D,E|~D,E,)F, = (AÎ-AÎ)C

le second membre de cette dernière équation représente trois lignes droites; donc le premier doit représenter les trois raêmesdroites. Parconséquenty un des facteurs deD|E| — DjEj doit être la droite C, qui passe par les points DfD^, E(E]. L'autre facteur, qui joint les points DfEs, DjEi, doit être A| ±: Aa, F, étant égal à A, qi A2. Nous voyons ainsi que les deux dernières droites et les deux cordes Ai , A2 forment un faisceau harmonique dont le sommet est le point de contact de Fi . Nous appliquerons plus tard ce théorème au cas où les points c et c' sont les points imaginaires de Tinfini I, J; les points D4E2, D2E1 sont alors des foyers et F( est une tangente parallèle à la seule asymptote réelle que possède la courbe.

Si les points c, c' coïncident, la droite qui réunit c au point de contact de F|, la droite F| elle-même et les deu\ cordes A|,A2 forment un faisceau harmonique.

153. On peut déduire de là un autre théorème de Mac Laurin. Une droite quelconque issue d^un point A d'une cubique est divisée harmonique ment par les deux points ^, y, où elle rencontre de nouveau la cubique, et par les deux ])oints S, B' où elle rencontre un couple de cordes joignant les points de contact de tangentes menées par A. Supposons que la droite rencontre la tangente c' au point c; comme elle coupe A| et B| en A, nous aurons, d'après le n® 126,

ou bien

c3 OY û.\ ce

Mais, d'après le numéro précédent, 83' est une moyenne harmonique entre SA et Se; elle jouit donc aussi de la même propriété pour 8^ et 8y.

Si la courbe a un point double, on ne peut lui mener que deux tangentes par ce point; mais le théorème de ce numéro sera encore exact si nous remplaçons la corde D par la droite qui joint le double point au point où la corde D rencontre de nouveau la courbe.

154. Nous allons encore indiquer une application du théorème, que toutes les cubiques qui passent par huit points fiies d^une cubique passent aussi par un neuvième point fixe. Si par quatre points fixes d'une cubique on fait passer une conique j la corde qui réunit les deux autres points d/ intersection de cette conique avec la cubique passera par un point fixe situé sur cette dernière courbe. Considérons une conique passant par les quatre points (a) et rencontrant la courbe aux deux autres points (P) et imaginons une seconde conique passant par les points (a) et par deux autres points (^'}; la conique qui passe par a, ^ et la droite qui réunit les deux points ^' constituent une cu)3ique passant par les huit points a, ^, ^'; de même, la conique qui passe par s, ^' et la droite qui joint les points ^ constituent une seconde cubique passant par les mêmes points ; donc le neuvième point d'intersection avec la courbe doit être commun à ces deux systèmes, c'est-à-dire que les droites qui joignent les points p^ P' rencontrent la courbe au même point.

Dans l'édition précédente de cet Ouvrage, nous avions appelé ce point Vopposé du système des quatre points donnés ; aujourd'hui nous nous conformerons à la nomenclature de la remarquable théorie de résiduation donnée par M. Sylvester et que nous exposerons bientôt; nous dirons en conséquence que le point en question est le corésiduel du système des quatre points.

S. — Courbes planes. , . i3

Ce point se construit facilement en prenant pour la conique passant par les quatre points un couple de lignes droites. Supposons que la droite qui joint les points i , 2 et celle qui réunit les points 3, 4 rencontrent respectivement la cubique aux points 5, 6; la droite menée par 5, 6 coupera la courbe suivant le corésiduel cherché. Et comme le groupement des quatre points est arbitraire, il est bien clair que la construction peut se faire de trois manières difiereotes.

Par exemple, nous déduisons de ces propriétés que, par quatre points d^une cubique, on peut mener quatre coniques qui soient tangentes à la courbe en d'autres points; ce sont les coniques qui passent par les points de contact des quatre tangentes que l'on peut mener à la courbe par le corésiduel.

1S5. Appliquons la règle qu'on vient de donner pour construire le corésiduel, dans le cas où l'on considère quatre points consécutifs de la courbe. La droite qui joint les points 1 , 12 est alors une tangente, et le point 5, où elle coupe la courbe, est le tangentiel du point i ; de même la droite 3, 4 rencontre la courbe en un point 6 qui est consécutif au point 5 ; il en résulte que le corésiduel cherché est le point où la tangente au point tangentiel 5 rencontre de nouveau la courbe; autrement dit, c'est le tangentiel du tangentiel, ou bien, comme nous l'appellerons, le second tangentiel.

Si, par exemple, on demande de mener une conique qui passe par quatre points consécutifs, ou, suivant l'expression usitée, qui ait un contact quartiponctuel avec la courbe, et qui lui soit tangente en un autre point, ce point de contact sera, comme nous l'avons vu, un point de contact des tangentes menées à la courbe par le second tangentiel. L'un d'eux est le tangentiel du point (i) et la conique correspondante dégénère en deux droites; les trois autres points donnent les autres solutions du problème.

Si l'on demande encore de décrire une conique qui passe

COURBES DC TROISIÈME ORDRE. igb

par cinq points consécutifs de la courbe (ou qui ait un contact quintiponctuel avec la courbe), on résoudra le problème en construisant le sixième point où la conique coupe la cubique; ce sera le point où la droite qui réunit le point (i) à son second tangentiel rencontre de nouveau la courbe.

Pour que ce point puisse coïncider avec le point (i), il est nécessaire que la droite dont on vient de parler en dernier lieu soit tangente en(i) à la courbe; ou, ce qui revient au même, il est nécessaire que le premier et le second tangentiel coïncident. Mais un point qui coïncide avec son tangentiel est un point d'inflexion : donc sur une cubique non singulière, il y a vingt'Sept points où Von peut mener une conique ayant avec la courbe un contact sextiponctuel ; ce sont les points de contact des trois tangentes que ton peut mener par chacun des neuj points d'inflexion,

1S6. Le théorème (n** 29) énoncé pour l'intersection de deux cubiques a été généralisé dans le n^ 33. Le théorème que renferme ce dernier article s'applique au cas de la cubique en posant /? = 3 ; il s'énonce comme il suit : Toute courbe de degré n qui passe par 3 n — i points fixes (V une cubique passe par un autre point fixe sur cette cubique. Il faut remarquer que pour /i = i ou n = 2 on ne peut décrire qu'une seule courbe de degré n qui passe par 3 n — I points de la cubique, et le théorème ne nous apprend rien ; quand n est plus grand que 2, on peut décrire plus (l'une de ces courbes et elles passent toutes par un autre point fixe de la courbe, ainsi qu'on l'a établi. Et, comme on l'a exposé dans le n® 33, si l'on cherchait à décrire une courbe du n""* ordre par 3/i points pris arbitrairement sur une cubique, n étant plus grand que 2, la courbe qu'on formerait ainsi ne serait pas une courbe proprement dite de cet ordre, mais un système composé de la cubique elle-même et d'une courbe d'ordre n — 3.

157. Siy parmi les i(m + n) intersections d'une courbe de degré (m -|- /i) avec une cubique^ il s* en trouve 3/n sur une courbe du /n'^*** ordre 1)^? les 3n autres points restants sont situés sur une courbe du n'*'"* ordre. On a remarqué en effet que, par 3 n — i de ces 3 n points on peut toujours décrire une courbe du n**"* ordre U^ ; celle-ci constitue avec Um un système de l'ordre (m -|- n) qui (n® 156) passe par le point restant; et comme ce point ne peut être situé sur Umf qui rencontre déjà la cubique en 3 m points, il doit se trouver sur U^.

158. Nous allons maintenant exposer la nomenclature in> troduite par M. Sylvester, et, tout en nous y conformant, nous établirons, à nouveau et nous généraliserons quelquesunes des propositions précédentes. Si deux systèmes de points a, ^ considérés ensemble constituent Tintersection complète d'une courbe d'ordre quelconque avec la cubique, l'un de ces systèmes est dit le résiduel de l'autre. Comme le nombre total des intersections d'une cubique avec une courbe quelconque doit être un multiple de trois, il est évident que, si le nombre des points du système a est de la forme 3/? -h I, celui dans le système ^ doit être de la forme 3 y — i, et réciproquement. Nous pouvons donner respectivement à ces systèmes la dénomination de système positif eX, système négatif et dire que le résiduel d'un système positif est un système négatif, et inversement. Le système positif le plus simple se compose d'un point unique correspondant à /?== o ; le système négatif le plus simple consiste en un couple de points répondant à ^ = 1. Dans ce cas, l'un est évidemnaeDt le résiduel de l'autre, quand les trois points sont situés sur une même ligne droite. Par un système donné de points a on peut décrire une infinité de courbes de différents ordres ; il est donc évident qu'un système donné de points a a une infinitr de résiduels p, P', P'', .... Deux systèmes de points p, p' sont

dits corésiduelSf quand ils sont tous deux les résiduels d^un même système a. Par exemple, dans le n® 151, nous avons supposé que par quatre points a d^une cubique on avait mené des coniques coupant à nouveau la courbe en des couples de points ^, ^', ... ; Tun quelconque de ces couples de points est un résiduel de a, et deux quelconques d^enlre eux sont corésiduels. De même, si la droite menée parle couple ^rencontre de nouveau la courbe en un point a', ce point est UD résiduel du groupe ^ aussi bien que les quatre points originaux; ce point a' est donc, comme nous Tavons déjà nommé, corésiduel avec les quatre points a. Il est évident que deux systèmes corésiduels de points doivent être tous deux positifs ou tous deux négatifs.

Le théorème du a? 156 peut s'énoncer comme il suit : Deux points qui sont corésiduels doivent coïncider. En effet, nous avons vu que si par Zp — i points a nous décrivons une courbe U^i, rencontrant la cubique au point résiduel ^, et si par les mêmes points a nous décrivons une seconde courbe du y[>'*"« ordre rencontrant de nouveau la cubique en un point ^', les deux points corésiduels ^, ^' auxquels on arrive par les deux opérations sont un seul et même point.

159. Si deux systèmes p, P' sont corésiduels, un système quelconque a! ^ quiestun résiduel de Fun^ sera aussi un résiduel de Vautre. Supposons que par un système quelconque a on ait décrit deux courbes U^,, Uç qui rencontrent à nouveau la courbe suivant les systèmes P, ^' ; ces deux systèmes sont par définition corésiduels ; et ce que nous énonçons maintenant c'est que, si par ^' on mène une courbe quelconque Ur qui coupe à nouveau la cubique suivant un système de points a', les points ^ et a' constitueront aussi Tintersection complète d'une courbe avec la cubique. En effet, les systèmes a et ^ considérés ensemble constituent l'intersection d'une courbe U^, avec la cubique, et a! et ^' forment Fin-

198 CHAPITRE y.

tersection de cette dernière avec une courbe Ur ; les quatre systèmes considérés ensemble constituent donc rintersection de la cubique par une courbe dont Tordre est /> + r; mais les systèmes a et ^' ensemble donnent l'intersection de la cubique avec la courbe U^ d'ordre q ; donc (n® 157) les systèmes ensemble constituent l'intersection complète de la cubique a! et p avec une courbe d'ordre p + r — q.

Donc aussi deux systèmes qui sont corésiduels au même système sont corésiduels Cunà Vautre. Si p et P' sont corésiduels, comme ayant un résiduel commun a, et si ^'et ^^ ont un résiduel commun a', d'après ce qu'on vient de démontrer, a est aussi un résiduel de P"et a' de P; c'est-à-dire que si p, ^'^ sont chacun corésiduels avec P', Pet P'*^ sont corésiduels Tun à l'autre, car a, et! sont chacun un corésiduel commun de p, P^.

160. Nous pouvons maintenantdonner du théorème (n^l5i) une démonstration qui conduira immédiatement à la généralisation que M. Sylvester a fait connaître pour ce théorème. La conique menée par quatre points a d'une cubique rencontre la courbe en deux points p qui sont un résiduel du système a. La droite menée par les deux points P rencontre la courbe en un point a' qui est résiduel à P et par suite corésiduel à a. Si nous répétions la même opération avec une conique différente, nous arriverions à un point a'' qui serait aussi corésiduel au système a et par suite au point a'; et les deux points a', a'' étant corésiduels doivent coïncider (n** 158). Or, il est évident, en premier lieu, que la même démonstration ne cesserait pas d'être exacte si, au lieu de quatre points, nous partions d'un système positif de 3 /? -h i points P. Une courbe d'ordre /> + 1 menée par ces points rencontre la cubique en deux autres points, et la droite qui les joint coupe la courbe en un point corésiduel à Pet qui reste le même quelle que soit la courbe d'ordre /? -f- 1 . Mais, en second lieu, au lieu de passer du groupe P au point corésiduel par deux étapes,

COURBES DU TROISlfeUB ORDRE. 1^9

nous pourrions employer un nombre pair quelconque de ces étapes. Ainsi, parles 3/7+1 points P décrivons une courbe Mp^r • le résiduel est le système négatif N de 3r — i points. Par N menons une courbe Ur+j, et nous obtenons un résiduel P'de 3^+ I points. De la même manière, de V nous pouvons obtenir un résiduel de 3 ^ — i points, et ainsi de suite. A cette étape, ou bien à Tune des suivantes, où nous avons un système négatif de 3^ — i points, si nous faisons passer parées points une courbe U^, nous pouvons obtenir un résiduel formé d'un point unique. Le théorème de M. Sylvester consiste en ce que ce point est le même dans tous les cas, quel que soit le procédé de résiduation par lequel on y sera arrivé. En effet, le système N est résiduel de P; F est résiduel de N et corésiduel de P; N'est résiduel de F, corésiduel de N et par suite aussi résiduel deP, et ainsi de suite. Tout système positif dans la série est résiduel à tout système négatif et corésiduel à tout système positif. Donc le point auquel nous arrivons finalement est corésiduel au système original positif et doit être identique avec le point corésiduel du même syslèmeobtenu par un autre procédé. Par exemple, si par quatre points nous décrivons une cubique qui coupe la courbe en cinq autres points^ si par ces cinq points nous menons une antre cubique qui donne un résiduel de quatre autres points, par ces quatre points une quartique donnant un résiduel de huit points, et finalement par ces huit derniers une cubique coupant la courbe en un autre point, ce point est le même que celui qu'on aurait déduit des quatre points primitifs par le procédé du n** 154. Et de même, en partant d'un système négatif quelconque de Z q — i points N, nous pouvons, après on nombre impair d'opérations intermédiaires, arriver à un point unique qui sera le résiduel du système primitif et, comme tel, indépendant du mode particulier de résiduation.