fig. 6.
avec le point C; B s'approchant de C, l'ovale et la branche infinie prennent une forme en pointe en marchant l'un vers I autre; et, quand enfin les deux points B et C sont réunis.
Tovale a rejoint la branche infinie et le point B(/7^. 6) est devenu un point double avec des branches qui se coupent sous un certain angle.
Supposons au contraire b = a, I/cquation devient alors
où a est moindre que b. L^ovale se réduit au point A et la courbe a la forme ci-contre (Jig' 7).
Cet exemple montre suffisamment Tanalogîe qui existe
entre les points conjuj^ués et les points doubles pour lesquels les tangentes sont réelles. Si nous supposons a=b ^=^ c, Téquation devient j'^ = {x — «)', le point A {/ig» 8) devient
Fig. 8.
un point cuspidal, comme dans le § 3^du numéro précédent, et la tangente en ce point rencontre la courbe en trois points coïncidents A, B, C.
40. Si, dans l'équation générale, A, B, C, D,E, F étaient tous égaux à zéro, Torigine serait alors un point triple, et toute droite menée par Torigine rencontrerait la courbe en trois points coïncidents. Il est facile de voir, comme précédemment, qu'en un point triple il y a trois tangentes qui sont les droites représentées parTéquation 11^ = o. Nous pouvons aussi, comme ci-dessus, distinguer quatre espèces de points
triples, selon que les trois tangentes sont (/^^- 9) ' (tf) toutes irois réelles, et (1) toutes trois distinctes, (a) deux coïnci-
dentes, (3) toutes trois coïncidentes, ou bien (b) qu'il y en a une réelle et deux imaginaires.
Un point triple peut être considéré comme provenant de ia réunion de trois points doubles : dans les cas (a), ce sont: (1) trois nœuds en croix, (2) deux nœuds en croix et un point cuspidal, (3) un nœud en croix et deux points cuspidaux; c'est ce que montrent les figures ci-contre (/î^. 9), qui représentent les trois points doubles sur le point de se réunir pour former un point triple. Le cas (3) diffère d'une manière à peine visible d'un point ordinaire de la courbe; mais, quand la figure est dessinée avec soin, il y a quelque chose d'un peu anguleux dans la courbe en ce point singulier. Dans le cas (6), il y a de la même manière une branche réelle qui vient passer par un point conjugué; mais, à l'œil, le point singulier ne paraît pas différent d'un autre point quelconque de la courbe.
Nous pouvons, d'une manière analogue, rechercher les conditions pour que l'origine soit un point multiple d'un degré quelconque plus élevé k. Les coefficients de tous les termes de degré inférieur à k s'annuleront et Féq nation sera de la forme
Au point multiple en question on peut mener k tangentes représentées par Téquation a^ = o; et la nature du point multiple variera selon que les racines de cette équation seront
4o CHAPITRE II.
toutes réelles et inégales, ou que deux ou plusieurs d'entre elles seront égaies ou imaginaires.
Un point multiple de l'ordre k peut être considéré comme résultant de la réunion de i k{k — i) points doubles. On peut, comme exemple, considérer le cas de k lignes droites qui doivent être regardées comme formant un système ayant ^k{k — i) points doubles, à savoir les intersections mutuelles de ces droites. Mais, si toutes les droites passent par le même point, ce point devient dans le système un point multiple de Tordre k et prend la place de tous les points doubles. Le principe est le même, que les lignes qui se coupent soient droites ou courbes. Une courbe peut, par le croisement mutuel de k branches, avoir jA: (A: — i) points doubles; mais, si toutes ces branches passent par le même point, ces points doublessont remplacés par un point multiple d'ordre /:.
il. Savoir qu'un point particulier est un point double d'une courbe équivaut à trois conditions.
En effet, si nous prenons ce point pour origine, trois termes de l'équation s'annulent (n** 37), et nous avons à notre disposition trois constantes de moins que dans le cas général. Si, de plus, on nous donne les tangentes au point double, ceci rquivaut à deux conditions de plus; car, maintenant, en outre de A = o, B = o, C = o, nous connaissons aussi les rapports D : E, D : F.
Donner un point triple équivaut à six conditions; car, en le prenant pour origine, les six termes de degré inférieur disparaissent; et de même, en général, donner un point multiple de l'ordre k équivaut à j k{k -h i) conditions.
42. Il existe une limite pour le nombre de points doubles que peut posséder une courbe du n**"' degré, quand elle ne se décompose pas en d'autres courbes de degré moindre.
Par exemple, une courbe du troisième degré ne peut avoir
PROPElÉTfiS GÉlfÉRALBS DBS COURBBS. 4^
deux points doubles ; car si cela était, la droite qui les réunit devrait être considérée comme coupant la courbe en quatre points ; or il ne peut y avoir sur une droite plus de trois points d une courbe du troisième degré, à moins que la courbe ne se compose de cette droite et d'une conique.
De même, une courbe du quatrième degré ne peut avoir quatre points doubles; car, s'il en était ainsi, la conique déterminée par ces quatre points et par un cinquième point de la courbe devrait être considérée comme rencontrant cette courbe en neuf points (*) ; tandis qu'aucune conique, distincte de la courbe, ne peut la rencontrer en plus de a x 4 ûu 8 points. Et, en général, une courbe du /i'*"* degré ne peut avoir plus de J(/i — i)(/i — a) points doubles; car, si elle en avait un de plus, par ces^(n — i)(/i — 2)4-1 points et
(*) Si un point d'intersection de deux courbes est un point double sur l'une d'elles, celte intersection doit être comptée pour deux points, et les courbes ne peuvent plus se couper qu'en n— 2 autres points. Si c'est un point double sur toutes les deux, l'intersection doit compter pour quatre points. Et, en général, si sur l'une des courbes, le point d'intersection est an point multiple de degré Ar, et sur l'autre un point multiple de degré /, l'intersection doit être comptée pour kl points. Ainsi, par exemple, un système de k lignes droites rencontre un système de / lignes droites en kl points; mais si toutes les droites du premier système passent par un point sitoé sur une droite du second, le point évidemment compte pour k intersections et les droites ne se coupent plus qu'en k {l — i) autres points. Et si chacune des droites des deux systèmes passe par le même point, ce point compte pour kl intersections et les droites ne se rencontrent plus nulle part ailleurs.
Si deux courbes sont tangentes en leur point d'intersection, le point de contact comptera aussi pour deux intersections, puisque ces courbes ont en commun deux points qui coTncident. Si le point d'intersection est un point moltiple sur l'une des courbes ou sur toutes deux, et si Tune des tangentes ^u point multiple est commune aux deux courbes, nous devons ajouter une unité au nombre des intersections, auquel équivaut le point multiple, ainsi qo'on l'a montré. En effet, en outre des points qui leur sont communs, comme on l'a démontré, elles ont un point consécutif commun sur une des branches qui passent par le point multiple.
Le lecteur n'aura aucune difficulté à reconnaître l'effet d'une combinaison quelconque de tangentes et de points multiples.
{n — 3) autres de la courbe, nous pourrions décrire une courbe du degré (n — 2) (n**27), qui devrait être considérée comme coupant la courbe donnée en a[^(/i — i)(/i — a)-i-i]-|-/i — 3 ou n{n — 2)+i points; ce qui est impossible, si la courbe donnée est une courbe propre du degré n. Parle fait, la démonstration que nous venons de donner montre seulement que les courbes ne peuvent avoir plus d'un certain nombre de points doubles, mais elle ne prouve pas (ce qui est réellement le cas) qu'elles puissent toujours en avoir autant.
43. Si la courbe a des points multiples dWdre plus élevé, le même critérium s^applique et chaque point multiple d'ordre k doit être compté comme équivalent à ^k{k — i) points doubles. Mais la possibilité de remplace:* un certain nombre de points doubles par un point multiple d'ordre plus élevé est soumise à des restrictions. Ainsi une courbe du cinquième degré peut bien avoir six points doubles, et il est possible de remplacer trois d'entre eux par un point triple; mais, dans ce cas, les trois autres points doubles ne peuvent plus être remplacés par un second point triple, puisque la droite qui les joindrait rencontrerait la courbe en plus de cinq points. D'une manière générale, si une courbe a un point multiple de l'ordre n — 2, elle ne peut avoir d'autre point singulier d'ordre plus élevé qu'un point double et, conformément au critérium, elle ne peut avoir plus de n — 2 de ces derniers.
44. Nous appellerons déficience ou genre d'une courbe le nombre D qui exprime combien elle a de points doubles en moins du nombre maximum qu'elle en peut posséder ; ce nombre joue un rôle important dans la théorie des courbes. Si D = o, c'est-à-dire si une courbe a son nombre majci^ mum de points doubles, les coordonnées d'un point quelconque de la courbe peuvent s'exprimer sous forme da
PROPRIÉTÉS GÉNÉRALB8 DBS GOURBBS. 43
fonctions algébriques rationnelles d^un paramètre va-riable (*). En effet, les ^{n — \){n — a) points doubles et n — 3 autres points pris sur la courbe équivalent ensemble à i(/i -f- i)(/i — a) — 1 points, c'est-à-dire à autant de points moins un qu'il en faut pour déterminer une courbe de degré n—vt\ nous pouvons donc faire passer par ces points un système de courbes de ce degré qui seront comprises dans Téquation U = XV. Si maintenant nous éliminons une des variables entre cette équation et celle de la courbe donnée, nous avons, pour déterminer l'autre coordonnée des point*> d'intersection, une équation du degré n{n — 2) dans laquelle \ entre au /i'*"* degré. Or, dans cette équation, toutes les racines sont connues, excepté une ; car les points d'intersection des courbes se composent des points doubles comptés deux fois, des n — 3 points qu'on a choisis et d'un autre point seulement, puisque
Si donc, par la division, nous enlevons les facteurs connus de l'équation, il ne reste que la seule racine inconnue, déterminée comme fonction algébrique du n**"* degré en x.
Réciproquement, si les coordonnées peuvent être exprimées sous forme de fonctions rationnelles d'un paramètre, la courbe a son nombre maximum de points doubles. Les courbes de cette nature sont appelées courbes unicursales. Si nous connaissons Xy y y z et si ces quantités sont respectivement proportionnelles à aX" 4- . . • , ^^"+ • • • > «"X^-h . . . , Téliniination de \ s'effectue facilement par la méthode dia- Ijtique. Écrivons les trois équations sous la forme
cl multiplions successivement chacune d'elles par X,X* , . . . , A"* * ; (OVoirHuHiTB, Cour$ d'Analyse {p, 344 et SHiv ).
nous aurons ainsi 3/i équations, c'est-à-dire le nombre d'équations exactement suflisant pour éliminer linéairement les quantités 0, 6X, ..,,X, X^,.... L'équation de la courbe se trouve mise alors sous la forme d'un déterminant de l'ordre 3/1, mais dont n lignes seulement renfermeront les variables ; la courbe sera donc du /i**"* ordre et son équation contiendra les coefficients a, 6, ... au degré an. Tout ceci se comprendra mieux si nous indiquons ici le résultat pour le cas où n = a. Nous avons alors les trois équations
e^ = aX*-hcX-i-c, e7=:a'X*-hc'X-+-c', e5=a''X'-h6'X-Hc^
Multiplions chacune d'elles par \ et éliminons ensuite liaéairement les quantités 6, ÔX, X', X^, \ entre les six équations, le résultat se présente sous la forme du déterminant
43. Il résulte du n° 41 que trois points quelconques pris arbitrairement peuvent être des points doubles d'une courbe du quatrième degré; car ces trois points n'équivalent qu'à neuf conditions. Mais les tangentes en ces points doubles ne peuvent pas être prises arbitrairement; car, donner les trois points doubles et ces trois couples de tangentes équivaudrait à quinze conditions, c'est-à-dire à une condition de plus qu'il ne faut pour déterminer la courbe. Il doit donc exister une certaine relation entre ces tangentes, et, en effet, nous démontrerons plus loin que ces six tangentes sont toutes tangentes à une même conique, de sorte que, cinq d'entre elles étant données, la sixième est déterminée.
PROPRIÉTÉS GÉNftRALBS DBS COURBES. 4^
Vingt conditions déterminent une courbe du cinquième degré. Nous pouvons donc prendre arbitrairement siic de ses points doubles ainsi que le couple de tangentes en Fun d^eux; mais la courbe se trouve alors complètement déterminée, et par conséquent il en est de même des couples de tangentes aux cinq autres points doubles.
Vingt-sept conditions déterminent une courbe du sixième degré. Il semblerait donc, à première vue, qu'on pourrait décrire une pareille courbe ayant pour points doubles neuf points pris arbitrairement. Mais il n'en est pas ainsi; car ces neuf points déterminent une cubique U = o et une courbe du sixième ordre ayant les neuf points pour points doubles ety en général, la seule courbe de cette espèce est U- = o, c'est-à-dire la cubique répétée deux fois. Il n'est même pas possible, dans ce cas, de prendre arbitrairement huit des neuf points doubles.
Il en est de même pour les courbes de degrés plus élevés ; quand elles ont leur nombre maximum de points doubles, ou même quelquefois un nombre moindre que le maximum, il doit exister certaines relations qui relient ces points entre eux. Excepté pour le cas de courbes du quatrième degré, nous n'avons pas connaissance qu'on ait fait de tentatives pour donner à ces relations une expression géométrique ; et il doit encore rester à découvrir une classe fort étendue de théorèmes de celle nature.
46. Ce qu'on vient de dire suffît pour permettre au lecteur de se faire une idée de la nature des points multiples des courbes. Nous allons montrer maintenant qu'une courbe peut également avoir des tangentes multiples; ou. en d'autres termes, qu'il peut exister des droites qui soient tangentes à la coarbeen deux ou plusieurs points, ou qui aient avec elle ui. contact du second ordre, ou d'un ordre plus (''levé. Les poinh. qu'on nomme généralement points singuliers des courbes
peuvent se ranger en deux classes : les points multiples et les points de contact de tangentes multiples. Nous avons fait connaître au lecteur les points multiples en examinant le cas particulier où Torigine était un point multiple; il sera aussi plus simple de commencer notre discussion des tangentes multiples en cherchant la condition pour que Taxe des :r (^ = o) soit une tangente multiple.
Nous trouvons en général les points où cette droite rencontre la courbe en faisant^ = o dans Téquation générale, ce qui nous donne
A-f-n.r-+-Dd:* -h Cx^ -{-.. . -h Px" = o;
celte équation peut se mettre sous la forme
où a, b, Cy ... sont les valeurs de x pour les points où Taxe rencontre la courbe.
L^axe en question sera une tangente à la courbe si deux de ces points coïncident, c'est-à-dire s'il existe entre les racines une seule égalité a = b. L'équation devient ainsi
P(jc — a)*{x — c) ... =0.
L'axe est alors tangent à la courbe au point 2: = «,^ = o. Si A = o, B = o, Taxe est tangent à la courbe à l'origine. Nous considérons seulement le cas où a est réel, parce que^ Téquation éla t réelle, ime égalité a = b entre deux racines imaginaires entraînerait nécessairement une autre égalité c = <i entre les deux autres racines imaginaires conjuguées.
L'axe est une tangente double, s'il existe entre les racines les deux égalités c= a, d=b\ l'équaliu devient alors
P {iv — af (jc — b)^(x —c) ... =0, et nous avons alors les deux cas suivants :
PROPKIÉTtS GtNÉBALSS DBS COUBBBS. fyj
\^ aelb étant tous deux réels [Jig' lo), Taxe est tangent à la courbe aux deux points réels x = a, j; = 6. Il est évident qu'une pareille tangente, coupant la courbe en deux couples
Fig. 10.
de points coïncidents, ne peut passe rencontrer dans une courbe dont le degré est inférieur au quatrième. 2° a et 6 sont imaginaires, c^est-à-dire Téquation est
P(.r- -^pjL' -^fj)-^x—c) , . .=:o;
nous avons une tangente double, dont les deux points de contact sont imaginaires.
Si nous avons entre les racines une égalité as^ b = Ct Téquation prend la forme
V(jt: —ay [x—a) , ., — Oy
où a doit être supposé réel.
L'axe rencontre la courbe en trois points consécutifs. En général, si nous prenons trois points consécutifs sur une courbe, la droite qui joint le premier et le second est une langente et celle qui joint le second et le troisième est la tangente consécutive. Donc, dans le cas actuel, deux tangentes consécutives coïncident.
Piir suite aussi, dans un cas de ce genre. Taxe peut être appelé une tangente stationnaire ; en effet, si nous considérons la courbe comme Y enveloppe A^ une droite mobile, deux positions consécutives de la droite mobile coïncident dans ce cas. Le point de contact d'une tangente stationnaire est appelé point cT inflexion.
Si A = o, B = o, D = o, l'origine est un point d'inflexion
43 CnAPlTRB II.
ct^=o est la taDgenle en ce point (Jig* 1 1), puisque
Fîg. II.
l'équation est alors de la forme
47. Le point double et le point conjugué (n°38) correspondent précisément à la tangente double à contacts réels et à la tangente double à contacts imaginaires ; le rebroussement ou point stationnaire lui aussi correspond à la tangente stationnaire. Mais il n'existe aucune correspondance dans les théories analytiques; en effet, pour le point de rebroussement, nous avons une égalité a = 6 qui est un cas particulier des valeurs inégales (a, 6) correspondant au point double ordinaire cl au point conjugué; pour le point d'inflexion, nous avons une double égalité a = 6 = c, mais cette rela> lion est essentiellement distincte par sa nature des égalités a = 6, c = rf, qui sont relatives à la tangente double à contacts réels ou imaginaires. INous avons étudié les points doubles au moyen des coordonnées ponctuelles; pour faire correspondre les théories analytiques, il aurait fallu discuter les tangentes doubles au moyen des coordonnées tan gentielles ; la tangente stationnaire se serait alors présentée à nous comme un cas parlicuhcr de la tangente double. Mais, dans ce qui précède, la tangente stationnaire apparaît comme une singularité distincte de la tangente double ; d'une manière analogue, en employant les coordonnées tangentielles , le point cuspidal se serait présenté comme une singularité distincte du point double ; c'est en ayant égard à cette particularité que Ton avait fait la remarque (n°38) que le point cuspidal est réellement une. singularité distincte. Les singula-
rites se correspondent alors mutuellement ainsi qu'il suit :
Un point double ou nœud (nœud \ ,. « 1 1 ^
^ . , . IX 1 Une tangente double (contacts
crucial ou point coniueué) cor- ] , , " . . . ^ ^ , , j o / I p^gjg ^^ imaginaires),
respond a / " '
Ud point cuspidal, point de re- \ ., . .
,^ 5 • . . .• I Une tangente stationnaire, ou lan-
broussement ou point station- } ° .,,.«.
j . i gente en un point d indexiOD.
naire, correspond à / " "^
Et c'est seulement en se plaçant à un certain point de vue que h' rebroussement est un cas particulier du point double, et à un point de vue différent (le point de vue réciproque) que la tangente stationnaire est un cas particulier de la tangente double.
Si nous considérons la courbe comme décrite par un point qui se meut le long d'une droite, tandis que cette droite pivote en même temps autour du point, le mouvement présente une particularité réelle pour le point de rebroussement; le point devient d'abord stationnaire, puis son mouvement change de sens; d'une manière analogue, en un point d'inflexion la droite devient d'abord stationnaire et son mouvement change ensuite de sens. En un point double, il n'y a rien de particulier dans le mouvement du point mobile ; il arrive seulement que ce point, dans son déplacement, passe deux fois par la même position; de même, pour la tangente double, la droite dans son mouvement passe deux fois par la même position sans que son mouvement offre rien de particulier à signaler. Le rebroussement et la tangente stationnaire sont des singularités, dans un sens plus précis que le point double et la tangente double.
48. Dans les cas ordinaires, la courbe est située tout entière d'un même côté de la tangente ; mais, en un point d'inflexion, elle coupe la tangente et se trouve en partie d'un côté et en partie de l'autre de cette droite. Ce n'est là qu'un cas particulier du théorème suivant, plus général : Deux S. — Courbes planes. 4
5o CHAPITRE II.
courbes, qui ont en commun un nombre pair de points, sont tangentes sans se couper; celles qui ont un nombre impair de points communs se coupent mutuellement en leur point de rencontre.
Soient^ = <f) (j:),^ = if (^x) leséquations des deux courbes et supposons qu^eiles se coupeut au point (2: = a); d'après le théorème de Taylor, les valeurs des ordonnées des deux courbes, pour le point (^ r=r a -f- A), sont alors
— f(2 ^ d^Ji^^ d'o h
^''^'^^ dx I '^ da-^ I.'a'^ dw' 1.2.3"^ '"
d^ h d*^ II" ^^ h
" /Vr? 1 ri t'^
dx 1 ^.i* 1 . 2 dx^ 1.2.3 * ' * *
OÙ ç, ^'t'-T': ' • • sont les valeurs de ^(^r), ^(:r), —X-— • • •
pour x = a. Mais, par hypothèse, ^ = <{/, puisque les courbes se coupent au point x = a; donc
'^\dJ^''dx^) 1.3.3 "+"••••
Or, d'après les principes du Calcul difTérenliely quand h est infiniment petit, le signe de la somme de cette série est le même que celui de son premier terme ; mais le signe de ce terme change en même temps que celui de A; si donc, en un point infiniment voisin ( j: = a + h), Tordonnée de )a courbe y est plus grande que celle de la courbe tj^, elle sera moindre au point (^x = a — A). Donc, si deux courbes ont un point commun, en général, celle qui est au-dessus de l'autre d'un côté de ce point sera au-dessous de l'autre côté.
Supposons maintenant que -^ = -—> le premier terme de la série sera alors ( -r-^ — -^^ j > qui ne change pas de
PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES COURBES. 5l
sig;De quand h en change. Donc la courbe qui est au-dessus, d'un côté du point donné, restera également au-dessus de
Tautre côté. Or, quand -5? = ~- > les courbes sont manifestement plus rapprochées Tune de l'autre que dans le cas précédent, puisque la différence des ordonnées ne renferme plus la première puissance de h. On exprime géométriquement celte condition sous forme équivalente en disant que les courbes ont deux points consécutifs communs. On peut aussi démontrer ce résultat comme il suit : x\ y ^ x^y y" étant les
coordonnées rectangulaires de deux points d'une courbe,
-} — =^ est évidemment la tangente trigonométrique de l'angle
que la corde qui les joint fait avec Taxe des x\ mais, si les
dy deux points coïncident, nous voyons que la valeur de -3 -
fiour le point donné exprime la tangente trigonométrique de P angle que la droite qui joint ce point au point consécutif (c'est-à-dire la tangente en ce point) fait avec Vaxe des x\ conséquemment, si deux courbes ont un point com-
dv mun et si, pour ce point, -j- est le même pour les deux
courbes, il en résulte que le point consécutif est aussi com* niun à ces courbes.
49. Si les deux courbes ont trois points consécutifs communs,
d^9 fl?»il , . 11,.
n:)U5 aurons ^-^ = j-^ ; le premier terme de la série pour
r,-/,; est \^^ - 5^ j r^' q^^ c^^^ï^ge de signe avec h ;
il en résulte, par conséquent, comme ci-dessus, que les courbes se coupent au point donné. De même, en général, si le développement de y^ — y^ commence par une puissance paire de A, il ne changera pas de signe avec h et les courbes se toucheront sans se couper; mais s'il commence
5â GHÀriTRE II.
par une puissance impaire de A, le signe de la diflerence changera avec celui de h el, par suite, les courbes se couperont au point donné.
Le lecteur a déjà rencontré un exemple de ce fait dans le cas du cercle osculateur d'une conique en un point quelconque; ce cercle, ayant en général trois points communs avec la courbe, lui est tangent et la coupe en même temps (Sections coniqueSy n®239); mais, aux extrémités des axes, le cercle osculateur passe par quatre points consécutifs et est tangent à la courbe sans la traverser,
La même étude s'applique au cas où Tune des courbes devient une ligne droite. Par conséquent, une tangente en un point d'inflexion, ou une droite qui rencontre la courbe en un nombre impair de points consécutifs, est coupée par cette courbe ; mais, si cette tangente rencontre la courbe en un nombre pair de points consécutifs, la partie voisine de la courbe se trouve située toute d'un même côté de cette droite.
50. L'axe j^ = o sera une tangente triple, si l'équation qui détermine les points où il rencontre la courbe est de la forme
P{x — rt)«(x— 6)«(jc — c)«(j: — ûf)... =o.
Il est évident qu'une pareille tangente ne peut pas se rencontrer pour des courbes dont le degré est inférieur au sixième. Nous pouvons, comme dans le n** 40, distinguer quatre espèces de tangentes triples selon que les points de contact sont réels et distincts, que Tun est réel et les deux autres imaginaires, que l'un est réel et les deux autres coïncidents, ou enfin que tous trois coïncident. Nous nous trouverons dans ce dernier cas, si l'équation est de la forme
V{x — ay{x—b),,. =o; Taxe rencontre la courbe en quatre points coïncidents; le
point de contact d'une pareille tangente est appelé point (T ondulation. Il peut de même exister des tangentes multiples d'ordres plus élevés, ou bien encore des points d'ondulation d'ordres supérieurs qui proviennent de ce qu'une droite rencontre la courbe en plus de quatre points coïncidents. Cramer appelle les points où la tangente rencontre la courbe en un nombre impair de points consécutifs points de visible inflexion j pour les distinguer des points de serpentement ou points d^ondulation qui, à l'œil, ne diffèrenl pas des points ordinaires de la courbe.
51. Nous n'avons jusqu'ici examiné que le cas où l'origine est un point multiple, ou encore celui où l'un des axes est une tangente multiple , il est évident, cependant, que la forme de l'équation pourrait de même faire reconnaître l'existence de points et de tangentes multiples situés d'une manière quelconque.
i" Par exemple, si l'équation est de la forme
où a, ^ sont des fonctions linéaires et ^ , <{; des fonctions quelconques des coordonnées, a^ est un point de la courbe. L'équation de la tangente en ce point est
^, ^ étant les valeurs que prennent ^ et ip, quand nous y introduisons les conditions a = o, ^ = o. En effet, si nous cherchons les n — i points où une droite quelconque menée par a^, (a — k^), rencontre la CQurbe, nous obtenons une équation de la forme
?[Âr(ç'H-Mp-hNp«-i-...)-4-(f ^M'P-i-N'p«-i-...)]=o,
et, pour qu'une seconde racine de cette équation soit ^ = o, nous devons avoir Arç'-h ^ =z o; par conséquent, en rem-
plaçant k par sa valeur ^9 nous obtenons pour Téquation de
la tangente
acp' -i- ^^' = o.
2° En général, la courbe représentée par l'équation
aSvô ...-=a,piY,8, ...
passeparlespointsaa,,ap,,aY,,...,pp,,PY,,p8,, ...,YY7i
3^ Si l'équation est de la forme
ao H- p*iI; = o,
nous voyons (comme dans les Sections coniques, n"232)quea est la tangente au point a^ , car deux des points où cette droite rencontre la courbe coïncident; ou bien encore, si Téquation de la courbe est
tit^t^ ... ^«-hp*<p = o,
tx, ... sont les tangentes aux n points où ^ rencontre la courbe. La forme de Téquation montre que, sites points de contact de n tangentes se trouvent sur une droite p, les autres points où ces tangentes rencontrent la courbe sont situés sur une courbe fde degré (n — a ). 4^ Si Téqualion est de la forme
et si nous cherchons les points où une droite quelconque (a = ÂrP) menée par ap rencontre cette courbe, nous trouvons que deux d'entre eux coïncident toujours avec a^ et que par conséquent ce point est un point double. On voit précisément, comme dans i° et dans le n° 37, que les tangentes en ce point double sont
OÙ f^ ^', y^ sont les valeurs que prennent ces fonctions pour les coordonnées du point (a = o, ^ = o).
PR0PR1<TÉS GÉHÉRALBS DBS COURBES. 55
5® De même, si Inéquation esl de la forme
le point a^ est un point triple; les trois tangentes sont rournies par l'équation
a^Y -h a* P4*' 4- ap*x' + P' w' =^ O.
&* Si l'équation est de la forme
z est une tangente double aux points a^, ay. 7° Si l'équation est de la forme
a^ est un point d'inflexion et a est la tangente en ce point.
52. Nous allons d'abord faire une application du numéro précédent en montrant comment l'équation nous permet de reconnaîtra la nature des points de la courbe situés à distance infinie. L'équation trilinéaire est (n® 22)
Les directions des n points à l'infini sont données ( en faisant z=o dans l'équation) par l'équation Un = o; cette éqaation, résolue par rapport ky'.x, est de la forme
(/ — m,a?)(/ — m,a:)(7 — /7i,j:) ... {y — m^jc)—o.
Une courbe de degré n a généralement n asymptotes ; ce sont les tangentes aux n points où Zy la droite à l'infini, rencontre la courbe. Nous pouvons trouver leurs équations facilement, comme il suit, quand l'équation Un = o a, été résolue par rapport k y: X. Il résulte' de 3® du numéro précédent que, si l'équation était ramenée à la forme
56 GUAPITKB II.
tij. . . seraient les n asymptotes. Mais Téquation donnée
(7 — m,jr)(j— m2x)(7 — m,^) . .. ■4-5w„iH- 5* «„,-}- . . . ~o
peut toujours être mise sous la forme
En effet, les termes du /i**"' degré en x et 7 sont évidemment tes mêmes pour les deux équations, et les n arbitraires X|, )^2, . . . que contient la seconde peuvent être déterminées de manière à rendre identiques les n termes du degré (n — i) dans ces deux équations.
Le lecteur n'éprouvera aucune difficulté à comprendre cette méthode, s'il cherche à l'appliquer à un exemple particulier. Soit, par exemple, Téquation
( a:-Hj)(2 .r H-j)(3 ^-f-j)-H 1 7^*-h I ix/-h27--h 1 2 a:H- io/-i-36=o,
que Ton désire mettre sous la forme
( j? -^ 7 -h Xi)(2a: -hj-h X,)(3a7 -i-7 -I- X,)+ Aa? + B^-h C=o.
Pour déterminer X|, X2, Xs, nous aurions ainsi les trois équations
6X,-4-3X, -h 2X, = 17, 5X, -i- 4X1-1-3X3= II, Xt-hX, -hXt=:2;
et Téqualion peut être ramenée à la forme
Remarquons que les valeurs X|, X2, X3 sont telles que nous avons identiquement
ijsc^-h f ij^7H-2r* Xi X, X,
(a;4-7)(2.r4-7J(3j?-4-7) ~~ a?-h7 2x-hy Zx-^y^
et de même, en général, les valeurs de X, , X2> • • • sont déterminées par la décomposition de ■ ""' en fractions simples.
PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES COURBES. 5j
53. Si deux racines de réquation Un = o sont égales (m, = /Wî), celte équation générale prend la forme
deux des points où z rencontre la courbe coïncident, et par conséquent la droite à l'infini est une tangente à la courbe.
Si trois racines sont égales, la droite à Tinfini coupe la courbe en trois points qui coïncident, et par conséquent elle lui est tangente en un point d^inflexion.
Si, dans l'équation générale, le coefficient de j" est égala zéro, l'axe des y passe par un point à l'infini, et nous n'avons évidemment plus qu'une équation du (/i — iyî«>« degré pour déterminer les autres points où il rencontre la courbe.
Si le coefficient dej""* s'annule aussi, l'axe des j^ est une asymptote.
54. Dans une prochaine Section, nous montrerons comment, en général, on peut trouver les points singuliers d'une courbe. Mais, comme l'application des méthodes générales est habituellement une tâche assez laborieuse, les exemples donnés par les traités de Calcul différentiel sont en grande partie des cas où l'existence du point singulier se révèle très facilement par un simple examen de l'équation ; nous indiquons ici les plus difficiles de ces exemples, pour servir d'application aux théories contenues dans les numéros qui précèdent. {Voir Exemples de Gregory^ p. 170, e'c.)
Exemple /.
^* — ax^y -f- by^ = o.
Exemple IL
x^ — 2aa?»^H- ia?*^«H-fl^*-+- r* = o.
Dans ces deux cas, roriglne est un point double. Dans le premier, les tangentes sont données par Téquation x^y = by*, et, dans le second, par réqaation ^x^y =y*. D'après le n* 43, aucune de ces deuxcourbes ne peut avoir d'autre point multiple.
Exemple IIL
ay^ — ir»±:6x« = o.
58 GBAPITKB II.
L'origine est un point double, dont les tangentes sont fournies par l'équation ay^ db bx^ = o. Si l'on prend le signe positif, l'origine est un point conjugué.
Exemple Il\
(x« — a>)> = a7«(a7H-3a), ou {x — ay(x-¥-ay=ay^(2y-^^a)
Ici évidemment (x — a,^) et (a? H- a, ^) sont des points doubles. Pour obtenir les tangentes au premier, nous devons faire â; = a,^= o dans les termes multipliés par (â; — a)'»^'; il vient ainsi
De même, pour les tangentes à l'autre point double,
4(a:-ha)« = 37«.
La courbe a un troisième point double dont on peut montrer l'existence en mettant l'équation sous la forme
x^{x^ — aa*) = a(a7 — a)(jr-^ay.
Par suite, (âr,^ + a) est un point double et les tangentes en ce point sont
Ayant trouvé ces points, nous savons, par le n"* 42, que la courbe ne peut pas avoir d'autre point multiple.
Exemple V,
{by ^ cxy = (a — a)».
Le point {by — cXyX — a) est un rebroussement dételle espèce que la tangente en ce point rencontre la courbe en cinq points consécutifs.
Exemple VI,
L'origine est un point double, et la tangente en ce point rencontre la courbe en quatre points consécutifs. Il y existe à l'infini un point triple, auquel la droite à l'infini est la seule tangente. La droite x-\-b est tangente à la courbe au point où elle rencontre l'axe des j-; elle lui est également tangente en un point d'inflexion à l'infini.
Exemple VIL
ar' -hj'H-^' = o.
PROPRIÉTÉS GÉNÉRALBS DBS COURBES. 5g
L^équation débarrassée des radicaux devient
etf soas cette forme, on reconnaît immédiatement l'existence de six rebronssements ; cliacun des points où l'axe des x rencontre /' H- J* est an point double, et l'axe des x est la seule- tangente en ce point, il en est de même pour (^, a?>-f- ^«) et (^, a?*H-^*). Mais tous les rebroussements sont imaginaires.
La courbe a aussi quatre points doubles qui sont
a?rt^ = o, a:db^ = o.
On peut le démontrer en posant
par suite,
En portant ces valeurs dans l'équation donnée, elle prend la forme
On trouve que les tangentes en un quelconque des points doubles sont données par l'équation
a* ifc MO H- (?* = o
et, par conséquent, les points doubles en question sont des points conjugués; par le fait, ce sont les seuls points réels de la courbe. L'équation peut encore être écrite sous la forme
9X*[jr^ — a7>(^«H-3«)-f-^* — /«5»-f-<5^] — (2ar« — y* —5*)'» =0.
Si nous posons
elle devient
Cette forme fait ainsi ressortir l'existence des points doubles *>) = o, îi=o; ou, ce qui revient au même, { = o, tt^ = o, Ç = o, c'est-à-dire
Section III. — Tracé de coiirbes.
S5. n est bon de faire connaître par quelques exemples
6o CHAPITRE II.
comment on peut déterminer graphiquement la forme d'une courbe donnée par son équation. Si nous attribuons une valeur numérique quelconque («) à Tune des variables x, l'équation numérique résultante peut être résolue (au moins approximativement), par rapport à y, et elle déterminera les points où la droite :r = a coupe la courbe. En répétant celle opération pour des valeurs différentes de x (voir Sections coniques, n® 16), nous obtiendrons un certain nombre de points de la courbe; et en faisant passer une ligne continue par ces points, nous aurons une idée suffisante de sa forme. Si nous avons égard aux valeurs de x qui rendent imaginaires des valeurs de ^, nous pourrons découvrir l'existence d'ovales, ou bien reconnaître si la courbe est limitée suivant une direction quelconque; nous avons déjà indiqué (n® 5!2) comment on peut distinguer si la courbe a des branches infinies, et comment on en détermine les asymptotes. Dans le Chapitre suivant, nous ferons voir comment on trouve les points multiples et les points dMn-
dy flexion de la courbe. La valeur de —^ en un point quelconque
donne la direction de la tangente en ce point (n^ 48); et,
dv en cherchant pour quels points -^ = o ou = oo , nous aurons
les points où la direction de la courbe est parallèle ou perpendiculaire à l'axe des x.
Dans la pratique, nous devrons évidemment mettre à profit toutes les simplifications que pourra suggérer Téquation de la courbe. Par exemple, si nous considérons une série de droites parallèles à l'une des asymptotes (ou une série de droites passant par un point de la courbe), Téquation qui détermine les points où chacune d'elles rencontre la courbe sera d'un degré inférieur d'une unité à celui de cette courbe. Si l'équation montre que la courbe a un point double ou multiple, il sera avantageux de considérer une série de droites issues de ce point, puisque le degré de
PROPBIfiTÉS GfiNfiRALES DBS COURBES. 6l
l'équation en question se trouvera diminué de deux ou plusieurs unités.
I] n'y a guère d'exercice qui soit plus profitable pour un élève que de tracer des courbes, et, plus particulièrement, celles dont Téquation contient un ou plusieurs paramètres susceptibles de recevoir une suite de valeurs dîflTérentes. Quand il n'y a qu'un seul paramètre, on peut se le représenter comme l'ordonnée z d'une iigure à trois dimensions dans l'espace, et le problème envisagé sous cet aspect consiste à trouver la forme des différentes sections (l'une surface par des plans parallèles.
Il nous suffira d'ajouter ici quelques exemples à ceux qui se présenteront incidemment dans la suite de cet Ouvrage. Nous renverrons le lecteur qui désirerait plus de détails aux traités de Géométrie analytique et particulièrement à l'Ouvrage dans lequel tous le sauteurs modernes ont largement puisé, à r/n^roéfi/c^ton à V Analyse des courbes de Cramer,
Exemple I.
ar* — ax^y -f- hy* = o.
(Voir£'ar./, n'»5i.)
L'origine étant ici un point triple, il est avantageux de considérer >ine série de droites issues de ce point. Posons V = mx, nous trouvons "
quand m passe de o à ±: oo , c'est une fonction qui croit depuis o, pour m = o jusqu'à un maximum, qui a lieu quand a — 36m* = o; elle. •lécroît ensuite, s'annule quand a — 6m' = o, tl a ane valeur indéfiniment croissante négati> vement, quand m croit au delà de la valeur ci-dessus. La courbe {fig» la) est manifestement symétrique par rapport à Taxe des^. C'est donc celle que représente la figure ci-contre.
Exemple II,
(x« — a«)«= av»(3a-h2/).
(Voir ^x. /F, n* 54.)
6a GHAPlXaB II.
On a
La courbe est évidemment symétrique par rapport à Taxe des j". Elle a y de chaque côté de cet axe, deux branches qui correspondent aux deux signes que Ton peut donner au radical. Les deux branches se coupent quand ^ = o et, par conséquent, nous voyons qu'il y a, sur Taxe desrr, deux points doubles à la distance x= dba de l'origine. Quand^ croit positivement, le radical croit indéfiniment; donc la valeur de x, qui correspond à Tune des branches, croit indéfiniment; celle qui correspond à l'autre décroît jusqu'à ce que nous arrivions à la valeur de^ qui correspond à la seule racine positive de Téquaiion
2ax'-*-3a«^* = a* (a^ = a),
au delà de laquelle cette branche ne peut plus monter. Pour des valeurs négatives de^, le radical croît jusqu'à une valeur maximum qui a lieu
¥iQ. i3.
pour^-t-a = o; alors Tun des couples de branches se coupe en un point double sur l'axe des^ et l'autre couple est à sa distance maximum de cet axe. Aucune des branches ne peut évidemment descendre plus bas que la valeur 3a-h a^ = o. La forme de la courbe est celle de la figure ci-contre.
Exemple 111. — Étant donnés la base 2c tfun triangle et le rectangle m> des côtés, le lieu du sommet est un ovale de Cctssini; en prenant pqur origine le milieu de la base, V équation de cette courbe est
Le diagramme ci-joint {fig. \\) représente la forme qu'affecte la courbe pour différentes valeurs de m. Le trait le plus gras donne lii figure de la courbe pour m = c\ c'est la lemAiscate de Bernoulli. Quand m est moindre que c, la courbe de Gassini se compose de deux
PBOPRifiTfiS GfiifÉRALBS DBS COURBES. 63
orales conjugués, compris dans les deux boucles de la précédente courbe; quand m est plus grand que c, on a Tovale continu qui lui est extérieur.
Fig. i4.
Exemple IV. — Sur le rayon vecteur mené cTun point fixe O à une droite fixe MN, on' prend un segment RP de longueur donnée et on le porte de chaque côté de la droite. Le lieu géométrique du point P est une courbe appelée conchoTde de Nicoméde; elle a été inventée par le géomètre de ce nom pour résoudre le problème qui consiste à trouver deux moyennes proportionnelles
Soitni (fig, i5) OA =/>, RP = m; Téquation polaire de la courbe
Fig. i5.
est (p + /n)cos(D =/> et Téquation en coordonnées rectangulaires
La droite MN (p =y) est tangente à la courbe en un point singu- 1 er à l'infini, et elle y rencontre cette courbe en quatre points consé- ( atifs.
i^ point 0 est aussi un point double; les tangentes en ce point sont données par Téquation
/>* ar* -f- (/>* ~ m^)y* = o.
64 CHAPITBE II.
Ce sera un nœud, un point conjugué ou un rebroussement, suivant que m sera plus grand, plus petit, ou égal à p, La ligne pleine se rapporte au cas où m est plus grand que/>; la ligne ponctuée à celui où il est plus petit.
Exemple V. — De la même manière, sur le rayon vecteur cTun cercle et à partir cCun point de la circonférence, on porte de chaque côté de cette circonférence un segment de longueur donnée. Léquation polaire de la courbe ainsi déterminée est p = /? cosw ±: m ; son équation en coordonnées rectangulaires est
{x^ — y^ — px)^ = m*(â?*-+-^*).
L'origine est évidemment un point double, nœud ou point conjugué, suivant que p est plus grand ou plus petit que m. Si/> = m, l'origine est un point cuspidal ; la courbe a la forme d'un cœur et est appelée la cardioïde {fig» i6). Elle est représentée par le trait plein
rig. n ,,-'" "
de la figure ; les lignes ponctuées intérieures et extérieures correspondent respectivement aux cas des formes avec un nœud ou un point conjugué.
Exemple VI.
(a:i — a)î }. (ys — 6»)« = c*.
PnOPmifiTfiS GfillÉBALI8 DBS COURBES. 65
NoQS supposons que b est moindre que a. Quand c = o, la courbe
se compose de quatre points conjugués àzajdib. Les figures qui suî-
Tent représentent les cas suivants : (Ji^. i)c moindre que 6; (fig. a)
Fig. 17 cl i*<
^«g«ï à b; (fig. 3)c entre b tta; {fig. 4) c = a; {fig. 5) c > a,
< v^a^-h 6^; (^^. 6) c = v^a*-^6*.Quand c a une valeur plus grande,
66 CRAPITBE II.
ia courbe a une forme similaire, mais sans point conjugué à l'origine. Quand c = a = 6, la courbe se décompose en deux ellipses {fig-'j)'
56. Si une courbe passe par Torigine et si Torigine est un point ordinaire de cette courbe, y peut être développé suivant la forme^=Aa:-+-Bj:^-|-.. . . Si l'origine est un point singulier, le développement prend la forme^=Aj?"-hB:FP-|-. . . ; ici a est positif et p, ainsi que tous les exposants qui suivent, est plus grand que a. Pour déterminer la nature du point singulier et la configuration de la courbe dans son voisinage, il est très utile de trouver au moins le premier terme de ce développement; car, dans le voisinage de Torigine, la forme de la courbe ressemble à celle de la courbe dont Téquation est y = Ajt*, et il est facile de construire cette dernière. Pour effectuer le développement dont il s'agit, nous pouvons recourir au procédé donné par Newton (• ) et qui peut être employé de la manière la plus commode sous la forme qui suit. Dans l'équation, posons y = Ax* et déterminons la quantité positive a par la condition que les exposants de deux ou plusieurs termes soient égaux et moindres que l'exposant de l'un quelconque des autres termes. Ceci peut toujours se faire par tâtonnements, en égalant les exposants de chaque couple de termes et en examinant si la valeur de a est positive et si les exposants égaux ne sont pas plus grands que les exposants d'un autre terme quelconque. Ayant ainsi trouvé a, nous déterminons A en égalant à zéro la quantité qui multiplie les termes qui ont le même exposant. Nous pouvons ensuite, si besoin en est, continuer le développement en remplaçant y par l'expression A^* -h B:r^, dans laquelle
(' ) Voir Methodusfluxionum et serierum infinitarum, etc., sous le titre : De reductione affeciarum equationum {Opusc., éd. Castillon. vol. I, p. 37). Voir aussi un Mémoire de M. de Morgan, Quarterly Journal, vol. I, p. I, et Trtmsactions 0/ the Cambridge Philosophical Society, vol. IX p. 608. Newton donne la règle, au moyen d'ua diagramme de carrés, sous une forme un peu difTérente de celle qui précède.
PBOPRIÉTtS GÉKfiBALES DBS COURBES. 67
A et a ont les valeurs déjà trouvées, et où ^ et B seront déterminés par un procédé analogue au précédent. Soit, par exemple, la courbe
^ -f- y* — 3a»rj =: o ;
Torigine est un point double qui a pour tangentes les deux
axes de coordonnées. Si nous posons y = Ax^, l'équation
devient
^» -f- A* j?»« -h 3a Ax»^> = o.
Il faut maintenant que nous rendions deux exposants égaux entre eux. Essayons d'abord 3 = 3a ou a== i ; nous rejetons cette valeur, parce qu'elle fait prendre aux exposants égaux des valeurs plus grandes que celle de l'exposant a + i de l'autre terme. Si nous essayons ensuite 3 = a + i ou a = a, nous trouvons que cette valeur rendra les exposants égaux moindres que celui du troisième terme. L'équation deviendra ainsi
(i — 3aA)j7»-+-A»:r« = o,
et, si nous déterminons A de manière à annuler le coefficient de x^y nous voyons que l'équation pourra être écrite sous la
forme j^ = ^ x^ + . . . ; ici les exposants des termes restanls
sont plus grands que a, et nous voyons de la sorte que la forme d'une branche de la courbe à Torigine ressemble à celle de la parabole iay=zx^. En troisième lieu, si nous égalons les exposants 3 a, a + 1 , nous trouvons a = j. Ici encore les exposants égaux sont les plus petits, et les coefficients des deux termes sont A', — 3aA; nous en déduisons A =v^3 a, et l'équation de la branche que nous étudions
esiy=^(ia)x^ + • • • ; par suite, près de l'origine, sa forme
se rapproche de celle de la parabole ^^ = iax. Nous n'avons pas besoin pour l'exemple actuel de pousser plus loin le développement; cependant, si cela était nécessaire, nous substi-
tuerions y= tt— x^ + Bj^P. Les termes les moins élevés scraient alors
L^ ar» -H ^ a:*^P — 3 a D jtP-^-» = O. 27 ar ^ '»'
Nous pouvons maintenant rendre les exposants de deux
Fig. 19. termes égaux entre eux et moindres que
celui du troisième terme en prenant ^=5,
ce qui donne B= s — r* Nous avons montré ^ 8ia*
de cette manière que si, dans le voisinage de Torigine, nous traçons les deux paraboles 3 aj' = x^^ y^ =ziax, nous obtenons approximativement dans cette région la figure de la courbe qu'il s'agissait de construire {fig< 19).
57. Le même procédé nous permettrait de déterminer les branches infinies de la courbe. Dans ce cas, nous aurons à développer y suivant les puissances décroissantes de Xj et la seule différence dans le procédé consiste en ce que nous devrons maintenant nous arranger pour que les exposants égaux soient plus grands que celui d'un autre terme quelconque. Ainsi , dans l'exemple déjà donné, en égalant les exposants 3 et 3a, nous avons x = i et leur coefficient est A' + i- Si nous avons seulement égard aux valeurs réelles de A(= — i), nous remplacerons y par ^ = — d? -h BxP et nous trouverons de la même manière ^ = o, B= — a. Nous obtenons ainsi l'expression r = — X — a-{-. . . et nous voyons que la ligne^-|-^-|-a = o est une asymptote. La figure de la courbe est celle que nous indiquons ci-dessus (Jig* 20).
Fig. 30.
PROPRIÉTÉS GÉNÉRALBS DBS CatlRBBS. 69
58. Dans le cas du rebroussement simple dont nous avons déjà donné un exemple (n® 39), les deux branches qui se rencontrent au point cuspidal se trouvent de part et d'autre (le la tangente commune et ont leurs convexités opposées l'ane à l'autre ; mais il existe une espèce de rebroussement (qui est une singularité d'ordre plus élevé) pour lequel les branches sont situées d'un même côté de la tangente. Soit, par exemple, la courbe
in{af — x*y=.a:^;
il est clair que toutes les valeurs positives de x donnent des valeurs réelles de r , et, si nous écrivons l'équation sous la forme x^ afz=x*± — j9 comme le dernier terme est moindre que le pré-
cèdent quand x est très petit, nous voyons qu'en prenant soit le signe supérieur, soit le signe inférieur, la valeur de y sera positive pour de petites valeurs de x. L'axe des x est donc une tangente à la courbe et les deux branches sont situées audessus de cet axe. Nous donnons ci-dessous {^g» 21 ) la figure
FiR. 21.
de la courbe. Ces deux sortes de rebrou ssements ont respectivement reçu les épithètes de kératoide et ramphoïde^ à cause de leur vague ressemblance avec les formes d'une corne et d'un bec d'oiseau. Nous avons vu (n"" 40) que les points multiples ordinaires d'ordre supérieur peuvent être considérés comme résultant de la réunion d'un certain nombre de
points doubles. M. Cayley a montré (Quarterly Journal, Tome YII, p. 21a) qu'une singularité quelconque d'ordre supérieur peut être regardée comme équivalente à un certain nombre de singularités simples qui sont le nœud, le rebroussèment ordinaire, la tangente double et le point d'inflei^ion.
Fig. a a.
Ainsi, un rebroussement du genre décrit dans le présent numéro est équivalent à un nœud, à un rebroussement, à une tangente double et à une inflexion, comme le montre la /ig. 22, qui représente le nœud et le rebroussement sur le point de s'unir pour former la singularité d'ordre supérieur dont il s'agit.
Section IV. — Pôles et polaires.
59. La méthode dont nous allons actuellement faire usage afin de rechercher les conditions pour qu'une courbe ait des points ou des tangentes multiples, et pour déterminer leur position, est la même que celle que nous avons déjà employée dans le cas où la courbe passait par l'origine. Nous considérerons une série de rayons vecteurs issus d'un point donné; nous formerons l'équation qui détermine les coordonnées des n points où l'un quelconque de ces rayons vecteurs coupe la courbe, et nous chercherons les conditions pour que un ou plusieurs de ces points puissent coïncider avec le point donné lui-même. Pour déterminer les coordonnées de ces n points, nous nous servirons de la méthode deJoachimsthal, e&posée dans les Sections coniques, n? 290.
PBOFRIÉTÉ8 GÉlffiRALBS DBS COOBBBS. 7I
Puisque les coordonnées trilinéaires d'un point quelconque situé sur la droite qui réunit deux points (^^'V), {af^z!') sont de la forme \xf 4- pi j/', \y 4- p^ , Xz' + ^z"^ les points où la droite en question rencontre une courbe quel* conque se trouveront en remplaçant respectivement â:,^, z
par ces valeurs et en déterminant ensuite le rapport - au
moyen de l'équation résultante. Pour faciliter les recherches ultérieures, il sera nécessaire, au préalable, de discuter soigneusement les fonctions qui se présentent dans le résultat de cette substitution.
Supposons que U soit une fonction homogène du ;,»■• ordre en x^y\ z; remplaçons-y ar, ^, z par "kx -f- \kx'y Av+ [xy, "kz + [xV : il est évident, d'après le théorème de Taylor, que le coefficient deX" sera U, et que celui de X""* [x sera
dx • dy ** dz ou
^'U,-h/U,-h45'U, ou :r'L-h/M-h5'N,
en nous servant des abréviations U|, U2, Us ou L, M, N (suivant le cas) pour représenter les coefficients différentiels. Nous ferons usage du symbole A pour indiquer l'opération
^d^-^^dj-^^dl'
le coefficient de X""* pi peut alors être écrit sons la forme AU. De la même manière, le coefficient de V'~' |x^ sera la moitié de
,,d'lj ..d'V „d''l]
"^ dx' ^^ df' ^^ dz'
^ dydz dzdx * dxdy
y2 CHAPITRE lU
Nous pourrons Técrire sous la forme
Les quotients différentiels du second ordre s'écrivent souvent aussi avec des indices doubles U| i y Us3,Utt ^UasyUs i ,U 1 3; mais nous trouvons plus avantageux de nous servir des lettres a, é, c, /, g, h et de mettre ainsi A*U sous la forme que nous avons employée pour exprimer Féquation générale d'une conique
ax^ -f- by^ -+- es* -h 2fyz 4- 'igzjc -+- 2 hxy.
Delà même manière, le coefficient de X""' jjl' dans le développement est A A'U, et ainsi de suite, le dernier coefficient étant A"U. Il est toutefois évident, d'après la
symétrie de la substitution, que ce coefficient sera U' et, en général, que les coefficients de deux termes correspondants quelconques, X<»jJi*, î^*!***, ne différeront que par l'échange des lettres accentuées et non accentuées. Nous voyons ainsi que A""'!! ne diffère que par un facteur numérique de
et d'une manière générale que
/ ,d ,d ,dY-P,, , ( d d d\P^^,
ne diffèrent que par un facteur numérique. Nous pouvons f:crire la dernière fonction AU', Taccent joint à U servant à marquer qu'on a échangé entre elles les lettres accentuées et les lettres non accentuées.
60 La courbe du {n — i)""* degré AU=o s'appelle la
PROPBlÉTtS GÉNÉRALES DBS COURBES. 78
première polaire du point [x'^y^z*) par rapport à U. On dit de même qae A^U est la seconde polaire, et ainsi de suite; le degré des courbes polaires successives diminue régulièrement d'une unité, la (n — a)'*"* polaire est une conique et la (n — I )**■• une ligne droite. D'après la remarque qu'on vient de faire, il est évident que les équations de la droite et de la conique polaires sont respectivement
Puisque A*U s'obtient en effectuant l'opération A sur AU, il est évident que la seconde polaire de x', y^ z', par rapport à U, est la première polaire du même point par rapport à AU, eu d'une manière générale, il est clair que la courbe polaire d'un rang quelconque est aussi la polaire du même point relativement à toutes les courbes polaires de rang inférieur au Men. Ceci ressort évidemmentde l'équation A*( A'U)= A*+'U.
Quand le point que l'on considère est l'origine, x' eiy sont nuls; l'opération A se réduit à la différentiation par rapport à z. Si Téquation cartésienne ordinaire est rendue hoiDogènepar l'introduction de l'unité linéaire z (Sections coniques^ n* 69), on peut l'écrire
cl, en diflférentiant par rapport à z, nous trouverons sans difficulté que les équations de la droite, de la conique, etc., polaires de l'origine sont
'•"«34-1/1 = 0, J- /l(/ï — l)«o-2'-+-(At — l)tt|-3 H- W, =Z0, ....
61. Le lieu de tous les points dont les droites polaires passent par un point donné est la première polaire du point.
L'équation xl]\ -hyli'* H- sUi =0 exprime une relation
entre les coordonnées x^ y^ z d'un point quelconque de la droite polaire et les coordonnées xf^ y, z' du pôle. Et si (comme dans les Sections coniques, n® 89) nous indiquons que les premières coordonnées sont connues et les dernières variables, ce qui se fera en accentuant les premières et effaçant les accents des dernières coordonnées, Téquation deviendra alors
;r'Ui4-/U,-+-«'U,r=0.
Il y a (/i — \Y points dont les droites polaires par rapport à U coïncideront avec une droite donnée quelconque, ou, plus brièvement, toutedroite a{n — lY pôles. En effet, si nous prenons deux points quelconques sur cette droite, les pôles de la droite doivent se trouver sur la première polaire de chacun de ces points; par conséquent, ce sont les points dlntersection de ces deux courbes. Ainsi les premières polaires de tous les points d'une droite ont [n — \Y points communs] ce sont les (/t — i)^ pôles de la droite. De la même manière, le lieu des points dont les coniques polaires passent par un point donné est la seconde polaire de ce point; et ainsi de suite.
Si la droite polaire (ou une autre polaire quelconque) d'un point passe par ce point, ce dernier sera situé sur la courbe. En effet, si, dans Téquation de la polaire, nous remplaçons x^ y^ z par x\ y, ^, elle devient identique avec l'équation de la courbe, puisqu'en effectuant l'opération
X -^ — ^y 7": -+- 3 ;/! sur une fonction homogène on retrouve
la même fonction à un facteur numérique près.
62. Si une courbe a un point multiple de C ordre k, ce point sera un point multiple de l'ordre (k — i) sur chacune des premières polaires, de l'ordre (k — 2) sur chacune des secondes polaires, et ainsi de suite. En effet, si l'origine se trouve au point multiple, les termes de Tordre le moins
PROPRifiTÉS GfiNfiRALBS DES COURBES. 76
élevé en j? et y seront du degré k; dans la première polaire, qui ne contient que les quotients différentiels du premier ordre de U, les termes de Tordre le moins élevé en x ely seront du degré (k — i), et par conséquent l'origine sera un point multiple de cet ordre; Téquation de la seconde polaire, contenant les quotients différentiels du second ordre de U, renfermera jî, y au degré {k — a), et ainsi de suite. Si deux tangentes en un point multiple de la courbe se confondent, cette tangente coïncidente sera une tangente à la première polaire. En effet, le terme ui du degré le moins élevé est de la forme a^bcd^ a, 6, c, ... représentant des fonctions linéaires, et par conséquent le terme de moindre degré dans la polaire contiendra a comme facteur. El, en général, si, en un point multiple de la courbe, / tangentes coïncident, (/ — i) d'entre elles seront des tangentes coïncidentes au point multiple de la première polaire, (/ — 2) seront des tangentes au point multiple de la seconde polaire et ainsi de suite. Car si Uk renferme un facteur à la /'*"' puissance, celui-ci sera facteur du(/ — i)'*"* degré dans tous les quotients différentiels du premier ordre de Uk, du (/ — 2)'*"'® degré dans tous les quotients différentiels' du second ordre, etc.
Section V. — Théorie générale des points et tangentes multiples.
63. Nous allons maintenant appliquer la méthode indiquée dans le n® 59 à la recherche des points et tangentes multiples des courbes. Pour trouver en quels points la droite qui joint les points (a?',y, z'), [xf'^y^ z") rencontre la courbe, nous remplacerons dans Féquation x par \x' -{-^ko^^ ... et
nous obtiendrons, pour déterminer le rapport -9 une équation que nous pouvons désigner par A = o et qui peut s'écrire X«U'-l-X»-*HtAU' 4- î^X»-V'A'U'-H ... =0.
76 CHÀPITftE II*
Nous supposons ici que dans les quantités AU', • • • , qui ont le sens dont nous sommes convenus précédemment, nous avons remplacé x^ y, z par ccf^ y" y z^. Pour qu'un des points \x! -h Y.afj \y -i- [x^, \z' + ^zF coïncide avec a:', ^/ js', il faut évidemment qu'une des racines de Téquation A = o soit pi = o. Mais ce cas ne se présentera évidemment que si U' = o ; et il est, d*autre part, évident que la condition pour i\\xe{jc!^y^ z') soit sur la courbe consiste en ce que ses coordonnées substituées dans l'équation de la courbe doivent vérifier cette équation.
64. Deux des points suivant lesquels la droite rencontre la courbe coïncideront avec (j/, y^ z') si Téquation ci-dessus est divisible par p.*; c'est-à-dire si non seulement U'= o, mais aussi si AU' = o : or il est évident que, si la droite qui joint le point (jT^jj/, zf) de la courbe avec (x^,y, zf) rencontre celte courbe en deux points qui coïncident avec x', y y z\ le point (x"y y y zT) doit se trouver sur la tangente [ou les tangentes, quand il y en a plus d'une que l'on peut mener à la courbe au point [x\ y y V)] ; mais nous venons d'établir que, dans ce cas, (^, y'^y zf) doit satisfaire à l'équation
^U;^-JU;^-5U; = o.
Donc, en général, en un point donné d'une courbe, on ne peut mener qu'une seule tangente, et son équation est celle qu'on vient d'écrire. Il résulte aussi de là que la droite polaire d'un point situé sur la courbe est la tangente en ce point.
Toutes les courbes polaires du point (a/, y, z') seront tangentes à la courbe en ce point. En eflFet, on a démontré (n" 60) que la droite polaire du point relativement à la courbe U sera aussi la droite polaire de ce point par rapport à chacune des courbes polaires; or (n*' 61) les coordonnées (x', y, z') vérifient l'équation de chacune des courbes po-
PBOPRIÉTÉS aÉNÊBÀLES DBS GOUBBBS. 77
laires; donc, d'après ce qu^on a démontré, la droite polaire par rapport à Tune quelconque d'entre elles coïncidera avec la tangente.
65. Les points de contact des tangentes menées à une courbe par un point quelconque sont situées sur la première polaire de ce point. Ce théorème est un cas particulier de celui qu'on a démontré au n^ 61 ; mais on peut aussi rétablir directement de la même manière. On a montré que l'équation de la tangente au point (^',J^, 5') est
^^;+ru;-^--u; = o;
en échangeant entre elles les lettres accentuées et celles qui n'ont pas d'accent, nous indiquons que les coordonnées du point sur la tangente sont considérées comme connues et que celles du point de contact ne le sont pas; et nous voj'ons que ces dernières doivent satisfaire à l'équation
La courbe et sa première polaire se coupent évidemment en n[n — i) points, et comme, en chacun de ces points d'intersection, les équations U= o, AU = o seront vérifiées, nous voyons que d^un point donné on peut mener n{n — i ) tangentes à une courbe du n*^»* degré. Ou bien encore ( Sec^ lions coniqueSy n® 303) le degré de la polaire réciproque d^une courbe du n*^'^^ degré est en général égal à n {n — i).
66. Si cependant la courbe a un point double, on a établi (n® 62) que la première polaire d'un point donné quelconque doit passer par ce point double. Le point double (voir la note du n^ 4â) compte pour deux parmi les intersections de la courbe avec sa première polaire. Toutefois la droite qui joint le point (x", j^', -z^) au point double n'est pas une tangente dans le sens ordinaire du mot, quoiqu'elle soit compiise parmi les solutions du problème que nous avons dis*
78 CHàPITBB II.
eu té [à savoir : mener par(x^, y, ^ une droite qui rencontre la courbe en deux points coïncidents]; en effet, nous avons montré que toute droite issue d'un point double doit être considérée comme j rencontrant la courbe en deux points qui coïncident. Or le nombre total des solutions de ce problème étant toujours égal à /i(/i — i) (c'est-à-dire au nombre des points d'intersection de U et AU), le nombre des tangentes proprement dites qu'on peut mener à la courbe se trouve diminué de deux unités par cbaque point double situé sur la courbe ; autrement dit, le degré de la polaire réciproque d'une courbe du /i'^'"^ degré ayant 8 points doubles est n[n — i) — 20.
67. Si la courbe a un point de rebroussement, nous avons démontré (n^6â) que non seulement la première polaire passe par ce point, mais encore qu'elle a pour tangente la tangente au point de rebroussement. Par conséquent ( voir la note du n^ 42) ce point de rebroussement compte pour trois unités dans le nombre des intersections de la courbe avec sa première polaire, et le nombre des intersections qui restent se trouve diminué de trois unités pour chaque point de rebroussement que possède la courbe. Donc le degré de la polaire réciproque d^une courbe ayant 8 points doubles ordinaires et x rebroussements est
(*) Suivant Poncelet, Waring est le premier qui se soit occupé de chercher quel nombre de tangentes on peut mener d'un point donné à une courbe du n'*"* degré {Miscellanea analytica, p. 100). Il fixa ce nombre à n* au plus. Poncelet a montré {Annales de Gergonne, tome VIII, p. 21 3) que cette limite était trop élevée; que les points de contact se trouvent sur une courbe de degré (n — i) et que leur nombre ne peut dépasser n{n — i). Enfin PlQcker indiqua des cas où ce nombre est moindre que n{n — i) et expliqua complètement (comme nous le ferons plus loin) pourquoi on ne peut mener que n tangentes à la réciproque d'une courbe du n'**** degré, quoique cette réciproque soit, en général, du degré n {n — 1).
PROPRIÉTÉS GÉHÉRàLBS DBS COURBER. 79
68. Les mômes principes nous permettraient de reconnaître quel est l'effet d*un point multiple d'ordre supérieur quelconque sur le degré de la polaire réciproque. Un point multiple, de Tordre k^ serait (n^62) un point multiple de Tordre (A:— i) sur la première polaire, et par conséquent le nombre des intersections qui resteraient, et par suite le degré de la réciproque, seraient diminués de k[k — i) unités.
Nous avons montré (n"* 40) qu'un point multiple de Tordre A: équivaut k{k[k — i) points doubles, et que chacun d'eux diminuerait de deux unités le degré de la réciproque. Le résultat auquel nous venons d'arriver peut s'énoncer ainsi : Un point multiple produit sur le degré de la réciproque le mime effet que le nombre équivalent de points doubles. Ainsi, en général (voir le n® 58), pour un point multiple équivalent à V points doubles, x' rebroussements, t' tangentes doubles et inflexions, le degré de la réciproque se trouve diminué de 2 8' -h 3 x' unités.
69. Nous avons déjà vu que la droite joignant {a^^ y y z') et (ûcf^y^z^) rencontrera la courbe en deux points qui coïncideront avec (^,^, ^') si U' = o et si (x^y y" ^ zf) est choisi de manière à vérifier Téquation
Mais s'il arrive que les coordonnées af^y^z' satisfont en même temps aux trois équations U4 =0,112= o, Us = o, la seconde condition a:^U', -hj^ Uj -f- z^'U', = o sera vérifiée quels que soient o^, y, z!'. Le point (a:', j^, z') est alors un point double et toute droite menée par ce point rencontrera la courbe en deux points coïncidents.
Nous voyons ainsi que la courbe représentée par Téquation générale en coordonnées cartésiennes ou trilinéaires o'aura de points doubles que si les coefficients sont liés par une certaine relation. En effet, les trois courbes
8o chàpiteb II.
U| = o, Ua = o, Us == o n'auront en général aucun poîni commun, et par conséquent les fonctions Uf, V±f Us ne pourront toutes s'annuler en même temps. Si nous éliminons x^yjZ entre ces trois équations, nous obtiendrons une relation entre les coefficients, qui sera la condition pour que ces trois polaires se coupent, ou pour que la courbe U ait un point double. Cette condition est appelée le discriminctnt de la courbe. Par exemple {Sections coniques^ n** â92), nous avons trouvé le discriminant d'une conique en éliminant ^9 y 9 ^ entre les trois équations
ax -h hy H- ^5 = o, hx -{- by -h/z = o, gx -h/y -f- cz = o,
dont chacune doit être vérifiée par les coordonnées du point double si la courbe en a un, et nous avons obtenu
abc -h 2^;^// — ap — bg* — ch^ = o.
En général, le discriminant sera du degré Z(n — i)^ par rapport aux coefficients de l'équation donnée (voir Algèbre supérieure^ n** 76); en effet, puisque les trois équations dérivées sont chacune du degré n — i, leur résultante contiendra les coefficients de cAac£//ie d'elles au degré (n — i)^, et les coefficients des équations dérivées sont chacune du premier degré par rapport aux coefficients de l'équation (voir aussi V Algèbre supérieure^ n® lOS).
70. Nous pouvons appliquer ces principes à l'examen des conditions qui doivent être satisfaites quand la première polaire d'un point A, {x\ y ^ 2'), a un point double. Difléreniions l'équation
et employons pour représenter les dérivées secondes la notalion du n^ 59 ; nous vojons que, s'il existe un point double B ses coordonnées doivent satisfaire aux trois équations
ax'-hhy-\-gz'=Oy hx'-hby'-hfz'=io, gx' -hjy'^cz' =0.
PROPRIÉTÉS GÉIfÉ3ÀLES DHS COURRRS, 8l
Ce sonl là trois relations qui lient les coordonnées ^,y, z' du point A aux coordonnées or, y^ z du point double B, doDt a, b,. »• sont chacune des fonctions du degré (n — 2). Mais si nous comparons ces équations à celles que nous avons rappelées dans le numéro précédent, nous voyons qu en écrivant la conique polaire du point B sous la forme
ax- -h by^ -h cz* •+■ ^/yz -f- 2gzx -h 2hxy = o.
ces trois relations sont exactement les conditions qui doivent être remplies pour que A ou (a/, y, z') soit un point double de la conique polaire. Nous concluons de là que, si la première polaire d'unpoint quelconque A a un point double B, la conique polaire de B a un point double A, et réciproquement.
Entre les trois équations ci-dessus, nous pouvons éliminer x^f y, 5', et nous obtenons la relation
abc ■+- 2/gh — «y — bg* — c/d* == o,
qui doit être vérifiée par Xy y, z.
Cette équation est ainsi le lieu du point B, et il résulte de ce que nous avons ditqu'on peut le définir comme le lieu des points qui sont des points doubles sur les premières courbes polaires, ou bien comme le lieu des points dont les coniques polaires se décomposent en deux droites. Puisque les quotients différentiels du second ordre a, 6, c,... sont chacun du degré n — 2 en x, ^, z, l'équation qu'on vient d'écrire est du degré 3(/i — 2). La courbe qu'elle représente a des rapports importants avec la courbe donnée, dont elle est un covariant {Jllgèbre supérieure, n** 93). On l'appelle la hessienne de U, parce qu'elle a été étudiée pour la première fois par Hesse.
Si nous avions éliminé x^ y^ z entre les trois équations précédentes, l'éqnation résultante en o:', y, V donnerait le Heu des points A; on peut le définir soit comme le lieu des points S. — Courbes planes. C
Si CHAPITRE II.
dont la première polaire a un point double, soit comme le lieu des points qui sont des points doubles sur les coniques polaires. Nous appellerons ce lieu la steinérienne de U, parce qu'il a été étudié parle géomètre Steiner. Pour effectuer réellement Télimination dans un cas quelconque, il serait nécessaire d'écrire a, 6, . • . sous forme explicite ; mais nous pouvons voir facilement que Téquation résultante est du degré i{n — a)^, puisqu'elle est le résultat d'une élimination entre trois équations, dont chacune est du degré (n — a) et qui contiennent chacune Xy y, z au premier degré.
71. Revenons maintenant à Inéquation A = o; nous voyons qu'elle aura trois racines [x égales à zéro, ou que la droite en question rencontrera la courbe en trois points coïncidents, si les trois conditions U' = o, AU' = o, A* U' = o sont vérifiées. Considérons d'abord le cas où a^, y, z' est un point double; nous avons vu qu'alors U' et AU' s'annulent quelles que soient les valeurs dex^, j^, ^, et la troisième condition exprime que le point (^, j^, zf') doit être sur la conique polaire de (a:', y^ z'). Mais il est évident que le point {x"fy, -s") peut être un point quelconque de l'une ou l'autre des deux tangentes au point double, puisque chacune d'elles rencontre la courbe en trois points qui coïncident. Donc la conique polaire de {x'^y^ z') doit être identique avec ces deux droites, ou, en d'autres termes, Téquation du couple de tangentes au point double est A^U' = o, ou bien
a'jT* -h ù'y^ -4- c'5* -f- 2/'fz -1-2^' Z.V -h 2 h'jry = o.
Le point double étant un des points dont la conique polaire se décompose en deux droites, comme on vient de le «iémontrer, c'est un point de la hessienne et nous pouvons établir directement qu'il satisfait à cette équation. En effet, d'après le théorème des fonctions homogènes d'EuIer, les trois équations U'^ = o, U'^ = o, U3 = o, qui sont vérifiées
PEOPEltTtS GfiNfiEALBS DBS COUBBBS. 83
pour le poînl double, peuvent s'écrire
'a:'-hf/-^c'z' — o,
cl, en éliminant x' , ^, V, nous voyons que l'équation de la hessicnne est satisfaite pour le point double.
72. Le point double sera un rebroussement, si l'équalioD qui représente les deux tangentes est un carré parfait, c'est-à-dire si bc =/^, ca = g^, ab = h^. Ces trois équations n'équivalent qu'à une seule condition nouvelle, car, si Tune quelconque d'entre elles est vérifiée et si les coordonnées a:fj y y z! du point double ont des grandeurs finies quelconques, les autres doivent aussi être satisfaites. En effet, en
résolvant successivement par rapport à —,> ^ chaque couple
des équations données à la fin du Chapitre précédent, nous avons
z' "" ab — A« ~ ///— b^:,' "^ gh — a/
y gh — af ^ ,/> — cil __ cfl — .^* ^
7' "^ ab — /i« ~" /i/ — bg ■" gh — a/'
si donc ab^=^h^ et si aucun des rapports n'est infini, le numérateur et le dénominateur de chacune de ces fractions doivent s'annuler en même temps.
73. L'origine sera un point triple, si tous les quotients différentiels du second ordre a, 6, • • • s'annulent, car A^ U' est alors nul quels que soient x" ^ y, %^\ et si les coefficients différentiels du second ordre s'évanouissent, le théorème des fonctions homogènes montre qu'il en est de même pour ceux du premier ordre et par suite pour AU'. Donc toute droite issue de x\ y, x! rencontrera la courbe en trois • points
coïncidents, et il est évident que les trois tangentes en ce point seront données par Téquation A*U'= o.
Il n'y a aucune difBculté à étendre les mêmes considérationsaux points multiples d'ordre supérieur. Lepoint( a/, jk', z') est un point multiple de Tordre k, si les coefficients différentiels de l'ordre k — i s'annulent pour ce point, et- les tangentes au point multiple sont données par l'équation A*U'=o.
74. Examinons maintenant dans quel cas on peut mener une droite par un point (^, ^, z') d'une courbe (qui ne soit pas un point double) de manière qu'elle rencontre la courbe en trois points qui coïncident avec (^, y, z') ; pour fixer les idées, nous pouvons, dès l'abord, supposer que la courbe n'a pas de points multiples. Nous avons vu (n® 71 ) que tout point d'une pareille droite doit satisfaire aux conditions AU' = o, A»U'=o.
La première de ces équations indique que la droite doit coïncider avec la tangente en (x\ y', z')^ comme cela est évident géométriquement; la seconde exprime que tout point de la droite satisfait à l'équation de la conique polaire. L'équation de la conique polaire A^U' doit donc, dans ce cas, contenir l'équation de la droite AU' comme facteur; par conséquent, le point (x', y, z') doit être un des points dont les coniques polaires se décomposent en facteurs, autrement dit, il doit être un point de la hessienne (n® 70). El réciproquement, tout point où la hessienne rencontre U est un point où l'on peut mener une droite qui rencontre la courbe en trois points coïncidents : en d'autres termes, c'est un point d'inflexion. En effet (n** 64), la conique polaire de tout point de U est tangente à U en ce point; et si le point esr également situé sur la hessienne H et si, par conséquent, la conique polaire se décompose en deux facteurs, l'un de ces facteurs doit être la tangente en (^',y, z'). Tout point de la
tangente satisfera donc aux deux conditions AU'=o, A* U'= o. II en résulte alors que tout point d'intersection des courbes U, H sera un point d'inflexion sur U, et, comme H est du degré 3(/i — a), une courbe du degré naen générai 3/i(/i — 2) points d' inflexion.
75. Si cependant la courbe a des points multiples, le nombre des points d'inflexion subira une réduction. Nous avons déjà fait voir (n^ 71 ) que tout point double de la courbe est un point de la hessienne ; nous allons démontrer mainte* nant qu'il est aussi un point double sur cette dernière courbe, et plus généralement que tout point multiple de l'ordre k sur la courbe est un point multiple de l'ordre ik — 4 ^^^^ ^^ hessienne. La manière la plus commode d'établir ce théorème consiste à supposer que le point multiple a été pris pour origine et que, par conséquent, l'équation ne contient aucun terme en j: et ^ de degré inférieur à k. Cherchons quel est le degré des termes du degré le moins élevé en x et jk dans les quotients difi*érentiels du second ordre : il est bien clair que partout où Ton aura difl(érentié deux fois par rapport à X ou 7, l'ordre des termes de moindre degré sera k — a ; que dans les expressions difi<érentiées une seule fois par rapport à j; ou y, et une seule fois par rapport à Zj l'ordre sera ^ — i, et que quand les deuxdifiérentiations auront été faites par rapport à Zj l'ordre sera k ; on voit ainsi que les ordres des termes où le degré est le moins élevé seront respectivement
dansa, i, c,/, ^, A.
En combinantces résultats, nous reconnaissons que l'ordre des termes du degré le moins élevé dans chaque terme de
abc •+- '^fgh — a/* — bg'^ — ch^ sera 3* — 4.
86 CHAPITRÉ lU
Mais nous disons, de plus, que toute tangente en un point multiple de U sera aussi une tangente aupointmultiple de H. En effet, supposons que la droite ^ = o soit une tangente à l'origine, et que, par suite (n** 40), les termes de moindre degré en x et y contiennent tous x comme facteur; il est clair alors que x entrera aussi comme facteur dans les termes de moindre degré de chacun des quotients différentiels du second ordre où il n'y a pas eu de différentiation par rapport à x; c'est-à-dire quej; figurera comme facteur dans 6, c eif. Or un simple examen montre que chaque terme de
abc -h '^fgh — ap — bg^ — ch^ contient ou 6, ou c, ou / { * ).
76. Nous sommes maintenant en mesure de calculer de combien d'unités sera diminué le nombre des points d'inflexion, quand U aura des points multiples. Si U a un point double, celui-ci sera aussi un point double sur H et les deux tangentes seront communes aux deux courbes; mais (voir la note du n° 42) quand deux courbes ont un point double commun ainsi que les tangentes à ce point, ce dernier compte pour six unités dans le nombre de leurs intersections. Par conséquent, le nombre des intersections de U et H distinctes du point double sera réduit de 6, et nous en concluons que, si une courbe a 8 points doubles, le nombre de ses points d'inflexion sera 3n(/2 — a) — 68.
D'une manière analogue, si U a un point multiple d'ordre k^ nous avons vu qu'il figurera comme point multiple de l'ordre 3A* — 4 sur H et que ces deux courbes auront k tangentes communes. Le point multiple comptera donc parmi les inter-
(*) Comme exercice utile sur le n"* 56, nous recommandons au lecteur de démontrer que la hessienne et la courbe touchent les tangentes de côtés différents (Glebscdi Vorlesungenj p. 3 25).
PBOPBifiTtS GfiNfiRÀLBS DBS GOOBDES. 87
sections pour
A:(3A: — 4)-hA: = 6 xiA:(Ar — i) unités.
Or, nous avons vu (n® 40) que le point multiple en question équivaut à ^k{k — i) points doubles; donc le résultat que nous venons de trouver peut s'énoncer comme il suit : Le point multiple a exactement le même effet, pour ce qui regarde la réduction du nombre des points d^inflexion, que le nombre équivalent de points doubles,
77. Le cas où il existe un rebroussemenl sur U exige une étude spéciale. Prenons ce point pour origine et supposons que x=^o soit la tangente, de manière à mettre Téquation sous la forme
^«5«-«4- Kj5«-»4 . . . = o;
nous verrons alors que les ordres des termes du degré le moins élevé dans les quotients difierentiels du second ordre sont 0, I, 2, 2, I, I respectivement. En effet, les termes dont nous avons à nous occuper sont
a = 3C«-», 6= ^Ç^5«-», C~(/l — 2)(/l — 3)JC«5'» S Uj
dy ^ o \ du; cl y
Nous trouverons ainsi que l'ordre des termes du degré le moins élevé dans
abc -f- 2/^A — a/* — bg^ — cA'
est égala trois et que c'est seulement dans les termes abc et b^que l'ordre est aussi peu élevé ; or chacun de ces termes contient x* comme facteur. Donc, s'il existe un point de rebroussement sur U, ce point sera un point triple sur H et deux des tangentes en ce point triple coïncideront avec la tangente au point cuspidal. Mais quand deux courbes ont un
C8 CnAPITBB II.
point commuD, double sur l'une et triple sur 1 aocre, ce point compte pour six intersections, et si, de plus, deux tangentes au point double sont aussi tangentes au point triple, les courbes ont en commun deux points consécutifs de plus, et par conséquent ce point compte en tout pour huit intersections. Donc, si une courbe a 8 points doubles et x rebroussements, le nombre de ces points d'inflexion sera égal à 3/i(/i — 2) — 65 — 8x.
78. Nous ferons voir plus tard comment on peut faire usage de l'équation A = o pour discuter les conditions relatives aux tangentes doubles; mais, cette recherche étantun peudifGcile, nous la laissons de côté pour le moment. Nous allons montrer actuellement que les résultats déjà obtenus, combinés avec la théorie des courbes réciproques, sont suiTisanls pour déterminer indirectement le nombre des tangentes doubles d'une courbe du /i'*"* ordre.
L'équation du système de tangentes que l'on peut mener à la courbe d'un point quelconque (^, J^, 2!) peut se déduire de l'équation A = o par la méthode déjà employée {Sections coniques, n^* 92, 294). Un point quelconque situé sur l'une de ces tangentes jouit évidemment de la propriété que la droite qui le joint à (j/, y, z') rencontre la courbe en deux. |)oints consécutifs, et, dans ce cas, l'équation A = o aura deux racines égales. Nous formerons donc l'équation du système des tangentes en égalant à zéro le discriminant de l'équation A considérée comme une forme binaire en X, p..
Supposons, par exemple, que U soit une courbe du troisième ordre. Alors A est
X»U'-t- XVA'H- Xfi'A -+- fi»U =0.
Ici, pour abréger, nous avons écrit A' et A à la place de AU' et AU. Le discriminant de A égalé à zéro est
(27UU'»4-4A''-l8AA'U')Ur=(A'»— 4AU')A».
U, ^f M sont respectivement du troisième, du deuxième et du premier degré en Xy y^ z; et, comme l'équation qui précède est du sixième degré, on voit que par (j/, y', x!) on peut mener six tangentes à U, comme nous le savions déjà.
La forme de l'équation montre qu'elle représente un lieu tangent à U aux points où A rencontre cette courbe. Les autres points où U coupe le lieu sont situés sur la courbe A'^— 4^U'= o. Donc, sid'unpointquelconque on mène six tangentes à une courbe du troisième degré, leurs six points de contact se trouv^ent sur une même conique \ = o et les six autres points où ces tangentes rencontrent à nouveau la courbe sont situés sur une autre conique A'* — 4^U' = o; ces deux coniques ont évidemment un double contact aux points ^=zOy A' = 0.
Si 2:',^, z' est sur la courbe, U' est égal à zéro, A se réduit àX*A'-f- XjjlA + [x^U : en égalant à z *ro le discriminant, nous ayons pour résultat- A^ = 4 A' U; c'est une équation du quatrième degré en xyz. Donc, par un point d'une courbe du troisième ordre, on ne peut en général mener que quatre tangentes à cette courbe. La tangente au point de contact compte par le fait pour deux tangentes.
