Il résulte de la définition môme que les tangentes

GOCRBBS DC THOISlfeMB ORDRB. 3a^

qu'on peut mener d'un point quelconque à la conique polaire d'une ligne droite sont les polaires des deux points où la conique polaire du point coupe la droite : donc la conique polaire d'un point rencontre une droite en des points réelf, ou imaginaires^ suivant que le point est en dehors ou en dedans de la conique polaire de la droite; on dit qu'un point est en dehors d'une conique quand de ce point on peut mener à celte conique des tangentes réelles. Nous avons déjà fait remarquer que, si un point est sur la conique polaire d'une droite, sa conique polaire est tangente à la droite.

En particulier, on sait que la conique polaire d'un point double se compose du couple de tangentes à ce point double ; la conique polaire de toute droite par rapport à une cubique à point double réel sera donc tellement placée que le nœud se trouvera en dehors d'elle; si la cubique est acnodale^ le point conjugué sera en dedans de la conique en question. Si enfin la cubique est cuspidale, la conique polaire d'une droite quelconque passera par le point de rebroussement.

187. Il découle des définitions qui précèdent et du n^ 133 que si la droite donnée est à l'infini, sa conique polaire peut être définie, soit comme l'enveloppe des diamètres de la cubique, soit comme le lieu des centres des coniques diamétrales de la cubique, soit enfin comme le lieu des points dont la conique polaire est une parabole. On obtient son équation en faisant a = o et ^ = o dans les formules du n** 184; celte équation est C= oou bien ab — h^ =o,c'eslà-dire

dx^ dy^ \dxdy)

l^e n^ 185 nous fait voir que cette équation est l'équation de Tellipse tangente aux trois côtés du triangle formé par les asymptotes et en leurs points milieux.

S. — Courbes planes, i5

2a6 CUAPITRS T.

188. Si la droite donnée est tangente à la cubique, la polaire du point de contact est alors la droite elle-même; cette droite coïncide avec Tune des positions de la droite enveloppée du n^ 184 et par suite est tangente à la conique polaire. Et il n'y a pas d'autre cas où une droite puisse être tangente à sa conique polaire par rapporta une cubique non singulière. Ce principe a été utilisé en conséquence pour forinerréquation tangentielle d'une cubique. Puisque A, B, . . . sont des fonctions du second degré des coordonnées, Téquatîon de la conique polaire Aa^ -h . . . = o peut s'écrire sous la forme

A' a:' -h B>' 4- G' -5» -4- 3 F'75 H- a G' 5.r -h 2 ir ^7 = o.

A'y B' étant des fonctions du second degré en a, ^, y; la condition pour qu'elle soit tangente à la droite donnée est (B'C — F'^)a» 4- . . . = o. Cette relation est du sixième degré enot, p, y; c'est la condition cherchée pour que la droite donnée soit tangente à la cubique.

Si la droite est tangente à la Cajleyenne, on sait que, jointe à une autre droite, elle constitue la conique polaire d'un certain point; la conique polaire de tout point de la droite passe par ce point et, en conséquence, l'enveloppe du n^ 184 se réduit à un point.

189. Nous considérons maintenant deux cubiques U, Y et nous allons étudier le problème suivant : Trouver un point qui ait la même polaire par rapport à chaque courbe, ou, ce qui revient au même, dont la polaire par rapport à une cubique quelconque U + X V = o soit la même quel que soit ).. Pour que

a:U,-+-7U,-HcU3=o et

a:V,-h7Y,-f-aV,=o

COURBES DU TIOISIÈHK OBDIII!. MJ

puissent représenter la même droite, nous devons avoir U, U, U,

OU bien UiV.-UtV.rno, U,V,-U,V,^o, U,V,-U,V,^o.

La première forme sous laquelle les équations ont été écrites montre clairement que les trois équations équivalent à deux seulement, et que les courbes du quatrième degré, représentées par les équations mises sous la seconde forme, ont des points communs. Mais tous leurs points d^ntersection ne leur sont pas communs; car les valeurs qui rendent égaux à zéro le numérateur et le dénominateur de Tune quelconque (le ces trois fractions satisfont à deux des équations résultantes, mais ne vérifient pas la troisième. Si, des seize points rommuns aux quartiques représentées par les deux premières équations, nous retranchons les quatre points communs à 1.2, ¥2, il reste douze points communs aux trois quartiques et ce sont les points cherchés (*).

190. Comme le discriminant d^une cubique est du dounème degré par rapport aux coefficients (n** 69), il y a, en général, douze valeurs de \ pour lesquelles le discriminant c'e U-i-XV sera nul. En effet si, dans l'expression générale du discriminant, nous remplaçons chaque coefficient a, . . • par a-hXa', • . . , nous avons évidemment une écpation du douzième degré pour déterminer \ {Sections coniques y n" 2îlD) ;

(') De même, en général, si U„ U,, U, sont des fonctions du degré m par rapport aax coordonnées et V,, V„ V, des fonctions du degré n, le système (l'équa lions

représente trois courbes de Tordra m + /i qui ont m* + mn 4- /i* points communs {"^oir Algèbre supérieure, n* 257).

2a8 CHAPITRE T.

les coordonnées du point double sur une quelconque de ces cubiques vérifient les trois équations (n^ 69)

U,-hXV, = o, U,-f-XV, = o, U,4-XV, = o,

et le système des équations obtenues en éliminant X entre, chaque couple de ces équations est le même que celui qu'on a considéré dans le numéro précédent ; donc, par les intersections de deux cubiques U, V, on peut mener douze cubiques nodules, et la polaire d'un quelconque des douze points doubles sera la même par rapport à toutes les cubiques du système U ■+■ XV = o. Ces points ont été appelés les centres critiques du système de cubiques.

191. Si Ton nous donne trois cubiques U, V, W, les coordonnées du point double d^une cubique quelconque du système XU -f- tx V ■+■ v W = o satisfont aux équations

XUi-h ixV, -h v\V,~o, XU,-h|xV,-hvW,^o,

XUj-hjAVj-i- vWa ~o,

et, en éliminant X, [jl, v, nous voyons que le lieu du point double est la Jacohienne

Si les trois cubiques ont un point commun, il sera un point double de la Jacobienne ; en effet, ^i les termes de degré le moins élevé en x et r dans U, V, W sont respectivement ax 4- bj'^ a'x -\- b'y, a^ x -f- b^Yy 1®* termes delà Jacobienne qui sont de degré inférieur au second en ^ et^ sont, comme on le voit facilement,

a' b' a^x^yy a' b" a''x^b''y

et cette expression s*annule identiquement. Le lieu des points

doubles de toutes les cubiques nodales qui passent par sept points fixes est donc une courbe du sixième degré, avant ces sept points pour points doubles, puisque l*on peut considérer l\ V, W comme trois cubiques quelconques passant par les sept points donnés. De la même manière, les points doubles des cubiques nodales que Ton peut mener par huit points se Irouveront déterminés comme intersections des deux lieux du sixième degré, obtenus en laissant d*abord de côté un des Imit points donnés, puis un autre de ces mêmes points; et, comme ces deux courbes ont six points doubles communs, le Dombre des autres points d*intersection est 36 — 34 ^^ ^ ^ • ceci s'accorde avec le résultat trouvé dans le numéro précédent.

192. On peut, dans certains cas, apercevoir du premier coupla position de quelques-uns des centres critiques. ConsidiTons, par exemple, le système \xyZ'^uvw = Oj dans lequel w, (^, w représentent des droites : il est évident que xj^z est une cubique du système et qu'elle a xy,yZf zx pour points doubles; on voit de même que uVy vWy wu sont des points doubles: il n'y a donc plus que six autres centres critiques. Nous étudierons plus particulièrement le système \xyz -|- u^r = o, cl nous allons montrer que ce système n'a que trois centres critiques en dehors des points xy^yz^ zx^ uv, La classification que Pliicker a donnée pour les cubiques lui a été suggérée par l'étude de cette équation dans le cas où u est la droite à rinfini et où, par conséquent, ç est sa satellite et x, r, z les irois asymptotes. Nous pouvons donc, pour une position quelconque des droites x,y^ z, étudier les formes que prend la courbe quand nous donnons différentes valeurs au paramètre \\ et l'on comprendra facilement que chaque courbe Dodale dans la série correspond à un changement d'une forme de courbe à une autre forme. Ainsi nous avons vu (n* 39) qu'une cubique acnodale est la forme limite d'une

cubique dans laquelle un ovale constitue une portion de la courbe; et de même si, pour une valeur de la constante, une cubique a deux branches réelles qui se coupent, en donnant naissance à un nœud, l'exemple des coniques fait facilement comprendre que, pour un très petit accroissement dans la valeur de la constante, la cubique aura des parties séparées Tune de Tautre et situées dans deux des angles opposés par le sommet que forment les branches qui se coupent, tandis que, pour une petite diminution de la constante, elle aura de> parties dans l'autre couple d'angles opposés par le sommet. Cet exemple montre l'importance des centres critiques quand on étudie ainsi la forme de la cubique.

193. Comme la polaire d'un point quelconque par rapport d u^ç passe par le point (z/, p), tout point qui a la même polaire par rapport à xj^z doit être situé sur la conique polaire de uv par rapport à xyZy et il est, par conséquent, évident a priori que cette courbe est un lieu sur lequel se trouvent les centres critiques. Pour les déterminer complètement, supposons que nous ayons

nous obtiendrons notre résultat sous une forme plus convenable si, avant de différentier Xxyz-^^ a*p, nous divisons le tout par u^. Nous avons, en prenant successivement les dérivées par rapport à x, j% 5,

Xyz{x— y — z)

(-r-^y-hz)*

Xzxj y — z — x)

A.ry( z — ./• — y

{jc + y + zy' -"'

COURBES DU TSOISlknB OSDEK. a3i

(ïoà nous déduisons

a.r by ' cz

a^—r — z^y — z — jc'^z — ûP-'y

La forme des équations montre que le problème est ramené à trouver les centres critiques de deux coniques et que les trois points cherchés sont les sommets du triangle autopolaire commun aux coniques,

ax^ -+- by^ -t- es* = o, a:*-\-j^-hz* — 2yz — a sa? — a xy =r o.

Oo remarquera que la dernière de ces courbes est la conique polaire de u par rapport à xyz; autrement dit, quand u est à rinfini, cette courbe est la conique qui est tangente, en leurs points milieux, aux côtés du triangle formé par les asymptotes. Deux centres critiques coïncideront avec le point de contact quand ax^ •+- by^ -|- cs'^ = o sera tangente à cette conique; si donc on regarde sf comme variable, le lieu des centres critiques doubles est la polaire conique de u par rapport à xjz. On voit facilement, par les règles ordinaires, que la condition de contact de ces deux coniques est

t i -.1 (6cH-ca -H aô)' = 27a*6*c* ou bien a *-f6 *-Hc ' = o;

c'est l'équation tangentielle de l'enveloppe de la satellite de u quand deux centres critiques coïncident. Elle corres^ pond {Exemple, n** ^0) à l'équation en coordonnées de

points j:*h-j^-|-^» = o (').

194. Un point quelconque de \xjz -+- ii^p = o peut être doterminécoramerintersection|des = 9i'avec6Xx;^-|- i/^ = o,

(') Poorla discussion plus approfondie de cette théorie, voir les Mémoires de M. Cayley « Sur un cas cTinvolution des cubiques et Sur la dassification des cubiques {Transactions of Cambridge Philosophical Society , I.XI, i86«.

a3a CHAPITRE V.

quand u est à rinfini : celte dernière équation représente un système d'hyperboles ayant x,^' pour asymptotes; et, d'après la propriété connue de l'hyperbole, les cordes interceptées par ces courbes sur une droite quelconque z = ^v onl un point milieu commun ; c'est le point de contact de celle droite avec Tune des hyperboles du système. Il est clair que si ^ = 6(^ est tangente à la cubique, ou passe par un point double situé sur cette courbe, elle doit être tangente à rhyperbole; le centre critique dans ce dernier cas sera le point de contact. Si donc nous joignons par des droites un quelconque des centres critiques aux points à distance finie où les asymptotes rencontrent la courbe, les centres critiques seront les points milieux des cordes interceptées par la cubique sur ces droites.

Section III. — Classification des cubiques.

195. Nous allons, en premier lieu, montrer que l'équation de toute cubique peut être ramenée à la forme

£y*=z a:r'-h 3bx*z H- ^ca:z* -h dz^.

Toute cubique réelle a au moins un point d'inflexion réel; en eflfet, les quantités imaginaires se présentent toujours deux par deux et le nombre total des points d'inflexion est impair, c'est-à-dire égal à neuf, trois ou un (n® 147). Si nous prenons pour axe des z la tangente au point d'inflexion et pour axe des x une autre droite quelconque passant par ce point, l'équation de la courbe (n** 51, VII) sera de la forme z:p = ax^^ qp étant une fonction du second degré, par exemple

/*-4- 'ilyz -h imxy ^px^+ 2qxz 4- rz*;

mais, si nous efiectuons une transformation de coordonnées, de manière à prendre la droite^ -^ Iz-^ mx pour le nouvel

COURBBS 1)U TROISIÈME ORDRE. a33

axe des^, les termes de ç qui contiennent^ au premier degré seulement disparaîtront, et Téquation aura la forme indiquée au commencement de ce numéro. La signification géométrique de la transformation que nous avons opérée consiste en ce que nous prenons pour axe des Zf ainsi que nous Tavons déjà dit, la tangente en un point réel d'inflexion zx et pour axe des V la polaire harmonique (n° 170) de ce point : en eflet, si nous cherchons en quoi point une droite issue du point d'inflexion rencontre la courbe représentée par l'équation cidessus, en faisant la substitution z = Xxf nous trouvons pour^ des valeurs de la forme ±ilx; elles nous montrent que les points où la droite coupe la courbe sont conjugués harmoniques par rapport au point où elle rencontre la droite 1 et le point d'inflexion.

196. On peut, dans la classification des courbes, regarder comme fondamentaleslespropriétésdistinctives qui ne sont pas altérées par la projection ou, en d'autres termes, celles qui séparent non seulement les courbes, mais aussi les cônes du même ordre. Les courbes du second ordre ne donnent pas lieu à des divisions de ce genre, car il n'y a qu'une seule espèce de cône de ce degré. Pour savoir si les cubiques présentent des difl*érences caractéristiques de cette nature, il suffit de prendre la forme à laquelle toute cubique peut se ramener, ainsi qu'on l'a démontré dans le numéro précédent, et de rechercher si, parmi les courbes qu'elle peut représenter, il existe des variétés que la projection n'altère pas et quelles sont ces variétés. Et, comme nous ne nous occupons maintenant que des variétés non altérées par la projection, nous pouvons supposer la droite z à l'infini et discuter la forme

y*=zax^ H-3ÔJ?* -^Zcx -^dj

qui est susceptible de représenter une projection d'une cubique quelconque donnée. Nous ferons remarquer que, si

a34 CHAPITRE y.

un point d'inflexion est àTinfini, un système de droites issues de ce point devient un système dWdonnées parallèles, et que la polaire harmonique devient un diamètre qui les divise en deux parties égales; et en effet, pour toute valeur de x^ Téquation ci-dessus donne des valeurs de y égales et de signe contraire.

Nous avons déjà discuté en partie Téquation précédente (n" 39) et ce que nous en avons dit montre que les courbes qu'elle représente peuvent être rangées dans les cinq classes principales qui suivent :

Le second membre de Téquation peut être décomposable en trois facteurs inégaux et (I) tous trois réels. La courbe se compose alors (n° 39) d'un ovale et d'une branche infinie; ou bien (II), les facteurs sont l'un réel et les deux autres imaginaires. L'ovale disparaît alors et la branche infinie reste seule.

Le second membre de l'équation peut se décomposer en deux facteurs égaux et en un facteur inégal, et être de la forme (x — a)^ {x — P). Nous avons alors les cas suivants : (III ), si a est moindre que ^, la courbe est acnodale (n° 39) et l'ovale se réduit à un point conjugué; (IV), si a est plus grand que ^, la courbe est crunodale, l'ovale et la branche infinie s'avancent en pointe l'un vers l'autre, de manière à former une courbe continue qui s'entrecoupe elle même. (V) Les facleurs du second membre peuvent être tous égaux et la courbe est cuspidale (n** 39).

Newton a donné le nom de paraboles divergentes aux courbes considérées dans ce numéro; et son théorème, que nous venons précisément d'établir, consiste en ce que toute cubique peut être projetée suivant l'une des cinq paraboles divergentes.

197. Au Heu d'admettre, comme dans le numéro précédent, que la tangente stationnaire se projette à l'infini, nous pou*

COCSBBS DU TROlSifcilB ORDRE. 335

vons supposer que ce soit la polaire harmonique qui passe à Piiifini. Le point d'inflexion devient alors un centre, et toute corde passant par ce point sera divisée en deux parties égales. Échangeons ^ et^ entre eux dans Téquation du n^ 195, puis posons z= i; Téquation devient, dans ce cas,

j m ax* -h 3 bx^f -h Scxj* H- dy^ ;

c'est Téquation d'unecourbe à centre (n" 131). On reconnaît, comme dans le n^ 196, qu'il y a cinq genres de courbes à centre, suivant la nature des facteurs du second membre de Téquation, etl'on établit ainsi l'extension donnée par M. Chasles au théorème de Newton, et qui consiste en ce que toute cubique peut être projetée suivant l'une des cinq cubiques à centre.

198. Il y a cinq espèces essentiellement distinctes de cônes cubiques qui correspondent à ces cinq espèces de courbes. Un cône d'un ordre quelconque peut comprendre deux formes de nappes distinctes, à savoir : i® une nappe composée de deux parties jumelles, ou qui rencontre une sphère concentrique suivant un couple de courbes fermées, telles que chaque point de l'une des courbes soit opposé à un point de l'autre courbe (un cône du second degré nous fournit jun exemple d'une nappe de cette espèce), et 2** une nappe unique^ c'est-à-dire qui rencontre une sphère concentrique suivant une courbe fermée, telle que chaque point de la courbe soit opposé à un autre point de cette même courbe (un plan est un exemple d'un cône de ce genre). Le cône qui correspond à la parabole I du n** 196 est une surface composée d'une nappe double et d'une nappe simple; celui qui correspond à la forme II ne comporte au contraire qu'une nappe unique. Il est évident que les singularités du nœud, du point conjugué et du rebroussement se reproduisent dans les cônes correspondants.

a36 CHAPITRE T.

La classification des cônes cubiques, que nous venons de faire, pourrait, si nous le voulions, être poussée plus loin. Non seulement il n'y a qu'une espèce de cône du second ordre; mais, avec quelques restrictions, deux courbes quelconques de cet ordre peuvent être regardées comme sections d'un seul et même cône. Il n'en est pas de même pour les cubiques; on a démontré en effet (n** 167) que toute cubique possède une certaine caractéristique numérique, qui exprime le rapport anharmonique des quatre tangentes qu'on peut mener d'un point de la courbe et qui est représentée par le rapport des invariants S' : T^ de l'équation biquadratique qui détermine ces tangentes. Cette caractéristique n'est pas altérée par la projection; deux courbes pour lesquelles elle est différente ne peuvent donc pas être des sections du même cône, et le paramètre en question doit être regardé comme une caractéristique propre, non seulement à une cubique, mais aussi à tout cône dont elle peut provenir comme section. Les cinq genres de cône que nous avons énumérés pourraient donc être subdivisés à volonté, suivant les valeurs de ce paramètre. On a réellement établi des subdivisions de ce genre ; nous ne croyons pas nécessaire d'en parler ici. Cependant, dans la dernière Section de ce Chapitre, nous discuterons les cas où l'on a S = o, T = o ; on voit toutefois dès à présent que ces hypothèses donnent des familles non seulement de courbes, mais aussi de cônes.

199. Examinons maintenant, avec plus d'attention quedans le n** 39, la configuration de la cubique représentée par Téqualion considérée dans le n** 196. Il sera commode de placer l'origine au point milieu du diamètre de l'ovale, en sorte que l'équation pourra s'écrire

n étant plus grand que m. En diffjrentiant, nous trouvons

COURBES DU TROISIEME ORDRE. ^3j

que les valeurs de x qui correspondent aux valeurs maxima dey, ou aux points où la tangente est parallèle à Taxe des j;, sont fournies par Téquation

^x* — 'inx — m*r=o d'où x=:^[nàz^n* -i- 3/n*)î

si nous prenons le radical avec le signe négatif, nous obtenons la valeur de x qui correspond au point le plus élevé de Tovale, et, comme elle est négative, nous voyons que ce point est situé dans la partie de Tovale éloignée de la branche infinie elquerovale n'est pas, comme Tellipse, symétrique par rapport à deux axes. Il est bien symétrique par rapport à Taxe des x, mais pas par rapport à Taxe des^; il s'élève plus rapidement d'un côté et s'incline en descendant plus doucement de l'autre. Plus n est grand pour une valeur donnée de m, c'est-à-dire plus est grande relativement la distance entre Tovale et la branche infinie, plus l'ovale se rapproche de la forme elliptique; il en diffère au contraire le plus quand il s'approclw; jusqu'à toucher la branche infinie, c'est-à-dire quand la courhe est crunodale. Dans ce cas, le point le plus élevé de la boucle correspond au point de trisection de son axe. Si nous donnons au radical la valeur positive, la valeur correspondante de x est intermédiaire entre m et/i, et la valeur correspondante de k est imaginaire. La forme de Téquation montre que le point de contact de la droite à l'infini avec la courbe est situé sur la droite x^=o; c'est le contraire de ce qui a lieu pour la parabole comqoune, ^^ =/>^, qui est tangente à la droite de l'infini sur la droite j^ = o. Les branches infinies de la cubique tendent donc à devenir parallèles à l'axe des^ et non à l'axe desx; et il doit y avoir, à distance finie de chaque côté du diamètre, un point d'inflexion où la courbe, de concave qu'elle était, devient convexe vers l'axe des x ; c'est à cause de cela qu'on lui a donné le nom de parabole divergente.

La forme de la courbe est donc celle que représentent l'ovale et la branche infinie tracée à droite dans la figure. Si

a38 cniPiTRB v.

cependant, au lieu de — /n^, nous avions + m^ dans Féqualion, il n'y aurait pas d'ovale réel, mais seulement une branche infinie afieclantla forme soit de la courbe située àgauche, soit de la courbe située à droite dans la figure. Ceci revient à dire

Fig. 3o.

qu'il y aura ou qu'il n'y aura pas de points pour lesquels }' est un maximum, et où la tangente est parallèle à Taxe des X, suivant que 3/n^ est plus petit ou plus grand que /i^. Le cas intermédiaire pour lequel 3m^ = n^ est celui où il y a de chaque côté de Taxe des x un point d*inflexion, dont la tangente est parallèle à cet axe.

Les figures des formes crunodale, acnodale et cuspidale ne semblent pas exiger une discussion plus approfondie que celle du n"" 39.

SOO. Revenons au cas où la courbe a un ovale : il est évident qu'en général une droite quelconque doit rencontrer une figure fermée en un nombre pair de points réels et que, par conséquent, toute droite qui coupe une fois la partie ovale de la cubique doit encore la rencontrer une seconde fois, mais pas davantage ; en effet, si une droite perce l'intérieur de l'ovale pour entrer, il faut qu'elle le perce à nouveau pour sortir, et nous savons qu'elle ne peut pas le rencontrer en quatre points : donc toute droite doit couper une fois la branche infinie de la courbe. Il en résulte qu'aucune tangente à la courbe ne peut rencontrer l'ovale à nouveau et que, par conséquent, il ne peut exister aucun point d'inflexion sur l'ovale.

Il est facile de voir, à un simple examen de la figure, que d un point extérieur à Tovale on peut lui mener deux tan* gentes.

Ainsi Tovale est donc formé par une série continue de points, tels que d*aucuD d*eux on ne peut mener à la courbe aucune autre tangente réelle distincte de la tangente au point considéré. La cubique, qui renferme un ovale, est donc de la classe de celles (n® 167) dont les quatre tangentes menées d'un point quelconque sont toutes réelles ou toutes imaginaires. Pour tout point de Tovale, elles sont toutes imaginaires, et pour tout point de la branche infinie elles sont toutes réelles; on peut en effet en mener deux à Tovale et deux à la branche infinie elle-même; car la tangente en un point de la branche infinie doit rencontrer de nouveau cette branche, puisque le troisième point où elle rencontre la courbe ne peut se trouver sur T ovale.

201. Ce que nous venons de dire peut être mis à profit pour faire comprendre la propriété essentielle des courbes unicursales (n^ 44). Les coordonnées d'un point quelconque d'une courbe de ce genre peuvent s'exprimer rationnellement en fonction d'un paramètre, de telle manière qu'en donnant à ce paramètre dei( valeurs qui croissant d'une manière continue depuis l'infini négatif jusqu'à l'infini positif, nous obtenions tous les points de la courbe; ces points formeront une série continue, puisque les coordonnées sont toujours réelles. Dans l'exemple actuel, au contraire, il est géométriquement évident que, si nous partons d'un point quelconque de l'ovale et si nous procédons de proche en proche, nous reviendrons au point d'où nous sommes partis, sans passer par aucun point de la branche infinie, et il est algébriquement impossible d'exprimer le$ coordonnées d'un point quelconque, en fonction d'un paramètre, sans introduire un radical dans les expressions de ces coordonnées. Par exemple, nous

pourrions prendre 5 = i , x = 6,j^=v/(a6=* + 368=* + iJcb H- ri). Diaprés cela, nous dirons que la courbe que nous avons étudiée est une courbe bipartite, parce qu'elle se compose de deux, séries continues de points bien distinctes.

Une courbe de la seconde espèce comme celle qu'on a considérée (n*^ 196) n'a pas d'ovale et est unipartite : tous les points réels de la courbe forment une seule série continue; mais il ne s'ensuit pas que la courbe soit unicursale. En efTet, les coordonnées d'un point quelconque ne peuvent pas s'exprimer rationnellement en fonction d'un paramètre, et une courbe unipartite n'est pas nécessairement unicursale, pas plus qu'une équation qui n'a qu'une racine réelle n'est nécessairement une équation simple. Une cubique crunodalc ou à boucle est au contraire unicursale et unipartite : tous ses points se succèdent les uns aux autres dans un ordre déterminé et forment une suite unique. Cependant cette courbe peut être regardée comme composée d'une boucle et d'une branche infinie, formée de deux parties séparées par la boucle. Le raisonnement dont nous avons fait usage au n'^ iOO montre qu'il ne peut y avoir aucun point d'inflexion sur la boucle et qu'aucune tangente ne peut la couper. Cette boucle se compose donc d'une série de points par lesquels on ne peut pas mener de tangente réelle à la courbe (autre que la tangente au point considéré), tandis que de tout autre point de la courbe on peut mener deux tangentes, l'une à la boucle, l'autre à la branche infinie. De même aussi une cubique acnodale et une cubique cuspidale sont chacune unicursale et unipartite.

202. Après avoir ainsi divisé les cubiques en cinq genres, nous allons les subdiviser en espèces, suivant la nature de leurs branches infinies. Nous aurons évidemment au moins quatre espèces dans chaque genre, suivant que la droite a l'infini rencontrera la courbe (a) en trois points réels et

COURBES DU TROISIÈME ORDRE. a4>

dJslincts, (b) en un point réel et deux points imaginaires, (c)eQ un point réel et deux points coÏDcidents, [d) en trois points coïncidents. Dans le cas des cubiques crunodales, acoodales ou cuspidales, nous aurons à distinguer dans la troisième espèce (c) si la droite de l'infini est à proprement parler une tangente ou bien si elle passe par un point double ; et, quand il s'agira des cubiques crunodales et cuspidales, nous devrons aussi, dans le cas (d), distinguer si la droite de l'infini est tangente en un point d'inflexion, ou au point double, ou au pointde rebroussement.Enfindans le cas d'une cubique bipar ùteoucrunodale, il est important de distinguer dans les cas (a) et(^)si les trois points où la droite de l'infini rencontre la coarbe appartiennent tous à la branche infinie, ou bien si d'eux d'entre eux sont sur l'ovale ou sur la boucle, et le troisième sur la branche infinie. Les diflférences qui résultent de là pour les figures de la courbe sont si grandes que les deux cas peuvent être classés comme deux espèces distinctes. Voilà les seules distinctions que nous ferons dans ce qui suit et qui formeront les bases de la classification des espèces. Les seules autres différences qui sembleraient avoir des droits à être mises sur le même rang sont celles qui résultent de ce que les points à l'infini de la courbe peuvent être des points ordinaires, ou que un ou trois d'entre eux peuvent être des points d'inflexion. Mais, comme les changements que cela apporte dans la configuration des courbes sont peu importants, et qu'il est désirable de n'avoir pas plus d'espèces qu'on ne peut facilement se rappeler, j*ai préféré classer les courbes en tenant compte des différences mentionnées en dernier lieu, pour en faire, non pas des espèces différentes, mais des variétés différentes d'une même espèce. Il y a évidemment beaucoup d'arbitraire dans la manière de compter les variétés des cubiques, et le tout dépend- du point de vue auquel on se place pour discuter ces courbes.

quand u est à l*in(ini : cette dernière équation représente un système d'hyperboles ayant x, y pour asymptotes ; et, d'après la propriété connue de l'hyperbole, les cordes interceptées par ces courbes sur une droite quelconque js = Bp ont un point milieu commun ; c'est le point de contact de cette droite avec Tune des hyperboles du système. Il est clair que si z:=hv est tangente à la cubique, ou passe par un point double situé sur cette courbe, elle doit être tangente à rbyperbole; le centre critique dans ce dernier cas sera le point de contact. Si donc nous joignons par des droites un quelconque des centres critiques aux points à distance finie où les asymptotes rencontrent la courbe, les centres critiques seront les points milieux des cordes interceptées par la cubique sur ces droites.

Section III. — Classification des cubiques.

195. Nous allons, en premier lieu, montrer que Téquation de toute cubique peut être ramenée à la forme

zy^r=: ax^ '\- 3ba*z -h 3c xz^ ~\- dz^.

Toute cubique réelle a au moins un point d'inflexion réel; en eflet, les quantités imaginaires se présentent toujours deux par deux et le nombre total des points d'inflexion est impair, c'est-à-dire égal à neuf, trois ou un (n® 147). Si nous prenons pour axe des z la tangente au point d'inflexion et pour axe des x une autre droite quelconque passant par ce point, l'équation de la courbe (n** 51, VII) sera de la forme z^ = ax^, 9 étant une fonction du second degré, par exemple

y^ -+- ilyz -h imxy -\-px* -+- 2qxz -+- rz^;

mais, si nous eflec tuons une transformation de coordonnées, de manière à prendre la droite^ -^ Iz-^ mx pour le nouvel

axe des j^, les termes de ff qui contiennent^ au premier degré seulement disparaîtront, et Féquation aura la forme indiquée au commencement de ce numéro. La signification géométrique de la transformation que nous avons opérée consiste en ce que nous prenons pour axe des Zf ainsi que nous Tavons déjà dit, la tangente en un point réel d^inflexion zx et pour axe des y la polaire harmonique (n° 170) de ce point : en effet, si nous cherchons en quel point une droite issue du point d'ioflexion rencontre la courbe représentée par Téquation cidessus, en faisant la substitution z = \x, nous trouvons pour^ des valeurs de la forme ±: (xx; elles nous montrent que les points où la droite coupe la courbe sont conjugués harmoniques par rapport au point où elle rencontre la droite } et le point d inflexion.

196. On peut, dans la classification des courbes, regarder comme fondamentales les propriétés distinctives qui ne sont pas altérées par la projection ou, en d'autres termes, celles qui séparent non seulement les courbes, mais aussi les cônes du même ordre. Les courbes du second ordre ne donnent pas lieu à des divisions de ce genre, car il n^y a qu'une seule espèce de cône de ce degré. Pour savoir si les cubiques préseutentdes différences caractéristiques de cette nature, il suffit de prendre la forme à laquelle toute cubique peut se ramener, ainsi qu'on l'a démontré dans le numéro précédent, et de rechercher si, parmi les courbes qu'elle peut représenter, il existe des variétés que la projection n'altère pas et quelles sont ces variétés. Et, comme nous ne nous occupons maintenant que des variétés non altérées par la projection, nous pouvons supposer la droite z à l'infini et discuter la forme

y*:=zax^ -+-3 6a?* -h3cj? -^dj

qui est susceptible de représenter une projection d'une cubique quelconque donnée. Nous ferons remarquer que, si

eOet, diaprés ce qu'on a dit dans le numéro précédent, les branches de la courbe, qui sont tangentes à Pasymptote à ses extrémités opposées, doivent être regardées comme la continuation Tune de Tautre.

Dans ce qui précède, nous avons supposé que le point à rinfîni sur la serpentine est un point ordinaire de la courbe. Si cependant c'est un point d'inflexion, la différence consistera en ce que les branches infinies, positive et négative, au lieu de se trouver, comme d'habitude, de part et d'autre de l'asymptote, seront d'un même côté de celte droite, comme dans la courbe de droite de la figure. Il est évident que la courbe n'a alors que deux points d'inflexion à distance finie. Nous dirions que la courbe a la forme d'une conchoïde.

205. Supposons maintenant que la droite projetée à l'infini rencontre la branche infinie en trois points ordinaires. On verra qu'elle divisera toujours la courbe en trois parties, dont l'une n'a pas de points d'inflexion, l'autre en a un et la

Fig. 3a.

troisième deux. La projection se composera de trois branckcà infinies : l'une, que nous appellerons une hyperbole simple, n'a pas de points d'inflexion et ne coupe pas ses asymptotes;

COURBES DU TROISIÈME ORD^B. a45

la seconde, que nous appellerons une hyperbole infléchie, rencontre une asymptote et par conséquent a uû point d^inflexion ; et la dernière, que nous appellerons une hyperbole doublement infléchie, coupe ses deux asymptotes et présente par conséquent deux points d'inflexion (*). Aucune de ces hyperboles, considérées deux à deux, ne forme de couple hyperbolique, mais, prises toutes les trois ensemble, elles constituent une suite continue. Ainsi, dans la fig. Sa, si nous commençons par la branche descendante de Thyperbole doublement infléchie, la courbe, après son passage par Tinfini négatif sur l'asymptote verticale, est continuée à partir de Tinfini positif de la même asymptote par la branche verticale de l'hyperbole infléchie jusqu'à ce que, après être passée à l'infini sur l'autre asymptote, elle revienne le long de l'hyperbole simple, puis de là à l'hyperbole doublement infléchie.

Si Tun des points à l'infini est un point d'inflexion, l'hyperbole à une inflexion devient une hyperbole simple, ou bien la branche doublement infléchie devient hyperbole à une seule inflexion. Si les inflexions sont toutes les trois à l'infini, la coarbe se compose de trois hyperboles simples.

Les cubiques qui ont trois branches hyperboliques ont été appelées par Newton hyperboles redondantes, parce qu'elles possèdent une branche infinie de plus que les sections coniques; celles qui n'ont qu'une seule branche infinie, comme dans le numéro précédent, ont reçu le nom à^ hyperboles défectives; et celles qui sont tangentes à la droite de l'infini et qui ont en outre une asymptote à distance finie, sont nommées hyperboles paraboliques.

206. Nous énumérons maintenant les espèces suivantes de cubiques bipartites :

(') Newton les nomme : la première, hyperbole inscrite, la troisième hyperbole circonscrite, et la seconde hyperbole ambigène.

I® La droite projetée à Finfini rencontre l'ovale deux fois et Tautre partie de la courbe une seule fois. Si ce dernier point de rencontre est (a) un point ordinaire, la courbe se

Fig. 33.

compose d*une serpentine et d'un couple hyperbolique, comme l'indique la /ig, 33. Si ce point est (6) un point d'inflexion, la seule différence consiste en ce que la serpentine se change en une courbe à forme conchoïdale.

2*^ La droite de FinGni rencontre la courbe en trois points réels, dont aucun n'appartient à Tovale. Si les points sont (a) tous trois des points ordinaires, la figure est celle du u? 205. Si l'un des points est un point d'inflexion, la courbe se compose, ou bien (6) d'un ovale avec deux hyperboles simples et une hyperbole doublement infléchie, ou bien (c) d'un ovale avec une hyperbole simple et deux autres hyperboles présentant une seule inflexion. Si [d) les trois points d'inflexion sont à rinfîni, la courbe consiste en un ovale et en trois hyperboles simples. Dans tous ces cas, l'ovale se trouve en dedans du triangle formé par les asymptotes, et les courbes peuvent encore être distinguées les unes des autres suivant que les hyperboles se trouvent dans les angles qui contiennent le triangle asymptotique ou, comme dans la figure, dans les angles opposés par le sommet.

3** La droite de l'infini rencontre la courbe en deux points

COURBKS DU TROISIitSIE ORDRE. 34?

imaginaires et oous avons un ovale (a) avec une serpciuiiie, ou (6) avec une branche conchoïdale (voir n" 20^).

Fig. 34.

4® La droite de TinGni est tangente à Tovale qui prend Ij forme parabolique et est accompagné (a) d'une serpentine, (6) d'une branche conchoïdale.

5° La ligne de Finfini est tangente à Tautre partie de la courbe. L'ovale reste alors une figure fermée, tandis que l'autre

Fig. 3â.

partie se développe suivant la forme parabolique. Si (a) le point restant est un point ordinaire à l'infini, une branche coupe Fasymptote et a deux inflexions, tandis que l'autre branche n'en a qu'une. Si (6), au contraire, c'est un point d'inflexion, les branches sont toutes deux du même côté de l'asymptote et chacune d'elles n'a qu'un point d'inflexion.

6^ La droite de l'infini rencontre la courbe en trois points qui coïncident. C'est le cas que nous avons indiqué (n** 199).

207. Nous arrivons maintenant à la division des cubiques unipartites non singulières; il est clair que nous ne trouverons ici rien qui corresponde aux espèces (i°) et(4**)du numéro précédent. Nous n'avons donc que quatre espèces de ces cul)iques unipartites; ce sont .des hyperboles redondantes, des hyperboles défectives, des hyperboles paraboliques et des paraboles divergentes, suivant que les points de la courbe sur lu droite de Tinfini sont tous réels et distincts, que deux sont

Fig. 36.

imaginaires, que deux sont coïncidents ou enfin que lous les Irois points se confondent. On peut aussi tenir compte des variétés de chacune d'elles, comme dans le numéro précédent, et les figures de ce numéro serviront pour le cas actuel, en laissant toutefois Tovale de côlé : comme exemple nous donnons la figure de la courbe pour le cas où la satellite coupe les côtés du triangle asymptotique et où deux centres critiques (n° 192) sont dans l'intérieur du triangle. Nous avons alors une portion de l'hyperbole doublement infléchie qui se trouve à l'intérieur de ce triangle, et qui présente la forme d'une bourse; on conçoit aisément que, en faisant varier la valeur de

la constante, la bourse puisse se fermer; nous avons alors un point double en un des centres critiques; d'autres changements dans la valeur de cette constante nous donneraient un ovale séparé, dégénérant finalement en un point conjugué situé surTautre centre critique.

De la même manière, nous avons les quatre mêmes espèces (le cubiques acnodales auxquelles il faut adjoindre une cinquième forme pour laquelle le point conjugué est à Tinfini. Les ligures données pour le cas des cubiques bipartites suffisent pour représenter cette classe, si nous supposons que Tovale dégénère en un point conjugué. Celles qui correspondent au cas où le point conjugué* est à Tinfini ne diffèrent pas notai)lement de celles où la droite de Pinfini rencontre la courbe CD un point réel et en deux points imaginaires.

208. Les cubiques crunodales nous donnent les espèces suivantes.

i*^ La droite de l'infini coupe la boucle en deux points réels. Nous avons alors deux hyperboles simples et une hyperbole infléchie (figure gauche). On remarquera, en suivant la

Fig. 37.

courbe dans ses passages à Tinfini, qu^elle est unicursale. Cette espèce donne naissance à deux variétés selon que le point qui reste est un point ordinaire ou un point d^inflexion.

Dans le dernier cas, toutes les hyperboles sont simples.

a^ Il y a trois points réels à rinfini, et aucun d*eux n'est situé sur la boucle. La courbe se compose d*une hyperbole inscrite, d*une hyperbole mixte et d'une hyperbole circonscrite ; cette dernière forme une boucle à l'intérieur du triangle asymptotique. On distingue deux variétés suivant qu'il y a un point d'inflexion à l'infini, ou qu'il n'en existe pas.

3" La droite de l'infini rencontre la courbe en deux points imaginaires. Deux variétés comme plus haut.

Fig. 38.

4° La droite de l'infini est tangente à la boucle et 5* cette droite est tangente à la partie de la courbe qui s'étend vers

Fig. 39

rinfini. Les figures se comprennent d'elles-mêmes ; conimo dans le cas précédent, il existe encore ici deux variétés ; la

GOURRB9 DU TROlSlfeVB ORDRB. a5r

courbe est située tout entière d'un même côté de Tasymptote quand il y a un point d'inflexion à Tinfini.

Il existe un point double à l'infini et par conséquent deux asymptotes parallèles; le point restant à l'infini peut être

Fig. 40.

6" sur la partie qui s'étend à l'infini, ou 7^ sur la boucle. Dans le premier cas, le point d'inflexion est en dehors des asymptotes parallèles ; dans le dernier, il est à leur intérieur. S'il se trouvait aussi un point d'inflexion à l'infini, les deux branches, dans le premier cas, seraient situées d'un même côté de l'asymptote,

8*' La droite de l'infini est tangente à la courbe en un point d'inQexîon et nous avons la parabole divergente du n** 199.

Fig. 41.

9* La droite de l'infini est tangente à la courbe en un point double; nous avons alors la courbe représentée ci-dessus, et appelée le trident.

209. Pour les cubiques cuspidales, il n^y a évidemment pas d'espèces qui correspondent à celles qu^on a classées sous les numéros i**, 4**? T dans l'article précédent. Les espèces sont alors définies comme il suit : i° trois points réels à rinfini, deux variétés; a° un point réel et deux points imaginaires à l'infini, deux variétés; 3** la droite de Tinfini est une tangente ordinaire, deux variétés ; 4 * 1^ point de rebroussement est à l'infini, deux variétés; 5' la droite de l'infini est une tangente stationnaire ; 6" la droite de l'infini est une tangente cuspidale. Les figures qui répondent aux cas i**, a*", 3' peuvent se concevoir aisément au moyen des figures du numéro précédent, en supposant qu'on a enlevé la boucle (|ui est pointillée dans ces figures, et qu'on a remplacé le point double par un point de rebroussement. La figure qui correspond au cas (4") se déduit de la figure de gauche (n** 208) pour le cas de deux asymptotes parallèles, en imaginant que ces asymptotes se soient réunies et que la branche qu'elles renferment soit supprimée. Nous avons alors une seule asymptote avec deux branches infinies situées de chaque côté de cette droite, mais à la même extrémité. La figure pour le

Fig. 4a.

cas (5**), qui est la parabole semicubique my^=^x^, a été donnée (n® 39). Enfin la figure relative au cas (6**), la parabole cubique m^y == or', est représentée ci-dessus.

210. Quoique nous ayons compté environ trente espèces de cubiques, il n'est pas difficile de se rappeler la classification, si l'on se grave bien dans l'esprit qu'on n'a fait que combiner la quintuple division du n® 196 avec celle du n** 202

COURBBS BU TROISIÈME ORDRE. a53

relative à la nature des points à Tinfini. Il reste à dire quelques mots des classifications antérieures des cubiques. La première est due à Newton, Enumeraiio linearum tertii ordinis; elle est en substance la même que celle que nous venons de donner; remarquons toutefois que les courbes que Qoas avons comptées comme variétés sont pour lui des espèces distinctes; de même aussi, quand une branche hyperbolique est tangente àdeux asymptotes, nous ne recherchons pas, parmi les angles opposés par le sommet qu'elles forment, quel est celui où est située la branche, tandis que Newton distingue les cas où cette branche se trouve dans Tangle coupé par la troisième asymptote ou dans Tangle opposé. Les cas où trois asymptotes se rencontrent en un point sont traités comme des espèces différentes. £n ayant égard à ces distinctions, le nombre des espèces monte à soixante-dix-huit. Nous avons pris la division quintuple comme caractère distinctif primordial, et celle qui dépend des branches infinies ne vient pour nous qu'en second lieu ; Newton a adopté la marche inverse.

Voici comment Newton procède pour réduire l'équation générale : un des axes étant choisi parallèle à l'asymptote réelle, le coefficient de ^' s'annule par exemple, et l'équation de la courbe est de la forme

}^(ax -^ h)-\-y(Jx^ -\- gx -\- h)-^px^ -{- qx* -^ rx -hs^=2 0.

Le lieu des points milieux de cordes parallèles à l'asymptote est évidemment

2axy -\-2by -h/x^ h- gx -h A = o,

et, si nous supposons que nous ayons fait une transformation de coordonnées, par suite de laquelle les axes deviennent les asymptotes de cette hyperbole, les termes 6, /, g s'annuieront évidemment, et l'on voit que cette même transforma-

lion ramènera Féquation de la cubique à la forme œy^ ■+■ hy = joo?' -\- qx^ -h ra? -h 5

ou bien, en prenant les notations de Newton,

^yî ^çy-— fix^ -H hx^ -h co? -+- «/.

Celte équation est, pour Newton, la forme la plus générale. Si cependant, dans l'équation écrite comme nous Tavons fait, a et 6 s'annulent, le lieu n'est pas une hyperbole, mais une ligne droite; et, selon que ce sera (1") la droite j: = o, (a**) une droite arbitraire qu'on peut prendre pour r=:u ou (3**) la droite de l'infini, l'équation de la cubique peut se mettre d'une manière analogue sous les formes

xy =L ax^ -h hx^ ■+■ ex -hd^ y* = ax^ -f- bx* -h ex -^d, y zrzax^ ~\- bx^ -i- ex -hd.

Le seul cas qui soit différent en apparence est celui 011, dans l'équation que nous avons écrite, la quantité a est nulle; l'équation est une parabole; mais, dans ce cas, il existe une autre asymptote réelle; le lieu des points milieux des cordes qui lui sont parallèles est une hyperbole et la réduction s'opère, comme dans le premier cas, à cette exception près que le coefficient de x^ s'annule dans l'équation transformée. Les résultats de Newton se déduisent de la discussion de ces quatre formes, Si^ = f (^) est l'équation d'une courbe quelconque, Newton appelle la courbe xy'== ^{x) un hyperbolisme de celte courbe. Ainsi il appelle des cubiques qui ont un point double à l'infini et dont l'équation peut par conséquent se mettre sous la forme

xy'^ -heyr=zcx-^d

les /type rbo lis mes de l'ellipse, de l'hyperbole ou de la parabole, puisque l'équation qu'on vient d'écrire devient celle d'une conique quand on r;,mplace xv par y.

COURBES BU TROISiftXE ORDRE 255

211. Nous avons déjà parlé de la discussion des cubiques faite par Plucker dans son System der Analytischen Géométrie. Dans celte discussion, la nature des points à Tinfini est le fondement primordial de la classification. Si Ton commence par le cas de trois asymptotes réelles, où Féquation est de la forme xyz = ku^ v, on distingue d'abord les cas où les asymptotes se rencontrent en un point, ou forment un Iriangle. On examine ensuite toutes les positions possibles (le la droite satellite v ; on cherche, par exemple, si elle coupe le triangle, si elle passe par un sommet ou rencontre tous les côtés prolongés, si deux centres critiques coïncident (n^ 192) et ainsi de suite. On dit que toutes les courbes qui peuvent être représentées par Téquation ci-dessus pour (ioe position donnée des droites x^ y, Zy v forment un l^roupe, et, en donnant toutes les valeurs possibles à k, on

Fig. 43.

dislingue les différentes espèces renfermées dans le même groupe. On comprendra plus facilement ces considérations

en examinant la figure du premier groupe de Pliicker; nous la reproduisons ici : elle répond au cas où la droite satellite rencontre les côtés prolongés du triangle asymptotique et où nous avons trois centres critiques, un en dedans er deux en dehors du triangle. La fig, i représente une courbe bipartite de Tespèce désignée par I.2 dans le présent Volume. k changeant de valeur, Tovale se réduit à un point et nous avons (2) la courbe acnodale III. i. Quand k continue à varier, la courbe devient unipartite II. i, et les branches s'écartent davantage de leurs asymptotes. Dans (4) les branches coupent les autres asymptotes et la courbe devient crunodale IV. a. \j^ fig. 5 est bipartite I.i. l^difig, 6 est, dans noire classification, de la même espèce que 5, 7 que .( et 8 que 3, mais la position des branches par rapport au triangle asymptotique est différente. La division en groupes de Plùcker a été soigneusement examinée à nouveau ( Transactions 0/ the Cambridge Philosophical Society, 1864) par M. Cayley, qui a fait la comparaison des espèces de Newton avec celles de Pliicker; ces dernières sont au nombre de deux cent dix-neuf. Il n'entre pas dans le plan de ce Traité de donner une analyse plus complète de cette classification. Il nous suffira de signaler, pour le cas des courbes paraboliques, le rôle important que joue la parabole asymptotique osculatrice, ou parabole qui passe par cinq points consécutifs de la courbe, au point où cette dernière est tangente à la droite de l'infini. L'équation de la courbe peut se mettre sous la forme

j7(jï ^2zx-\- z^)^=iz^{ay -h bz);

il est évident que la parabole j^'^ + 2 ^^ + 5* rencontre la courbe au point yz compté cinq fois. Les groupes se trouvent ainsi déterminés par la position de la parabole osculatrice, par rapporta l'asymptote linéaire x et à la droite sulellile ay 4- bz.

Section IV. — Courbes nnicorsales.

212. Nous avons vu (Sections coniques, n® 270) que les calculs se trouvent singulièrement facilités quand les coordonnées d'un point d'une courbe peuvent s'exprimer en fonction d'un seul paramètre, et nous avons démontré (n^ 44) que ceci est toujours possible dans le cas d'une courbe unicursale. Nous allons donner quelques exemples de l'application dece principe aux cubiques. L'équation d'une cubique cuspidale peut toujours se ramener à la forme x^z=^y^; xy est le point de rebroussement, x la tangente cuspidale et z la tan- ^'ente stationnaire. Un point quelconque de la courbe peut donc s'exprimer comme intersection de 0:r=:^, B^j' =.?(*), ou, en d'autres termes, les coordonnées d'un point quelconque peuvent être prises dans le rapport de i , 9, 9' ; 9 étant un paramètre variable. La droite qui joint deux points quelconques de la courbe aura pour équation

oo'(e + 6')^ — (0» -^ 60' -h o'«)j + 5 = 0,

comme on peut le vérifier facilement.

Faisons coïncider 9 et 9^, et nous avons l'équation do la tangente

Supposons que nous cherchions les points où une droite rtjr 4- éj' -I- c5 = o rencontre la courbe ; remplaçons x^yy z par I, 9, 6», et nous avons l'équation a-f- 69 -f- c9» = o;

(*) Ces équations, considérées comme exprimées en coordonnées tangenliclles, donnent ce théorème : Si I est un point d'inflexion, C un rebroussenunt, et T V intersection des tangentes en ces points, une tangente quel-

— * conçue AB coupe les côtés du triangle ICT de manière que ~ = k^

AT* ^^ et, quand Ta droiu de Vinfini est une, tangente, k = t, (Voir Sections co niques, n* 327).

S. ~ Courbes planes, ii^

comme cette équation en 0 n*a pas de second terme, la somme de ses racines est nulle, et nous voyons ainsi que les paramètres de trois points en ligne droite sont liés par la relation 8 -h 8' + O'' = o. Donc, en particulier, le tangenliel du point 0 est — aQ, et le point de contact de la tangente menée par 8 est — 58.

Si nous remplaçons de même x^ y^ z par 1, 8, 8' dans l'équation d'une courbe d'ordre />, le terme 8'/*"* manquera dans l'équaiion, et la relation qui lie les paramètres des Zp points d'intersection de la courbe avec la cubique consiste en ce que leur somme est nulle. Ain$i le 8 du résiduel d'un sy6tème de points est la somme des 8 de ces points prisa négativement, et celui de leur corésiduel est la somme même de ces 8; et, en général, les théorèmes relatifs à la résiduation (n"*158etsuiv.) deviennent ainsi intuitivement évidents pour les cubiques cuspidales. Si, par exemple, nous représentons les paramètres des points par a, 4,-.., la condition poup (]ue six points soient situés sur une conique est

a-h^-Hc-hef-hc -4-/= o.

Celte relation nous fournit immédiatement ce théorème (n*' lo4) : Étant donnés quatre points sur une cubique, la droite qui joint les points e^/où une conique menée par ces points rencontre de nouveau la courbe, pa^se par le point fixe (a + 6 -h c + rf); on peut construire ce point en traçant afr, cd et joignant les points où ces droites coupent à nouveau la courbe, puisque

— (rt -h 6) — (c 4- e/) 4- (a H- ^ H- c -h rf) ~ o.

On obtiendra de la même manière diverses méthodes pour construire le neuvième point où une cubique passant par huit points rencontre de nouveau la courbe, à la seule inspection de l'équation

{avb -hc-i-c^)-{-(cH-/-f-^4- A)-|- 1 = 0.

COL'RIIES DU TROISlItMB ORDRE. aSg

2i3. On trouvera les paramètres des points dont les tangentes passent par un point donné en portant les coor- (Jonnécs de ce point dans l'équation aO'.r — 36'^ -f- ^ = o; pt, comme le coefficient de 6 est nul dans la cubique résultante, la somme des inverses des racines est nulle ou, en d'autres termes, trois points dont les tangentes se rencontrent

en un même point sont liés par la relation â H~ ^^ + s? = o.

De même on saitque la condition pourque a 8*^ — 36M'-f-3 = o soit tangente à une courbe de la ^'*"* classe est une relation du />'•"• ordre entre les coefficients a8', 38', i ; or une relation de ce genre ne contient évidemment pas le terme 6 : il en résulte donc que les 3/? points, où les tangentes sont tangentes à une courbe de la />**•■• clause, sont liés

par la relation \ f - | = o. Voici quelques exercices qui montrent comment on applique celte méthode à des exemples.

Ë\ËRCICB 1. — Trouver le lieu de l'intersection des tangentes dont la corde de contact passe par unpointfixe d'une cubique cuspidale. Ceci revient à éliminer oc et ^ entre les trois équations

dans lesquelles y est connu. Nous trouvons aisément

rquation d'une conique.

K\BRCiCE 2. — Si un polygone d'un nombre pair de côtés est in^ scrit dans une cubique et si tous les côtés, sauf un, passent par des points fixes situés sur la courbe, le dernier côté passera aussi par un ponit fixe de la courbe.

Représentons les paramétres des sommets par a^ a^, . . ., et ceux des points fixes par 6i, 6|, . . . . Nous prenons, pour plus de simpliciir, le ras du quadrilatère, mais la démonstration est générale. Nou^ii avons alors les équations

ai -f- ^i -r aj = o, ai->r- bi-h a^ — o, o.\ -^ ^.1 -+- cr. = o, a» -^ 64 -h ai = o,

26o CHAPITRE Y

En les ajoutant membre à membre, nous obtenons

ft. -+- ^3 ^ ^î -4- ^*;

cette relation montre que les droites qui joignent biy 63 ; 62, 64 se rencontrent sur la courbe et que, quand trois des points sont connus, le quatrième est aussi connu. Le théorème est vrai pour toutes cubiques, car la démonstration donnée ici peut se traduire aisément dans le langage de la résiduation; on voit que les couples de points 61, ^3} ^i> ^k sont corésiduels, et que le système de sommets ai, a^, as, a^ leur est un résiduel commun.

11 résulte, comme cas particulier de ce théorème, que si les côtés d*un polygone d'un nombre impair de côtés passent par des points fixes de la courbe, la tangente en un sommet quelconque passe aussi par un point fixe; et, par conséquent, le problème qui consiste à construire un polygone de cette nature dont les côtés passent par des points fixes d'une cubique non singulière admet quatre solutions.

Exercice 3. — Trouver la quasi-développée, en supposant que les deux points fixes soient sur la courbe, (Voir aussi Ex, 5, n* 99). L'équation de la quasi-normale est (n^ 107)

(pl^^e — 2e«)[0a(eH-a)a:— (0«-*-Oa-i-a«)j^-h^]

H(a«^ae — aO«) [Op (6 -h ?)ar— (e« -+- ep -4- p«)^ H- z] = o.

Si nous la transformons en posant 6 = hr- > nous obtenons, conformément au n^ 108, une équation biquadratique en X, dans laquelle les deux termes extrêmes ne diffèrent que par un facteur conslant, et le discriminant, qui renferme comme facteurs les équations des tangentes eh a et p, représentera par sa partie restante une courbe du quatrième degré seulement.

214. Il nous reste à faire connaître quelques-uns des exemples les plus remarquables de cubiques de la troisième classe. Nous avons déjà parlé de la parabole semi-cubique qui est la développée de la parabole du second degré. Dans son équation py^==x^, le point de rebroussement est à Torigine et le point d'inflexion à l'infini. Dans la parabole cubique, au contraire, p^y = x* le point d'inflexion est à

l'origine et le rebroussement à l'infini. Dans la parabole cubique, Torigine est un centre et tous les diamètres de la courbe coïncident avec Taxe des/; en effet, si nous menons une droite quelconque /= mx 4-/i, la somme des valeurs de X est égale à zéro.

La cissoïde de Diodes fait partie de la classe des cubiques cuspidales ; cette courbe a été imaginée par le géomètre do ce nom pour résoudre le problème qui consiste à trouver

Fig. il.

deux moyennes proportionnelles. On peut la définir comme ie Jieu d'un point M', où le rayon vecteur du cercle AM est coupé par une ordonnée telle que AP' = PB. Nous aurons ainsi

AM' ^ RM etpar suite

p = AR — AM =: 2 r séc co — 2 r coso) = a r tang(o sin w,

ou, en coordonnées rectangulaires,

^ ( a?* -f- r* ) =: 2 rj', ou (2/* — x)y^^=.x'^.

L'origine est donc un point de rebroussement et 2r — x une asymptote qui rencontre la courbe en un point d'inflexion situé à une distance infinie.

Newton a donné la construction élégante qui suit pour

202 CDàPITBB V.

décrire cette courbe d'un mouvement continu. Un angle droit a le côté GF de longueur constante ; le point F se meut le long de la droite fixe Cf, tandis que le côté GH passe par le

Fîg. 45.

point fixe E; un cra^^on fixé au milieu de GF décrira la cissoïde. Nous laissons au lecteur le soin de démontrer celte proposition. (Lardner, Géométrie algébrique, f. 196-47^.) La cissoïde est aussi le lieu que nous trouverions en prenant sur chacun des rayons vecteurs menés du sommet d^unr parabole une longueur égale à Tinverse de celle du rayon vecteur. Par conséquent, c'est aussi le lieu du pied d'une perpendiculaire abaissée du sommet d*une parabole sur la tan- ,i;ente; ou, en d'autres termes, si une parabole roule sur une autre parabole égale, le lieu du sommet de la parabole mobile sera la cissoïde.

215. Nous pouvons de la même manière exprimer on fonction d'un seul paramètre les coordonnées d'un polnl (|uelconque d'une cubique crunodale ou acnodale. Le point <louble étant pris pour origine, l'équation de la courbe est le la forme

r/.r=» -i- 3 ùjc^y -+- 3cay^ -y- dv^ H- 3/d:* H % gxy -^Z hy'^ ^=0;

et, si nous posons ^=:=: Ox, nous avons immédiatement pour X ely des expressions rationnelles en fonction de 0. La discussion sera toutefois plus simple. si nous supposons Téqualion transformée, comme cela se peut toujours, de manière

qu^èllé ait la forme (j;^ ±y^)z = x^. Ici z est la tangente au point réel d'inflexion que la courbe doit avoir; x est la droite qui joint le point d'inflexion au point double et j?^ ±y^ sont les tangentes au point double ; le signe supérieur se rapporte au cas de la cubique acnodale, le signe inférieur au cas de la cubique crunodale. On peut alors prendre pour coordonnées dUin point quelconque de la courbe des quan* tités proportionnelles à ( i ±: 0^), 6(1 ± 6'), i. Si nous substituons ces valeurs dans Téquation d'une droite arbitraire \x -h (jLj' -+• v>5 = o, nous avons, pour déterminer les paramètres des poiiUs où cette droite coupe la cubique,

(X -4- v) H- |jl6 ± Xe« ± 1x6» = o;

et ces paramètres sont liés par la relation

Si la droite est tangente en un poi<it d'inflexion, 6' =. ô" = '^"' et, par conséquent, ft* = ±: J. Donc une cubique acnodale a trois points d'inflexion réels; une cubique crunodale a un seul point d'inflexion réel et les deux autres sont imaginaires.

On trouve que l'équation de la droite qui joint deux points est

(e«-f.60'-i-6'«=ti)a?— (64-6')/— ±(i:±6«)(i±:e'*)«; donc l'équation d'une tangente est

(36»it: i) ^— 26j= =!= (i zh 6»)« 5.

Nous voyons par là que, si quatre tangentes se rencontrent en un même point, la somme des paramètres correspondants est nulle; et que si deux des points nous sont donnés, nous pouvons immédiatement former Téqualion quadratique qui détermine les paramètres des deux autres.

Il n'y a aucune difliculté à appliquer cette méthode à des

exemples. Dans le n°122, Ex*ij nous avons parlé delà

cubique crunodale dont Téquation polaire est p*cos J w = m^ et dont Téquation en coordonnées rectangulaires est

cette courbe a trois points dUnflexion à Tinfini: Tun est réel, et les deux autres sont les deux points circulaires. Le noeud est sur Taxe des x, à la distance a: = — 8 m.

216. Si une cubique nodale a trois points (Tinjlexion réels j le point conjugué est le pôle de la droite qui joint ces trois points, par rapport au triangle formé par les trois tangentes. Supposons que l'équation de la cubique soit

{x-^ y-\- zy-=imxyz.

Si cette courbe a un point double, les coordonnées de ce point doivent vérifier les équations qu'on obtient par la différentiation et qui sont

3(j:-h/-+-5)'r= niYzzr:! n%zx'=:intxy.

De ces équations nous déduisons x^^y =^ z, ce qui prouve (n^ 165) le théorème énoncé. Pour la cubique nodale nous avons alors m = 27, et l'équation de cette courbe peut être mise sous la forme

x^->ry^ 4-5' =0.

On peut, dans ce cas, prendre pour coordonnées d'un point quelconque de la courbe des quantités proportionnelles à 0-*, ( I — 0)', — I , et l'équation de la tangente correspondante est

(i— 0)»a:-he«jH-0«(i — 0)«;; = o.

216 a. Nous pouvons traiter autrement la question des ca-

COURBES DU TROISiftffB ORDRE. ^65

biqaes unicursales ('). Nous pouvons partir des expressions les plus générales des coordonnées en fonction d'un paramètre X : [X :

xz=ia X»-+-36 XV -h 3c Xjx* -^-d jx»,

j^ = a' X» H- 3 6' XV -h 3 c' X{x» 4- c^V'» ^ = a' X» -h 3 ^>' X'ii. -h 3 c'' X{x* H- rf' p.»,

et écrire immédiatement Téquation de la cubique résultante sous forme d'un déterminant (comme dans le n^ 44). Mais, d'autre part, il y a en général trois fonctions linéaires de j, /, z dont les expressions en fonction de X et [jl sont des cubes parfaits. En effet, si dans l'expression

L^ -h M j H- N ^ = ( aX -h Pix)»

nous remplaçons x^y^ z par leurs expressions en X:[x, si nous égalons les coefficients de X', X^ [x, . . . , et si nous éliminons linéairement L, M,N entre les relations ainsi obtenues, nous trouvons

p* d d dC

Autrement dit, nous avons pour déterminer a: ^ une équation du troisième degré que nous pouvons écrire

Aa»-h3Ba«p-+-3Ca?«-hDp» = 0,

et A, 3B, 3C, D sont les déterminants du système

V) Pour plas de détails sur la méthode indiquée ici, voir Icbl, Math. Annal., t. VI, p. 663, et Haase, Math. Annal., t. II, p. 626.

Aux irois valeurs de a : ^ correspondent trois valeurs de Lx-^My -^-Nz. Si donc nous écrivons les trois équations

L'a: -h M'v -h N';5 = (a'XH- p»'. . . ;!

si nous prenons les racines cubiques des deux membres el si nous éliminons linéairement \ l [jl, nous aurons Téqualion de la courbe sous forme d^une relation linéaire entre les racines cubiques de trois fonctions linéaires. On peut exprimer ce résultat de la manière la plus simple en posani

X=: (a' X -h p' [lY (a" p*^ - a'P')S

Z = (a-'X -f- p'^ jx)» {ol' P^ — a'' p' )\

Nous obtenons alors l'équation de la courbe sous la forme (n« 216)

X^ + Yï4-Z»=zo,

qui représente une cubique nodale ; X, Y, Z sont les trois tangentes d'inflexion; X+Yh-Z=o est la droite qui joint les trois points d'inflexion et X = Y = Z est le point double.

216 6. Nous pourrions arriver par un autre procédé à une cubique identique avec la cubique canonisante du numéro précédent. La condition générale pour que trois points soieni en ligne droite s'obtient en égalant à zéro le déterminant des coordonnées x'jy'y z\ . . . des points. Si dans cette expression nous remplaçons x' par aV^ -\- . . . , nous avons la condition pour que trois points de la courbe soient situés sur une même droite. Il est facile de voir qu'elle peut se décomposer en déterminants, divisibles chacun par

(XV*-XV)(X'';x'' — X-'ti'')(X''{JL' — X'fx*'),

et la condition en question peut étrj écrite aussi sous la forme

A ix^V" 4- B ( X W' H- > V P-' -H ^'^ H^ V)

-h C(X'X'ijl' -h X'X'ijl' -f- X'X>») -I- DX'X'X'^ = G,

Jans laquelle A, B, . . . ont la même signification que dans le numéro précédent. En d^autres termes^ si lesX : \l des trois points sont déterminés par Téquation

A'X» -+- 3 B'X«[i-f- 3C'X{JL* -h D' ji» = o,

la condition pour que ces trois points soient en ligne droite

est

(AD' - A'D) - 3 (BC - B'C) = o.

Nous obtenons le X : [jl d^un point d'inflexion en posant \'=zy = y\ [ji' = [x'' = jx'" dans l'équation précédente, et nous retombons ainsi sur la cubique

A|ji» -h 31iXHi« + 3C X^ix -+- DX' = o.

Nous pourrions arriver à la même cubique sous une forme un peu difl(érente. L^équation générale, sous forme de déterminant, de la droite qui joint deux points, montre que, pour une cubique unicursale dont les coordonnées Xy y y z nous sont données en fonction d'un paramètre, Téquation de la tangente en un point quelconque est

Les indices représentent ici le symbole d'une différentiation Jes expressions de x^y^ z par rapport à X ou [jl. On trouvera de même que la condition pour que trois points consécutifs soient sur une même droite est

x\\ yn zx\ Xi^ y\^ z\^

^W ^KH> *l*l*

Ainsi, dans le cas de la cubique que nous considérons, les X : [X des points d'inflexion sont fournis par Téquation

a 1-^ b \L 6X-+-C|A c X-^-d [x a'X-^b'iL b'I-^c'ix c''k-\-d'iL a^l-hb' Il b''\'^c''i>. c'X4-rf'fx

et l'on peut voir (Algèbre supérieure, n° 169) qu'elle est identique avec la cubique dont on a déjà parlé.

216 c. Il y aura un point double sur la courbe quand le même point correspondra à deux valeurs différentes du rapport X : [JL. SoienlX' : [x'etX*^ : [x^^deux valeurs qui correspondent au même point; quel que soit Tauti'e point V : [jl"' que nous prenions sur la courbe, la condition du numéro précédent (que ce point soit sur une même droite avec les deux points qui coïncident au point double) devra être vérifiée. Si donc nous égalons à zéro les parties de cette relation qui sont respectivement multipliées par V et [x"', nous aurons

A ^Y -+- B (XV -h XV') -+- C X'X'^ = o, B H^V' -H G (X V -h XV') H- DXO/ =: o.

D'après la théorie des équations, si les deux valeurs de \1\l qui correspondent au point double sont données par une équation du second degré, cette équation devra être

XVV — X{x (XV -h XV') -H îi.*X'X' = o.

Si donc nous éliminons [x', ^^\, . . entre ces trois équation s, nous obtiendrons l'équation du second degré

• XjX [l

qui déterminera les valeurs du paramètre du point doubV. En d'autres termes {voit Algèbre supérieure, n* 195), celle

COURBES DU TKOISiÈXE OBDRB. 269

équation, qui déterniiae les deux valeurs du paramètre Dodal, est le Hessien de la cubique canonisante.

Si nous posons X" : [x*' = X' : jjl' dans la condition donnée au numéro précédent, nous obtenons les relations qui lient le paramètre d'un point quelconque à celui de son tangentiel. Od remarquera que les facteurs qui multiplient)/'' et |jl'" sont les dérivées de la cubique par rapport à X et |a.

216 d. Dans ce qui précède nous avons supposé que les racines de la cubique canonisante sont inégales. Pour considérer sous sa forme la plus simple le cas où il y a deux racines égales, supposons que ^ etjK sont deux fonctions linéaires qui, exprimées en fonctions du paramètre , soient des cubes parfaits; autrement dit, prenons ic = X',^ = [x'. Si z = cf\^ -f- 3 V\^ [x -i- 3 (f\^'^ 4- ûT [X*, la cubique canonisante devient ap(t'P — c''a)==:o. Elle n'aura deux racines égales que si l'on suppose que V ou d' soit égal à zéro. Dans ce cas nous pouvons, à l'aide d'une transformation linéaire, ramener la troisième équation à la forme z = X^jx et la cubique deviendra js' =:r*^; en d'autres termes, elle aura un point de rebroussement. Clebsch a montré {Journal de Crelle, t. 64, p. 43) qu'en général l'équation du degré 3 (/i — a) qui détermine les paramètres des points d'inflexion aura un couple de racines égales pour tout point double qui devient un point de rebroussement.

Si la cubique canonisante a trois racines égales, la courbe se décompose en une droite et une conique.

Section V. — Inyariants et coyariants des cubiques.

217. L'équation d'une cubique non singulière peut toujours se ramener à la forme canonique

^i 4-^» 4- -3 |» 6 mxyz =: o.

Dans cette Ibrme x, y y z contiennent implicitement chacune trois constantes; celles-ci, jointes à celle qui est mise en évidence dansTéquation, donnent dix constantes, c'est-à-dire le nombre qu'une forme doit contenir d'après le n^ ai, afin d'être assez générale pour représenter une cubique. Nous allons montrer maintenant comment Téquation d'une cubique quelconque peut être ramenée à la forme que nous venons d'indiquer. Nous pouvons mettre Téquation précédente sous la forme

{x -\- y — imz){^tùx 4- tù^y — 'xmz){tù^x -^ wy — OLmz)

dans laquelle co est une racine cubique imaginaire de l'unité. Sous cette forme, on voit que la droite z joint trois points (l'inflexion, et Ton peut démontrer de la même manière qu'il en est de même pour les droites x ely. Ces trois droites constituent donc un des quatre S}^stèmes de trois droites qui. nous l'avons vu (n° 174), peuvent être menées par les neul points d'inflexion; et nous pouvons voir d'avance que lo problème qui consiste à réduire l'équation d'une cubique quelconque à la forme canonique admet quatre solutions.

La forme indiquée ici est celle que nous emploierons généralement dans nos recherches relatives aux cubiques; cependant il est nécessaire de déterminer d'abord les invariants quand l'équation est mise dans la forme générale que nous écrivons comme il suit :

aa'^ -h b >-' + c w» -h 3 a* x^y -f Zai.T'z-\-Zb^y*x

-i-3c,4;->- -h 6mxKs =^ o (*).

(') Dans les Mémoires de M. Cayley, les coefûcienu des termes y*Zy z*Xj a?V, yz*, ta:\ xy^ sont respectivement/, g, A, i, y, k. Dans les Mémoires allemands modernes, les variables sont généralement représentées

218. Nous formerons d'abord réquatîon de la Hessienne. Les dérivées secondes de la cubique sont, en négligeant le lacleur 6 qui leur est commun à toutes,

a z=z ax H-ai7-f- a,c, /=: mx -+- b^y -+- Cj5, Oz=i: biX-h by -hbiZj s^=^aiX -h my -hCiZj c = Cl J -H Cj V ~^czy h=z a^x H- bxy H- mz.

En formant H ==a6c-h 2/^/1 — a/^ — 6^^ — cA-, H est une cubique dont les coeflicients sont respectivemeni

a — abx c, — am} 4- 2 /wa, ^j — 6j aj — Cxa\,

b=:6ei,cj — 6m* -f- 2mb^b^ — ciiK -c^b],

c —coibj — cm- 4- 2/7tCsCt — ajcj — ^jCj; oaj=:a6ci— %ambi-^ ab^c^— 6aJ 4- m*a,— ^iCi^iH- aa,a,63 — c,aj, 3a,z2ac6| — 2amct-habiCi — ca\-h m^a^— b^c^a^-^- 'xa^a^c^ — b%a , 31),— 6ar, — 2bmai-\- ba^Ci — a6}-h m' 61 — c,a,6, 4- 26, 6,^3 — c, 6- , 3b,zr ^crtj— a6mCi4- fta^c, — c6J 4- /w* 63 — c, a, 6, 4-26,63^1 —a,^;;. 3c,:ncei6j — 2c/wa,4- ca,6| — acj 4- m*c, — aib^Ci 4- 2CiC,aj — ^ic], 3ci = cba3— 2cmbi-h catbi— bc] 4- m*c, — «3630, 4- 2CiC5/>, — ûffC;. 6ni = a/rc — ( «63 Cj 4- bci a, 4- ca, 6,)