OU~2dOr

Il est évident que deux points déterminent la droite polaire ; par conséquent, si deux droites menées par O rencontrent deux courbes aux mêmes points R|,R2,- • .,S|,S2,.-.la polaire de O, par rapport aux deux courbes, devraétre la même droite, puisque deux de ses points R et S sont les mêmes pour toutes les deux. Ceci sera également vrai si les deux droites OR, OS se confondent, c'est-à-dire que, si deux courbes de degré n sont tangentes en n points situés sur une droite, la polaire

PÔLES ET POLAIRES^ I7I

d^un point guelcom/ue de cette droite sera la même pour les deux courbes, et par conséquent, si un rayon vecteur mené par ce point rencontre les deux courbes, nous devrons avoir

2rfOa 2dOr'

137. Nous savons que le centre d'une conique peut être (onsidéré comme le pôle par rapport à la courbe de la droite 'le riofini. Pour les courbes d'ordre supérieur, toute ligne droite a (n — i)* pôles (n® 61), et par conséquent il n'existe pas, pour une courbe d'ordre supérieur au second, de point unique qui corresponde au centre d'une conique. La chose est toute différente si nous considérons des courbes de classe supérieure. Les recherches précédentes sont évidemment applicables aussi aux courbes exprimées à l'aide de coordonnées lange ntielles; et de cette manière, toute droite a un pôle, une courbe polaire de seconde, troisième ..., classe f't finalement une courbe polaire de la (/i — i)'*"* classe, touchée par les n tangentes aux points où la ligne droite rencontre la courbe. Si donc l'équation d'une courbe est exprimée en coordonnées tangentielles, el si nous cherchons le pôle de la droite de l'infini, nous trouverons un point unique.

Examinons quelles sont les propriétés métriques du pôle d'une droite exprimée en coordonnées tangentielles, et, en particulier, du pôle de la droite de l'infini. Nous prenons le système du n** 19 où les coordonnées d'une droite sont proportionnelles aux perpendiculaires abaissées sur cette ligne de trois points fixes ; on voit alors sans difficulté que / : m représente le rapport des sinus des angles suivant lesquels rang\e compris entre les Jeux droites (a, p, y), (a', P', y') est di\isé par la droite loL-^-mv!, l^ -f-mP', /y + '^Y'- I-'^fl"»" tion qui correspond à A = o détermine le rapport des sinus

des angles suivant lesquels l^angle compris entre les deux droites est divisé par chacune des tangentes qu'on peut mener de leur point d'intersection à une courbe de la n**"' classe. On voit aussi, comme dans le n" 1 33, que le pôle Rd'une droite quelconque jouit de la propriété exprimée par la rela-

lion > ( . r> pr\) = o, dans laquelle P est un point variable sur la droite donnée, R|, R21 ... sont les points de contact de tangentes menées par le point P, et O est un point fixe sur la droite donnée. Ainsi, pour une courbe de la seconde classe, la relation dont il s'agit ici est la suivante :

sin RPR, sîn RPR> siiTHiPÛ "^ siiiKjPO ~ ^'

c'est-à-dire : Si d^un point P, pris sur une droite fixe OP, nous menons les tangentes PR^, PR2 à une conique, et si nous traçons PR de telle manière que [P.ORi'RRa] soit un faisceau harmonique, OK passera par un point fixe* C'est la définition fondamentale du pôle et de la polaire par rapport à une conique considérée comme une courbe de seconde classe.

iv^ -11.- V /sin RPR, \ .

JNous pouvons écrire la relation > ( -; — ,. ., , | = 0 sous vx

forme N (îTTr ) = ^> ^*« étant le pied de la perpendiculair.;

abaissée de R4 sur la droite RP et 0| le pied de la perpendiculaire abaissée du même point sur la droite OP. Supposons maintenant que la droite OP s'éloigne à Tinfini ; tous les dénominateurs de cette dernière somme tendent à devenir égaux entre eux, et nous avons simplement S(M4R|) = o; autrement dit, la somme des perpendiculaires abaissées des poinii de contact d'un système de tangentes parallèles sur une droite parallèle menée par R est nulle. En d'autres termes, le centre des moyennes distances des points de contact d^un système quelconque de tangentes parallèles menées à une courbe

donnée est un point fixe qui peut être considéré comme un centre de la courbe. Ainsi, dans une conique, le point milieu de la droite qui joint les points de contact de tangentes parallèles est un point fixe; dans une courbe de troisième classe, c'est le centre de gravité du triangle qu'ils formenl.... Ce théorème est dûà M.Chasles (Çwc^efe^, VI, 8),

138. Nous avons montré (Sections coniques, n® 279) que les foyers des coniques jouissent de la propriété que les droites qui les joignent aux points circulaires à Finfini sont tangentes à la courbe. Ceci nous conduit à la définition suivante des foyers en général ; un point F est dit le foyer d^une courbe, quand les droites FI, FJ sont toutes deux tangentes à la courbe, ou, en d'autres term«s, quand il est rintersection d'une tangente passant par I avec une tangente passant par J (*). Une courbe de la n**"* classe a en général n^ foyers, qui sont les intersections des n tangentes I avec les n tangentes J. Mais la courbe étant réelle, n et seulement n de ces foyers sont réels; en eflet,réquation d'une des tangentes I étant de la forme A -f- Bt = o (où A et B sont des fonctions linéaires des coordonnées), celle d'une des tangentes J sera A — hi = o ; ces droites se couperont au point réel A = o, B= o et il n'y aura pas d'autre point réel sur l'une ou l'autre de ces tangentes. Ainsi une conique (/i = 2) a quatre foyers, dont deux seulement sont réels.

Dans ce qui précède, nous avons supposé que les points I, J n'ont aucune position particulière parrapport à la courbe. Admettons maintenant que la droite IJ soit une tangente ordinaire ou singulière en un ou plusieurs points A, B, . . . ; pour le moment, nous supposerons que ces points soient distincts des

(1) Cette conccplion est due à Pluckcr {Journal de Creliej t. X, p. 8{).

points I, J; adineltonsque IJ compte «^ fois parmi les tangentes menées de I ou J à la courbe. Les tangentes I se composerool alors de la droite IJ comptée^ fois et de n — g autres tangentes; il en sera de même pour les tangentes!. Les seuls foyers qui ne soient pas à Tinfini seront évidemment les intersections des (n — g) tangentes I avec les {n — g) tangentes J; il existe (n — gY foyers à distance finie, dont n — g seulement sont réels, comme plus haut. Le nombre total des n^ foyers se compose de ces {n — g)^ foyers, du point I qui compte g (n — g) fois [il est en effet Tintersection de chacune des (n — g) tangentes I avec chacune des tangentes J qui coïncident avec IJ], du point J compté g (n — g) fois, et enfin des g^ intersections des tangentes I, confondues avec IJ, avec les g tangentes J qui coïncident avec cette même droite. Dans ce dernier cas, nous devons considérer toute tangente I, telle que lA, comme rencontrant la tangente J correspondante JÂ au point de contact A; mais son point d'intersection avec une autre tangente J, telle que JB, sera indéterminé. Par exemple, si la droite de l'infini est tangente ù la courbe en g points réels, il y aura encore n foyers réels, à savoir n — g foyers à distance finie et les ^ points de contact de IJ avec la courbe ( * ). En particulier, la parabole [n = 2, g= i) a un seul foyer à distance finie; l'autre foyer réel est situé à distance infinie sur la direction de l'axe.

Supposons que le point I soit sur la courbe ; si nous supposons la courbe réelle, le point J est aussi sur la courbe, ei, si I est un point singulier, J présentera le même genre de singularité. Bornons pour le moment notre examen au cas où ces. points sont tous deux des points ordinaires; les n — ^ tangentes I se composent de la tangente en I comptée deux fois et des n — g — 2 autre* tangentes ; il en est de même pour

(!) M. Cayley pense qu'il vaut mieux considérer qu'il n'y a que (/i — ^)* foyers, et consi-queinment que les seuls foyers réels sont les (/i — g) foyers.

les tangentes J. Les (n — gy foyers se trouvent alors constitués comme il suit : {^intersection réelle des tangentes en I et J, qui compte pour quatre points ; les [n — g — a) intersections imaginaires de la tangente en I avec les (n — g — 2) tangentes J, qui chacune comptent pour deux ; les(/i — g — a) intersections imaginaires de la tangente en J avec les [n— g — a)tangentes I, chacune comptant aussi pourdeux; et enfin les {n — g — a)* intersections des deux systèmes de [n—g — a) tangentes. Parmi ces derniers points, on voit, comme plus haut, que n — g — 2 et seulement {n — g — a ) sont réels et l'intersection des tangentes en I et en J prend la place de deux des n — g foyers réels. Si donc nous n'avons égard qu'aux foyers réels, nous dirons que ce point est un foyer double ; nous employons cette locution parce qu'elle est commode; nous venons néanmoins de voir que ce point aurait dû être appelé foyer quadruple, si nous avions tenu compte des foyers imaginaires aussi bien que des foyers réels. Ainsi, dans le cas du cercle, le seul foyer est le centre; nous devrons le regarder comme un foyer quadruple, si nous considérons qu'il tient la place des quatre foyers qu'une conique possède en général; nous pourrons cependant le traiter comme un foyer double, si nous avons seulement égard aux deux foyers réels.

D'une manière analogue, si chacun des points I, J est un point multiple d'ordre / sur la courbe, on voit, en suivant la même marche, qu'il y a /=* foyers qui comptent chacun pour quatre et dont/ sont réels; a/(n — g — a/) foyers imaginaires qui comptent chacun pour deux, et (n — g — a/)* foyers simples, parmi lesquels n — g — a/ sont roels. Eu considérant à la fois les foyers réels et imaginaires, nous dirions qu'il y a /• foyers quadruples, a/(/i — g — a/) doubles, et(/i — g — if Y simples; mais, en n'ayant égard qu'aux foyers réels, nous pouvons dire qu'il y a / foyers doubles, (/i — g — 2) foyers simples et g foyers à l'infini.

176 CHAPITRE lY.

Si chacun des points I et J est un point d'inflexion ou de rebrousseraenty la tangente en I ou J figure trois fois parmi les tangentes I ou J, et l'on peut mener de chacun de ces points /i — g — 3 autres tangentes. Les [n — gY foyers se composent, comme on Ta vu plus haut, d'un foyer comptant pour neuf, de (n — g — 3)-f-(/i — g — 3) autres foyers qui comptent chacun pour trois et de (/i — g — 3)' fo\ers simples. Parmi ces derniers, n — g — 3 sont réels, et le seul autre foyer réel est le point d'intersection des tangentes en I et J, qu'on appelle généralement nn foyer triple parce qu'il compte pour trois dans le nombre des foyers réels; on devrait néanmoins le regarder comme un foyer d'un ordre de multiplicité égal à neuf, si l'on tenait compte de tous les foyers tant réels qu'imaginaires. Il n'y a aucune difficulté à étendre la théorie aux cas où I et J sont des points multiples d'ordre supérieur, dans lesquels plusieurs tangentes coïncident, ou bien encore quand ils se trouvent en des points où la tangente présente avec la courbe un contact d'ordre supérieur au second; ou bien enfin quand ces points sont des points ordinaires ou singuliers ayant IJ pour tangente commune.

139. Etant donnés deux foyers réels A, A' d'une courbe, les droites AI, AJ; A'I, A'J se rencontrent en deux points imaginaires B, B' qui sont aussi des foyers de la courbe ; et la relation qui existe entre ces deux couples de points consiste en ce que les droites AA', BB se partagent mutuellement en deux parties égales et sont perpendiculaires l'une à l'autre en un point O tel que OA (= OA') est égal à lOB (= «OB'). Les points A, A' et B, B' ont été nommés anti-points. Celte relati )n se rencontre fréquemment en Géométrie plane : ainsi une conique a deux couples de foyers qui sont anti-points les uns des autres ; tout cercle mené par A, A' coupe orthogonalement un cercle quelconque qui passe par B, B'. Nous devons ajouter

que, si nous connaissons les n foyers réels, nous pourrons former avec eux \n[n — 1) couples de droites; chacun de ces couples de droites donnera naissance à un couple d'antipoints, et nous obtiendrons ainsi les n^ — n foyers restants.

140. On détermine les coordonnées des foyers d^une courbe en formant l'équation des tangentes que l'on peut mener à la courbe par le point I. Cette équation sera de la forme P-+- iQ=:o, l'équation correspondante pour J sera P — t Q=o, et les intersections des deux systèmes de tangentes seront données par les équations P = o, Q = o. Si nous représentons par U| , U2 les dérivées premières de U par rapport à x et r, parllnj UujUaal^s dérivées secondes, .. ., l'équation du système des tangentes qui passent par( i, i, 0) s'obtient (n^'TS) en formant le discriminant de *

X"U 4- X'-^CU, -h iVr) 4- iX«-«(UH -H 2iUn-U„)+ ... =0.

Si, par exemple, la courbe est une conique, le discriminant en question est

[Uî-U5-2U(Uh-U„)]4-2i[UiU,-2UU,,],

et l'on trouvera les foyers en égalant séparément à zéro les parties réelles et imaginaires. En combinant ces deux équations, nous formerons les équations des deux droites (lîs axes) sur lesquelles sont situés les foyers

U,.(Ui-UÎ)-(Uu-U„)U,U, = o.

Les mêmes équations déterminent les foyers d'une cubique qui passe par les points I, J ; d'une courbe du quatrième degré qui a ces deux points pour points doubles ... ; car on voit facilement que, dans l'un quelconque de ces cas, tous les termes, autres que ceux qu'on vient d'écrire ci-dessus, disparaissent de l'équation dont il faut former le discriminant. S. — Cou/bes planes. la

lil. Nous pouvons aussi déterminer les foyers, comme dans les Sections coniques, n^ S58| en formant la condition pour que la droite x — xf -{- i{y — ^)=o soit tangente à la courbe; ou, en d'autres termes, en remplaçant dans Téquation tangentielle a, p, y par i, i, — [x -^ iy). Les parties réelles et imaginaires de l'équation, séparément égalées à zéro, déterminent les coordonnées des foyers. Il n'est pas difficile de trouver une interprétation géométrique réelle de chacune de ces équations. Supposons que la condition de contact de ^ — ^-^ p(j" — y)= ^ ^ivec la courbe soit écrite sous la forme

ap" -h bp"-^ -h c/;"-* -h ...=:= o fl, 6, ... étant des fonctions de ^r', y ; d'après la théorie des équations ? -, . . . sont la somme, la somme des produits

deux à deux, etc., des tangentes trigonométriques des angles que les tangentes menées à la courbe par le point (x^^y) font avec l'axe des x» Si maintenant nous posons /> = t et si nous égalons à zéro les parties réelles et imaginaires de l'équation, nous obtenons les deux relations

a — c -h e — . . . = G, b — d-hf — ...tzzo.

D'après la formule bien connue pour la tangente de la somme de plusieurs angles, la seconde de ces relations exprime que la somme des angles que les tangentes menées par x'^ y font avec l'axe des x est égale à zéro, ou à un multiple de 7c; la première équation exprime que la somme des

angles est un multiple impair de -•

Donc le lieu d'un point tel que les tangentes menées de ce point à une courbe de /i'*"* classe fassent avec une droite fixe des angles dont la somme soit égale à une quantité donnée est une courbe du degré n. Si l'on choisît

la droite fixe pour axe des Xy on voit facilement que Téqualion de celte courbe est

Quelle que soit la droite fixe ou Tangle, le lieu passera par les fo}^ers de la courbe. Ce résultat peut sembler paradoxal, puisqu'il en résulte que la somme des angles comprît» entre une droite quelconque et les tangentes issues d'un foyer peut être rendue égale à une quantité donnée quelconque. La raison en est que les tangentes de deux de ces angles sont égales à dz i, que la tangente de leur difTérencc

5e présente sous la forme -> et qu'elle peut être une quantiU:

quelconque. En effet, si tangcp = t, ^ peut être regardé comme un angle infini, puisqu'il jouit de la propriété que sin^ = coscp = 00 et tang(^ -}- a)= tangcp; et 4a diffiérencc de deux infinis est indéterminée.

Nous avons vu (n^ 110) qu'une tangente menée par un des points I, J coïncide avec la normale; il s'ensuit que tout foyer d'une courbe est aussi un foyer de sa développée et de sa développante.

142. Si Ton exprime l'équation de la courbe au moyen des coordonnées tangentielles(n^l9,et<Sec^io/25CO/z{9e/e5,n° 403) dans lesquelles les variables sont les perpendiculaires abaissées de trois points fixes sur une droite quelconque, on peut déduire de cette équation une importante propriété des perpendiculaires abaissées des foyers sur une tangente quelconque. Soient a, p, y? ^> • • • 1®^ n foyers et soient w, w' les points I, J; puisque les droites aw, aco', . . . doivent être des tangentes à la courbe, l'équation tangentielle doit être de la forme a^f^ . . . = u>u>'f , où (f est une fonction du n — 2'^"* ordre par rapport aux coordonnées de droite. Pour les courbes de la seconde classe, cette équation conduit immédiatement

l8o CHAPITRE 1Y.

à la propriété connue que le produit des perpendiculaires abaissées des deux foyers sur une tangente quelconque est constant, puisqu'on a démontré {Sections coniques, n° 403) qu'on peut remplacer oxo' par une constante. Si, de même, nous remplaçons (oco' par une constante, Téquation générale des courbes de troisième classe est a^y = A'S, où a, p, v raprésenlent trois foyers et 8 un certain quatrième point; en effet, nous pouvons de chaque foyer mener à la courbe (outre les deux tangentes passant par I, J respectivement) une seule tangente, et la forme de Téquation montre que les trois tangentes issues des points a, P, y se rencontrent respectivement en un point 8 (*). Nous déduisons de là que le produit des trois perpendiculaires abaissées des foyers sur une tangente quelconque à une courbe de la troisième classe est dans un rapport constant avec la perpendiculaire abaissée du point o sur la même tangente. Si la courbe passe par les points I, J, il y a un foyer double et Téquation prend la forme a*p = A2 dont Tinlerprétation est évidente. Si un foyer A est à Tinfini, nous pouvons voir comment la formule doit être modifiée en prenant d'abord pour a la distance perpendiculaire de A à une tangente quelconque divisée par AB; lorsque A s'éloignera à rinfini suivant la direction AB, il est facile de voir que a sera égal à cosB, 0 étant Tangle que fait AB avec la direction des perpendiculaires abaissées sur la tangente. Si, par exemple, nous considérons une conique «^ = k^^ dans le cas de la parabole où A passe à Tinfini, la formule devient [icosO = Â:; elle montre que le lieu du pied de la perpendiculaire abaissée du foyer sur une tangente est une ligne droite. De même,, pour une courbe de la troisième classe, la formule apY = A:8 devient Pycos0=:â:8; nous pouvons récrire [iY=:/r8', si nous convenons que 8' représente le segment

(*) Le théorème réciproque pour les courbes du troisième ordre coupées par deux droites quelconques est donoé plus loin, u? 148.

POTBRS. l8l

délerminé par la tangente variable sur une droite menée par D parallèlement à AB.

Pour les courbes de la quatrième classe, Téquation est 7.^ù = k^<fy 5p étant la section conique qui est tangente, comme le montre Péquation, aux huit tangentes focales qui ne passent pas pari, J. Mais si les foyers de cette conique sont e, ^, Inéquation peut être écrite sous la forme a^yS = A:^ s^ -I- /* : l'interprétation géométrique en est évidente. Cette équation comprend aussi la forme a^yS = /♦ ou = w^co'^, qui représente une courbe sur laquelle les foyers a, P, y, 8 sont des foyers doubles; la forme a'P=: w^co'^, où I, J sont des points d'inflexion, etc. On voit ainsi, d'une manière générale, que Téquation tangentielle d'une courbe de la /i'*°* classe fournit une relation du premier degré qui lie le produit des n perpendiculaires focales, des n — 2 autres perpendiculaires, desn — 4 autres perpendiculaires, etc., et ainsi de suite jusqu'à ce que nous arrivions à une perpendiculaire unique ou à un terme constant.

443. Les relations qui existent entre les perpendiculaires abaissées des foyers sur la tangente peuvent conduire à d'autres relations où figurent les angles compris entre les rayons focaux et la tangente. En effet, si AP est la perpendiculaire a abaissée sur la tangente en un point quelconque R de la courbe, et si drf est l'angle compris entre deux tangentes consécutives, noasavonsrfa=RPrf'f .De lamême manière, rfp=:RFrfcp, .... Si donc nous différentions l'équation qui lie les perpendiculaires, nous pourrons remplacer chaque dx par le segment correspondant RP déterminé sur la tangente par le pied de la perpendiculaire focale et le point de contact. Ainsi, de l'équation «Py = k^d nous déduisons

d2 d^ dy dl J, , RP RP' RP^ RP''

-.^^.+..^.^^o, dou -H-H^p^j^=o,

l83 CHAPITRE IV.

OU bien encore

colO -h colô'-+- cote"— cote* rno,

6 étant égal à ARP, c'est-à-dire à Tangle de rinclinaison de la tangente sur le rayon vecteur focal AR, ....

144. L'exemple des coniques pourrait nous donner l'espoir de trouver des relations simples entre les distances d'un point quelconque de la courbe aux foyers. Il ne semble pas qu'il y ait une théorie générale des relations de ce genre, mais nous pouvons sans difficulté trouver des courbes particulières pour lesquelles elles existent ; car nous n'avons qu'à écrire une relation quelconque entre les distances d'un poinl variable à des points fixes et à chercher le lieu pour lequel elle est satisfaite. Si l'on exprime chacune de ces distances en fonction des coordonnées, elle renfermera une racine carrée; et si, comme cela arrive communément, l'équation débarrassée de radicaux est de la forme wp^ = iV(>^, les deux droites imaginaires représentées par p^ = o sont des tangentes à la courbe et le point fixe t est un foyer. Nous pourrions étudier de cette manière la relation p -|- mp'= rf, pour laquelle le lieu est une ellipse ou une hyperbole quand in = ±ij un cercle quand rf= o, et dans les autres cas une cartésienne; la relation /p -f- /np'4- 'ip"= o, pour laquelh» ie lieu est en général une quartique qui a les points I, J pour points doubles, ou, comme nous pouvons l'appeler, une quartique bicirçulaire ; mais, quand / db m ih /i = o, la courbe est une cubique qui passe parles points I, J, ou, comme nous pouvons la nommer, une cubique circulaire; la relation pp' = rf^, pour laquelle le lieu est une cassinienne (voir n? 5S, Ex. 3) ; ou plus généralement ap^ -|- 6pp'-Hcp'* = rf^, qui est en général une quartique, mais qui devient une cubique quand a ± b±c = Of c'est-à-dire quand le premier membre de l'équation est divisible par p ih p', . . . . Nous ajour

FOYERS. l83

lions la discussion plus approfondie de ce sujet jusqu'à ce ((ue nous en soyons arrivés à nous occuper plus spécialement des courbes dont nous venons de parler.

Une relation qui lie entre elles les distances focales nous permet d'établir une autre relation entre les angles que les rayons focaux font avec la tangente. En effet, nous pouvons démontrer, comme dans le n® 95, que chaque distance iocale p donne une expression telle que d^ = cos^ ds, où 6 est l'angle compris entre le rayon focal et la tangente. Ainsi de la relation p -4- mp'= rf nous déduisons cos6 -f- m cos6'= o, ....

De la valeur donnée pour t/a, . • . dans le numéro précédeniy nous pouvons conclure KdoL= p t/p, . . . , où R est le rayon de courbure. Ainsi, par exemple, si nous savons que /a-h /wP -f- . . . est une quantité constante, nous pouvons en conclure que /p* + mp'^, ... est aussi constant.

145. Représentons par N le nombre de conditions (n° 27) nécessaires pour déterminer une courbe du n*^"* ordre; si nous savons que la courbe est circulaire, c'est-à-dire qu'elle passe par les points I, J, et si on nous donne N — 3 autres |)oints de cette courbe, le lieu du foyer double (ou l'intersection des tangentes en I, J) est un cercle. En effet, par N points on ne peut faire passer qu'une seule courbe du «'*"• ordre ; si donc, en plus des conditions ci-dessus, ou nous donne un point consécutif à I, c'est-à-dire si Ton nous donne FI (la tangente en I), la courbe sera complètement déterminée, et par conséquent FJ, la tangente en J, sera aussi déterminée. Le point F est donc l'intersection des rayons correspondants de deux faisceaux homographiques (Sections coniques, n° 331), c'est-à-dire de deux faisceaux tels qu'à une droite de Tun il correspond une droite de l'autre et une seule. Le lieu de F est donc une conique qui passe par les sommets I, J des faisceaux; par conséquent c'est un cercle. Laconique se décompose en la droite IJet en une autre droite,

l84 CHAPITRE lY.

quand la droite IJ d'un faisceau a pour correspondante la droite JI de l'autre. Dans l'exemple actuel, ce cas se produira quand n = 2, puisque IJ ne peut être une tangente à une conique passant par les points I, J, à moins que la conique ne àe décompose en deux droites, et le théorème qui en résulte est le suivant : quand des cercles passent par deux points, le lieu de leurs centres est une droite. Mais, quand n est plus jg^rand que a, le lieu sera un cercle en général.

146. De même, si l'on nous donne N — i tangentes à une courbe de la n**"* classe, la courbe sera complètement déterminée quand nous connaîtrons une tangente FI de plus. Le raisonnement du numéro précédent s'appliquera ici, et le lieu du foyer sera un cercle, si les conditions sont telles que, la courbe étant déterminée, on ne puisse lui mener qu'une seule tangente par le point J. Ce sera le cas, si, parmi les conditions données, il y figure la condition que la droite IJ soit une tangente d'ordre n — i de multiplicité ; car par un point de celte droite on ne pourra plus mener qu'une seule tangente à la courbe. Nous avons vu (n** 41) que dire qu'un point est multiple de l'ordre k est la même chose que si l'on donnait ^k{k 4- i) points. De la même manière, savoir que IJ est une tangente multiple d'ordre (n — 1 ) revien t à connaître ^n{n — 1 ) tangentes. Remarquons que N — ^^{i^ — \)= in\ nous en concluons que, si l'on nous donne un — i tangentes d'une courbe de la n**"* classe et si la droite de l'infini est une tangente multiple d'ordre (n — i), le lieu du foyer sera un cercle (dans ce cas il n'y a qu'un foyer). Ainsi, étant données trois tangentes d'une parabole, le lieu du foyer est un cercle. De même, le lieu du foyer est encore un cercle, quand on nous donne cinq tangentes d'une courbe de troisième classe, parmi lesquelles la ligne de l'infini compte pour deux. Une courbe particulière de ce système est formée du système composé du point à l'infini sur une quelconque des cinq tangentes et de la para-

FOYERS. l85

bole qui est tangente aux quatre autres, le foyer de la parabole étant le foyer du système. Nous avons ainsi le théorème deMiquel (Sections coniques, n° 268) : les foyers des cinq paraboles qui touchent quatre quelconques de cinq droites données sont situés sur un même cercle (*).

(1) Celle démonstralion du Ihéorème de Miquel esl due à M. ClifTord. Pour les déductions tirées du même principe, voir le Messenger of Mathemadcs, tome V, p. 137.

l86 CHAPITRE V.

147. Nous avons démontré (n* 42) qu'une courbe du troisième ordre, que, pour abréger, nous appellerons une cubique, peut avoir un point double, mais qu'elle ne peut pas avoir d'autre point multiple. Ce fait a donné l'idée de la division fondamentale des cubiques en cubiques non singulières, qui n'ont pas de double point ; cubiques nodales, qui possèdent un point double avec deux tangentes distinctes, et cubiques cuspidales, qui ont un point double où les tangentes se confondent. Les nombres de Pliicker (n** 82) pour ces trois cas sont les suivants :

Nous voyons ainsi que ces courbes sont respectivement de la sixième, de la quatrième et de la troisième classe ; autrement dit, ce sont des courbes telles qu'on peut, d'un point arbitraire, leur mener six, quatre ou trois tangentes. Si le point est situé sur la courbe, la tangente en ce point compte pour deux unités dans ces nombres (n° 79), et le nombre de tangentes distinctes de la tangente en ce point se trouve réduit à quatre, à deux ou à un; si le point est un point d'inflexion, la tangente stationnaire compte pour trois tangentes et le nombre des autres tangentes qu'on peut mener par ce point diminue encore d'une unité.

Les cubiques nodales peuvent évidemment se subdiviser (n*38) en cubiques crunodales ou acnodales, suivant que \es tangentes au point double sont réelles ou imaginaires. Nous verrons dans la suite que les cubiques non singulières donnent lieu à une division analogue. Mais nous ajournons pour le moment la discussion plus approfondie de la classification des cubiques; le lecteur la suivra avec plus d'intelligence quand il aura été préalablement mis en possession de quelques-unes des propriétés générales de ces courbes. Nous ajournons également la discussion de Téquation générale et Texamen de ses invariants, et nous commençons par appliquer au cas des cubiques les théorèmes déjà obtenus pour les courbes de degré quelconque. Nous nous occuperons d'abord des théorèmes sur l'intersection des courbes, que nous avons établis dans la première section du second Chapitre.

Section I. — Intersection d'une cubique donnée avec d'antres ôonrbes.

148. Nous avons démontré (ii® 29) que toutes les cubiques qui passent par huit points fixes pris sur une cubique donnée passent aussi par un neuvième point fixe de la courbe. C'est là on théorème fondamental qui conduit à la plus grande partie des propriétés des cubiques. En particulier, nous en déduisons que, si deux lignes droites dont les équations sont A = o, B = o rencontrent respectivement une cubique aux points a, a', c^^ é, b\ b", et si les droites ab^ db\ a" b" (dont les équations seront respectivement D = o, E = o, F = o) rencontrent la cubique aux points c, c', c", la droite cc'{c = o), qui réunit deux de ces points, passe par le troisième. En eflet, les droites D, E, F constituent une cubique passant par les neuf points; les droites A, B, C en forment une autre qui contient huit de ces points ;^ donc elle passera aussi par le neuWème cf^ et, comme ce point ne peut se trouver ni sur

l88 CHAPITRE T.

Tune ni sur l'autre des droites A, B qui rencontrent déjà chacune la cubique en trois points , il devra être situé sur C. Puisque la cubique donnée passe par les intersections des cubiques ABC = o, DEF = o, son équation doit pouvoir être écrite sous la l'orme DEF — kABC = o-

149. Supposons que les droites A, B se confondent; nous concluons alors, comme cas particulier du théorème précédent, que si une ligne droite A= o coupe la courbe en trois points a, a', a'^, les tangentes en ces points D = o, E = o, F = o rencontrent respectivement la courbe aux points c, dy c" qui sont situés sur une même droite C = o, et, dans ce cas, l'équation de la eourbe peut s'écrire DEF — kA?G = o.

Le point c, où la tangente en un point quelconque a rencontre la courbe, s'appelle le tangentiel du point a; et la droite C, sur laquelle se trouvent les tangentiels des trois points a, porte le nom de droite satellite de la droite A. Nous montrerons plus tard comment on peut former Téquation de C, ao? + Pj' -f- vz = o, quand on connaît l'équation de A.

La droite A aura une satellite réelle, quand même elle rencontrerait la courbe en un point réel et deux points imaginaires, au lieu de la couper en trois points réels. Les équations des tangentes aux points imaginaires seront de la forme P -h iQ = o ; leur produit sera réel et l'équation de la courbe pourra être mise sous la forme D(P^4- Q*)= ArA^G.

Deux cas du théorème de ce numéro méritent spécialement de fixer l'attention. En premier lieu, supposons que la droite A soit à l'infini; les tangentes D, E, F aux points où elle rencontre la courbe sont alors les trois asymptotes ei chaque asymptote rencontre la courbe en un seul point à distance finie; ceci nous montre que ces trois points sont situés sur une même droite C, qui est la satellite de la droite de l'infini. Dans ce cas, l'équation est réductible à la forme DEF = AC, et nous avons ainsi ce théorème : Le produit des

COUBBES DU TROISifeSE ORDRE. 189

perpendiculaires abaissées d'un point quelconque de la courbe sur les trois asymptotes est dans un rapport constant avec la perpendiculaire abaissée du même point sur la droite C.

£q second lieu, supposons que les points a, a' soient des points d'inflexion; les tangentieis de ces points coïncident évidemment avec les points eux-mêmes; la droite satellite coïncide donc avec A, et par suite le troisième point a!^j où elle rencontre la courbe, est aussi un point d'inflexion (0*^ 125| Ex, 3). L'équation de la courbe est donc réductible à la forme DEF = A A', dans laquelle A = o est TéqualioD de la droite qui passe par les points d'inflexion et D = o, E = o, F = o sont respectivement les équations des tangentes en ces trois points.

iSO. Le théorème du n® i49 peut s'établir autrement en parlant de la droite C au lieu de la droite A; ainsi, étant don nés trois points coUinéaires c, </, d' d'une cubique, la droite qui joint a, point de contact d'une des tangentes menées par c avec a', point de contact d'une des tangentes menées par dy passera par le point de contact d'une des tangentes menées par <f. On ne peut mener qu'une seule tangente en un point d'une courbe, et par conséquent à une position de A ne correspond qu'une position de C ; quand il s'agit au contraire d'une cubique non singulière, on peut mener quatre langentes d'un point quelconque de la courbe, et par conséquent à une position quelconque de C correspondent seize positions de A. Les douze points de contact sont situés sur les seize droites A; chaque droite A contient trois points de contact, et par chaque point de contact il passe quatre droites A.

Considérons plus particulièrement le cas où C est tangente à la courbe et supposons que les points c el d coïncident. Aous voyons alors que la droite qui réunit l'un des poiiiir^ de

igo CHAPITRE V«

contact a\ des tangentes issues de (f à Tun des points de contact a% des tangentes menées par c doit passer par un des autres points de contact relatifs à c, par exemple par a%. \^.\ même, la droite qui joint a* a^ passe par a^. Nous avons ainsi le théorème suivant : Les quatre points de contœt a,, a^, ^3, «4 des tangentes, menées d'un point quelconque c situt* sur la courbe, sont les sommets d'un quadrangle dont les trois centres sont aussi des points de la courbe, et sont tels que les tangentes en ces points et la tangente en c rencontrent toutes la courbe au même point,

loi. Revenons au cas où C n'est pas tangent à la courbe; nous avons les tangentes issues de c qui sont tangentes à la courbe aux points a^^a^ya^^ a^ et les tangentes menées par cf qui lui sont tangentes en a\, a!^, a,, a\. Fixons seulement notre attention sur deux points ai, aa du premier système de quatre points; nous voyons que, si nous partageons les points du second système en couples d'une manière bien définie, par exemple a\^ a, et a,, a\^ et si nous combinons le couple ai, «2 premièrement avec le couple a,, a^, les droites €ui\, a2 a^ se rencontrent en un même point de la courbe et que les droites a^ a^, a^dy se rencontrent aussi en un même point de la courbe ; en second lieu, si nous combinons a^ , a^ avec le couple a,, a'^^, les droites ai a,, a^d^ se coupent en un même point de la courbe, et il en est de même pour les droites a^d^y a%d^\ les quatre nouveaux points sont les points de contact des tangentes menées à la courbe par le point (? . Deux points tels que les tangentes en ces points se rencontrent respectivement sur la courbe peuvent être appelés points correspondants. Ainsi deux des points a%, a^, aj, a^ sont des points correspondants; il en est de même de deux des points a\j d.yj a\, a\. Mais si nous partons des deux points a^ a^, les points a',, a!, (de même que les points a',, a\) peuvent être appelés des points correspondants du même genre que

COURBES DU TROISifeMB ORDRE. IQI

01, a^] la propriété qu^ils possèdent est la suivante : étant donnés deux couples de points de même genre, si nous formons un quadrilatère en joignant chaque point d^un couple avec chacun des points de l'autre couple, les deux nouveaux sommets du quadrilatère sont des points de la courbe (qui sont eux-mêmes des points correspondants du même genre respectivement que les deux couples originaux). Il est évident qu^il y a trois genres de points correspondants qui sont : le genre a^ a^ ou a^a^^ le genre ai aa ou a^a^y et le genre a^ a^ ou a^az. Et de plus, si nous partons du couple ai, a^ pour obtenir le système entier de points correspondants du même genre, nous n'avons qu'à prendre sur la courbe un point variable K et, en le joignant aux points ai, a^ respectivement, ces droites couperont de nouveau la courbe en un couple de points correspondants du même genre que aiaj. Nous pouvons indiquer en passant que l'enveloppe de la droite qui joint deux points correspondants du même genre est une courbe de la troisième classe. Cette théorie est due pour la plus grande partie à Mac Laurin (voir De linearum geometricarum proprietatibus generalibus Traclalus)(*); on peut donc l'appeler à juste titre la théorie de Mac Laurin pour les points correspondants d'une cubique.

132. Considérons toujours le cas où C n'est pas une tangente à la courbe; soient D|, E|, F, des tangentes menées respectivement par les points c, c', cf. Nous avons vu que Téquation de la courbe peut s'écrire sous la forme

D,E,F, — A;Cz=o.

Soit Da, E2 un autre couple de tangentes passant par c, c' et telles que leur corde de contact passe par le point de contact de F, ; l'équation de la courbe pourra aussi se mettre

(») Voir DB Jj.^QuiÊBrs, Mélanges de Géométrie pure, p. aa3.

iga CHAPITRE V.

sous la forme D2E2F| — A^C= o. De là nous pouvons déduire ridentité