m» — am(6iC,4- c,a,4- aibi)-h^{a^biCi-\- aibiC

par Xp â?,, â?3 et les coefûcients en question par a,„, aj^,, a,,,, .... La première notation a l'avantage d'être très compacte; dans la seconde, au contraire, chaque coefficient indique le terme auquel il appartient. Dans les formules auxquelles nous aurons beaucoup affaire, Tusage des suffixes convient moins qu'une notation dans laquelle chaque coefficient est représenté par un seul caractère; mais, comme l'équation générale de la cubique est employée seulement dans les articles qui suivent immédiatement, j'ai pensé que le second avantage était celui auquel il convenait de moins s'attacher. La notation employée dans le texte concorde avec la notation allemande, en remplaçant a,„ a„, a„ para, 6, c respectivement. D'après le même prin- «'ipc les coefficients de x*, >^, z^ pourraient s'écrire a,, A„ c, et l'étaienl ainsi dans la première édition. Je ne mets pas de suffixes dans le cas de ces trois coefficients, non seulement pour abréger, mais aussi pour diminuer le» risques de confondre l'un d'eux avec l'un quelconque des six autres coclficicnts.

Comme cas particulier du précédent, la Hessienne de

^' H- /' -+- ^' -H 6 w xyz = o

— m*(a7'-|- j»4-5') + (i4-2m») xyz = o.

21 9.. Nous pouvons aussi former l'équation de la Cayleyenne. Ce contravariant exprime la condition pour que la droite ajT H- P^ + yz soit divisée en involution par le système de coniques Ui, Ua, U3, où

U I = a 07* -h 6, r' -h Cl 5' -h 2 myz -h 2 a, «a: -+- 2 a^xy^ U2 — a^x^ -h ^ j' -h c,5* + 2 h%yz -h 2mzx -{-2bi xy, \]3=^ a^x^ -h bzy^ -h c z^-h ic^yz-^-2CxZx -h^mxy.

La méthode pour former ce contravariant a été donnée (Sections coniques^ n° 388 a) et le résultat y est exprimé en i onction des coefficients des trois coniques. En appliquant cette formule au cas actuel, nous trouvons

P = Aa'H- Bp'-h Cy'-+- 3A,a«p -+- 3A,a«Y

+ 3B, p»a + 3 B,p*Y H-3C, Y«a -H 3C,y'P + 6Ma?Y, A= 6c/n — bciCi — cbib^ — mbiC^-h ^iCj-hc, ôj, B = ca/n — cajflj — aciCi — majC, -h a,cî 4-c,aî, C =: abm — abi bz— ba^a^ — mbia^-h ^jaj-l-aj^}, 3 A, nz — bca^ — cmbx -H bc\ h- 2 ca, 63

+ 2/n'c,— ZmbzCi -h 0,0,634- 6iC,c,— 2a,c*, 3A3= — ^caj — bmCx-^cb\-\- ^ba^c^

'\-irn}bi—Zmc^bx+ b^a^c^-ir b^c^bi— 2a^b\^ 3 B, = — cab^ — cma^ -h ac\ -\- 2 ca^ b^

4- 2/w'ci— 3/nasC,-h c,a,ôj-i- a,CiCj— 261CJ, 3B,=z: ^ cabi— amci-h cal-h labiC^

H-2m*a,— 3mCia,-|-a,6,Ci-hajCj«3— 2a,6J, 3Ci= — abCi— bmai-\- abl-h iba^c^

-^ 2m^bi^3maib^-h biaiC^-h a^bib^— 2Ci6J,

3Cj= — abci — ambi -h ba] -h a abi c,

6M = a^c — (a6,c, -h 6c, a, -h ca, 6i ) — ^m^

En particulier, la Cayleyennede x^ + J'* + ^' -f- 6mxyz esf

2âO. Si, dans le conlravariant qu^on vient de trouver, nous remplaçons a, ^, y par des symboles de difTérentiation par rapport à x,yj z, respectivement et qu'ensuite nous opérions sur la cubique donnée U, le résultat sera un invariant (Algèbre supérieure, n** 139).

Cel invariant, que nous représenterons par S, est du qua^ irième degré par rapport aux coefficients ; il est é^al à

S = abcm — ( bca^ a, -h cabi b^ -h abci c, )

— m(a65C,-+- 6c, «3 -h caj 61 )

-h ( abi cj H- aci 6J -h 6a, c\ 4- bc^a] -h c6, a\ -h ca^ b\ ) — /n*-i-2/n*(6iCi-f-c,a,4-a3 6,)

— 3 m ( a, 6, c, 4- «j 6, C2 ) — ( 6} c} -h cj a* -h a J 65 ) 4- (c, a, a, 63 4- a, 65 6, c, 4- 6iCiC,a,).

Il revient au même de dire que l'équation de la Cayleyenne peui s'écrire

Nous avons indiqué (Algèbre supérieure, n® 162) la méthode symbolique par laquelle Aronhold a primitivement obtenu cet invariant S ; sa notation symbolique est(i a3)(234)(34 1) (4 1 2) ; celle de son é vectant , la Cayleyenne , es t ( 1 a3) (a a3) (a 3 1 ) ;^ïi2). Pour la forme canonique, S est m — m*, et, comme S est nul quand m = o, c'est-à-dire quand l'équation est de la S. — Courbes planes. 18

forme x^ -h y* 4-^' = o, il en résulte que S est nul quand Téqualion peut se ramener à la somme de trois cubes.