U,H,-U,I1„ U,IJ,-U,H„ U,H,-U,I

ce sont des fonctions du quatrième degré tn a:/, y^ sf,

184. Les droites polaires des points d'une droite donnet ^x-^^y-^-^z^szo envtXo^^eiïX. une conique que nous

COCRBES DU TROISlitHR ORDRB. 223

appellerons la conique polaire de la droile donnée. L'équalion de la polaire d*un point quelconque [a^,y, z^) peut s'écrire

ax'^~\- by^-[- cz'^ -h a/y a'-h 2^5'j7'-+- a/ij?'/ = o,

et le problème qui consiste à trouver Tenveloppe de celte droite vérifiant la condition a a/ -h- P^-H Y^= o eslle même (n^ 96) que celui où il s^agit de former la condition pour qu^une droite soit tangente à une conique. L'équation de l'enveloppe cherchée est donc

Aa«-hB?*-t-CY*-l-2Fp7-h5lG-ra-t-2na3=:o.

A, B, G, . . . ont ici la même signification que dans les Sections coniques, c'est-à-dire qu'ils sont respectivement égaux à 6c—/*, ca — g^f'' : ce sont donc des fonctions du second degré des coordonnées ^, /, z. Il est clair que la conique polaire d'une droite pourrait aussi être définie comme le lieu des points dont les coniques polaires sont tangentes à une droite donnée.

Si, pour trouver cette enveloppe, nous avions appliqué la méthode du n® 88, nous aurions vu que la solution dépend des équations

ax'-^hy-hgz'^l^, hx'->rby'\rfz'^\^, gx''\'fy-\'Cz'z=i\^.

Mais ces équations sont celles qui déterminent le pôle de la droite donnée par rapport à j/U| -f-j^'Ua-f-VUj. La conique polaire d'une droite est donc aussi le lieu des pôles de cette droite par rapport aux coniques polaires de tous les points de la droite. On aurait pu trouver ce résultat à l'aide de considérations géométriques.

185. Puisque la droite polaire d'un point quelconque d'une droite est la même que ia polaire de ce même point par rapport aux trois tangentes aux points où la droite coupp

21^ CBAPIT4(E T.

lu courbe, la conique polaire d'une droite par rapport à la ( ourbe est la même que la polaire de cette droite prise par r ipport à ces trois tangentes. Soit xyz = o leur équation. Trouver la conique polaire d'une droite, c'est (n** 165) former l'équation de Tenveloppe de la droite j:^'z' +^^'x'-|- « :r'j^=o avec la condition ax'+ PjK'-f-Y5' = o; cette équation est (voir Sections coniques^ n^ 127)

v/(oc^) + vW)+V^'(Y^) = o.

Il en résulte que, si la droite donnée coupe la cubique aux points P, Q, R, et si les tangentes en ces points forment le

Fig. 29.

triangle ABC, la conique polaire de la droite est tangente aux côtés de ce triangle aux points D, E, F, qui sont respectivement les conjugués harmoniques des points P, Q, R, par rapport aux couples de points BC, CA, AB.

11 est évident a priori que la conique polaire est taagente aux tangentes à la cubique en P, Q, R; ces droites ne sont en eflet que des positions particulières de la droite dont nous clierchions Tenveloppe.