Supposons que nous ajons une forme
IJ =zaa;'*-^ by^ -h es" -^ ...
et un covariant V du môme degré
aa:'»-|-bj'»-f-C5'*-H ... ;
si nous connaissons un invariant quelconque de U et si nous formons rinvariant correspondant de U -f- XV, les coefficienls des différentes puissances de X seront évidemment des invariants. Nous concluons de là que, dans le cas supposé, de tout invariant de U nous pouvons déduire un nouvel invariant en effectuant sur lui l'opération
'"Ta-^^Tb-^'^dc^"-
Appliquons ce principe à la cubique et à sa Hessiennc; nous pouvons de l'invariant S déduire un nouvel invariant T du sixième ordre par rapport aux coefficients; ou, ce qui revient au même, nous pouvons obtenir T en remplaçant dans la Cayleyenne a, p, y par des symboles différentiels, et opérant ensuite sur l'équation de la Hessienne. Nous trouvons ainsi
pour T la valeur
a^b'^c^ — 6a6c(a6,Ct-h^Cia,-i-ca,6i)— 2oa6cm*H- 1 2a6cm(6iC|-hc,at-i-ai''i
-4- 6a6c(a,6,Ci -hajfriC,) H- 4(«*^cJ -+- a^cb\ -f- b^ca\ -+- 6*acJ -{-c^ab\ -k-c^ha\
H-36//i*(ôca,a5-f-ca64 63H- a6ci<?i) i
— il\m{bcb^a\ -h bcc^ a\ -h caCib\ -h caa^bl -Ka6a,cJ -H abb^c^ )
— 3 (a* 6J c* -h ^*c} aj -hc^aj 6 J) -h 1 8( 6c6iC,a,a3 -h cac,a,6,6i -f- a6a,fc3C|C — 12 (bec fG^al-^- bcb^a^al-hcacib^b^ -i-caa^bibl-habajCic] -|-a6fr,c,c
— i2m»(a68Cï-h bcia^-h ca^b^)
H-i2m*( a^icj H- acx b\ 4- ba^cl -+- bc^a\ H- cb^a\ H- ca^b\)
— 6o/w(aôi6jC,Cj-h ^CiCtataj-h ca^a^bib^) -i-i2m{aafbiC\'^ aaiCibl-h ^ôsC,a*-h 66,a,cî-h cc,a,6î-h cct^jo! »
-h2!i{abib\c\ -h ac,c\ b] -h bc^cla\ 4- banale] -+- ca,aj 6J 4- c6,^>}aî) -i2(fl(ï,6tc; -+- aa^Ci bl -+- bb^c^al -h bb^a^cl -h ccia,6» 4- ccjô^a») -8/»*+a4/»*(6t^i-t-c,a,-has^s) — 36/n'(a'6,c, 4-aafe|C,) -i2m«(6,C|C,a,-+-c,a,aa6,-ha,^a6,C|) — a4m»(6îcî-hc;a;4-a;^>:) +36OT(a,6,Ci-ha,6iC,)(^iCi4-c,a,4-aj^,)-h8(6;c;4-cîaÎ4-aî6J) -27(fl;6;c}4-aJ6;cî) — 66iCiC,a,a,6,
-i2(6;cîc,a,-h6;c;a,6,-hc;a;a,6,-hc}aJ6iC,4-aJ^îViH-aî^. Cjor,).
Pour la forme canonique cet invariant se réduit à
Sa forme symbolique est (laS) (124) (aSS) (3 16) (456)^. Nous pouvons de Tinvariant T déduire un évectant
doDtnous n'avons pas besoin d'écrire les coefBcients tout au long. Pour la forme canonique, ce contravariant, que nous représenterons par Q, est égal à
Q=(i — iom»)(a»-hp»H-Y*) — (3om«-h24'w»)apY = o.
Tout invariant de la cubique peut s'exprimer en fonction rationnelle de S et de T. Ceci peut se démontrer de la môme manière qu'on l'a fait pour le théorènxe correspondant relatif à une quartique binaire {Algèbre supérieure, n® 215); il y a beaucoup de ressemblance entre la théorie d'une quartique binaire et celle d'une cubique ternaire.
22s. Nous avons exposé aux n®' 91 et 188 la méthode à saivre pour former l'équation de la réciproque d'une cubique. Nous donnons le résultat, en écrivant seulement tout au long les termes dont la forme est réellement distincte. Les autres coefficients peuvent se déduire de ceux-là par une permutation symétrique de lettres :
oi^b*c*—6bcb^Ct-h^bc\-{-^cbl—^blc\), 6a*P( — bc^bi-\- 2bcmCj^'{' bcb^Ci — ^mcbl-^ ^cc^b^bi
3a*p*(2^c*at--4'wôcc, + 3c'6î — ^bcc^a^-h i6/n*c^,
— 1 2 mcb^c^ -f- 4 bc\ Cj H- 4 cû^s ^Î ^^ca^ 6, Cj — ôcôjèjC,
— [\m}c\— Smb^CiCf— é^jcj— 2a,Ô3cJ-h4«jCj-H i ^^i^i^i)»
6a*pY[^^( — 4'w'h-56jC,— 2a,6, — 2c,a,) + 6(2/wciC,-+- 4^jCî — 36,cJ) -h c(2m6i^, 4-4^,62 — 3c, ^î)
— 8m' 6, c, -h io/n( ^5 c, H- cj ô, )
— 2a,C2 6| — ^a^b^cl — 1 1 ^i^jCjCj],
2a'P'[--aôc'--9c'a,6, -+- 3 ôcci a, 4- 3 ac6j c, — 2 oc J
— 260} — i6c/n'-hcm(i86iCi-i-i8c,a, — 24^363) + 9c ( a, ôjCj -+- aj ô, c, ) 4- 12 /n*c, c,
-H 6m ( a, cj 4-^jcJ)H-6aj 6, (?,c,-- 18 61 cjc, — iBaiCjC}],
6a^^'Y[^^^^»^"^^^''*^3 — ^bcatCi-^ 2acbl-^ ab^cl-{-2mbc\
— 5ôc,c,a3 4-4cm'6, — 10 cma^^bi -h ^cbia^b^ — 6cb\Ci -^gcaiCibi-hSm^Cj — 16 m^ b^Ci -h 1 2 ma^b^Ci — 8ma,cj —2mbiC^Ct — [[aib\Cx-^i 06, b^c\ -h 1 3aj6,CiCî— - 1 1 a,6,cî],
6 a' p' Y* [ — 4 ût^cm -h ( 6ca, a^ -H ca^j ô, 4- abcx Cj )
— 8m(a6jC,4- ôCi«3 4-caj6i)
