LaHessienne de >wlH-6[xH étant )/U-i-|i'H, la
première courbe représentera trois lignes droites si-r^= t?;
en introduisant les valeurs (n*^ 225) de V et |jl', ceci donne l'équation
X*-+-24SX*ii»-h8TX|x« — 48S*|x* = o.
Cette équation est du quatrième degré et nous voyons ainsi, comme on l'a déjà énoncé plus d'une fois, qu'on peut mener quatre systèmes de trois droites par les intersections de U et H. Cette équation, résolue par les méthodes ordinaires ( voir ToDHiiNTER, Tlieory of équations) ( ' ), donne
où ^1, ^2) h sont les racines de l'équation
i'-+-i2S«»-+-48S««-T* = o ou (^ + 4S)» = T»-t-64S».
Ainsi, étant donnée l'équation d'une cubique quelconque, nous pouvons former l'équation de sa Hessienne (n** 218) et calculer les valeurs des invariants S et T (n°» 220, 221). Le présent numéro montre alors comment nous pouvons former une équation XU + 6[xH = o qui soit décomposable en trois facteurs linéaires. Nous pourrons trouver ces facteurs X, Y, Z en résolvant une équation du troisième degré ; si nous comparons alors l'équation donnée avec la forme
aX»-+- 6Y'-^cZ>-h6mXYZ = o, (') Voir aussi Sekbct, Algèbre supérieure, t. II, p. 447 ®^ S"'^-
COUBBES DU TBOlSifeXE ORDRE. 283
noas pouvons déterminer a, bj c, m par des équations du premier degré. C'est de cette manière qu'on peut effectuer la rédaction de l'équation d'une cubique non singulière à la forme canonique.
Exercice i. — Calculer les invariants de la cubique
228. Parmi les quatre tangentes qu'on peut mener à la cubique par un point de cette courbe, deux coïncident seulement lorsque la courbe a un point double, puisqu'une cubique n'a pas de tangentes doubles. L'équation des quatre langentes est (n** 78) A* = 4 A'U et, si l'on prend
U = J7* -i- /* -h 5* -h ^myzx^
En faisant ^==0 dans A^ = 4^'U, nous obtenons une équation du quatrième degré qui détermine les quatre points où les tangentes rencontrent la droite z ; cette équation est
Z{x' x^ -\- y y^ -^ ^mz^xy)^ ou bien
-{'l\{x'^—my'z')xy*-\-{y'^ -h 8/nVj:')/*=:o.
D'après ce qu'on a dit, il est clair que le discriminant de cette quartique doit contenir comme facteur le discriminant de la cubique. Si maintenant nous nous rappelons que
x'* 4- yt 4. 5'» -h 6 m x'y z' — o,
nous trouvons pour les invariants 5 et ^ de la quartique
^=: — (1 — aom» - 8/n«)5'«= — s'^T.
a84 CHAPITRE Y.
Par suite, le discriminant de la quartique 27/^—5' est 27 -5'^ (T^ 4- 64 s*), et Ton voit facilement d'après cela que le discriminant de la cubique est T* + 64 S*.
229. La fonction anharmonique des quatre points déterminés parla quartique du numéro précédent est évidemment la même que la fonction aiiharmonique du faisceau des quatre tangentes. Mais, si les racines sont a, p, y, 8, la fonction anharmonique de ces racines est un quelconque des rapports
mutuelsdesquantités(a— PXy— 8),(a— Y)(P""S)>(°^~"S)(P~ï)• Nous pouvons former par la méthode des fonctions symétriques Téquation qui détermine ces quantités; et si Téquation de la quartique a pour coefficients a, 4^> 6c, 4^9 ^> ^^^^ trouvons pour résultat
o' v' — i2as}^ -h 16^/5' — 27^*=: o.
Les rapports mutuels des racines ne sont pas altérés, si nous les faisons croître toutes dans la même proportion, en
substituant par exemple aj' = 2zs^, ce qui nous montre que
les rapports anharmoniques sont les rapports mutuels des
racines de
ou
La fonction anharmonique dépend donc seulement du rapport T' : S', mais nullement du point par lequel on mène les tangentes (n** 167). Si T=o, l'équation qu'on vient de donner se réduit à 2* + 35 + 2 = 0 dont deux racines sont égales; donc un des rapports devient Tunité et le rapport anharmonique devient un rapport harmonique ordinaire.
Si S = o, l'équation en y manque de second terme et devient de la forme j^'* = m* ; ses racines sont de la
COURBES DU TROISIÈME ORDRE. Sl85
forme m, ntiù, mci)^, en désignant par co une des racines cubiques imaginaires de l'unité et le rapport commun des racines est co. C'est ce qu'on appelle la section équi-^anharmonique*
230. A l'aide de la forme canonique, nous pouvons former, comme dans le n** 223, les invariants S et T de XU -|- 6 jjlH, ou de
(X — 6 jxm«)(j?* -4-/* -+-«•) -h 6[/nX 4- fx(i -h 3m»)]^/>c,
et nous trouvons sans difBcullé
S(XU+6HLn)=:SX*-i-TX»iJi— 2iiS»YV— 4STX(x»^(T*-+-48S»)it* T(XU-i-6|xH)=: TX« - 96S«X»pi - 60STX* fx»
— 2oT»XV'-i- 24oS«TX*|x* -48(ST*-h96S*)Xfi»-8(7aS'T-hT»)|x«,
et si, au moyen de ces valeurs, nous formons le discriminant R ou T*4- 64s*, nous obtenons
R(XU-f-6[jLH)=R(X*-+-24SX*|x«-f-8TXtx»-48SV*)'.
Dans cette relation le facteur qui multiplie R est le cube de la fonction du quatrième degré en X et [jl formée au n ' 227; nous aurions pu le prévoir, car, si la cubique U n'a pas de point double, les seules cubiques à points doubles qu'on peut mener par les points d'inflexion sont les quatre systèmes de lignes droites. Les valeurs que nous venons de donner pour les S etT de XU -}- 6[xH sont des covariants de cette fonction du quatrième degré en X et [jl; elles diffèrent seulement par les facteurs numériques 4 et a respectivement de la Hessienne et du covariant appelé J {Algèbre supérieure, n** 209); et les coefficients de U et H dans la valeur de H(XU -i-6|xH) ne diffèrent que par des coefficients numériques des dérivées par rapport à X et |x de la forme du quatrième degré.
Tous les covariants cubiques peuvent s'exprimer sous la
a86 CHAPITRE ¥•
forme >iU + |JiH; les exemples qui suivent en donnent la preuve.
ExERCiCK 1 . — Si a/bfCj . ,. représentent les dérivées secondes et A, B, ... les quantités te — /*,..., comme dans le n* 184, et si a\ h', ... ; A',B' représentent les quantités correspondantes pour la Il'essienne, alors
Aa'-f-B6'-hGc'-+- aF/'-h aG^'-h aHA'^o
est un coçariant cubique.
Nous employons les valeurs
a = x, / = mx, X — yz — /n^a?^, F = m'^yz — mx'^y ^ =.^> ^ = m/, B = ^07 — w'^'^, G =3 m'^zx — my-^ c = Zj h = mzy C = xy — m*^*, U = m^ay — mz-\
a' = — 6/n*ir, Z' =(n- a/n»)ar,
A =36m*7z~(i-4-a/n»)*a7*, F'=(n-am»)*7z-t-6/n*(i-4-a/n»)«V B' =36m*.w?— (i-+-a/n»)«7*, G'=(i-h2/»»)«^flr-+-6m*(n-am»)/». G' = 36/n*a7— (n-a/n»)«^*, H' = (i -Ham»)*a7 -4-6 m*(i-t-am»)«».
Donc le covariant en question est — a SU. On aurait pu prévoir qu'il n'en pouvait différer de SU que par un facteur numérique, car c'est un covariant du cinquième degré par rapport aux coefficients, et par conséquent, s'il est delà forme a U -4- 6 H, a doit être du quatrième degré et b du second en fonction des coefficients ; mais il n'a pas d'invariant du second degré et S est le seul invariant du quatrième degré.
Exercice 2. — Calculer de la même manière le covariant
X'a -4- B'b -4- Ce -4- aF7-4- aGV H- aH'A.
Réponse. — TU -4- 1 a SU.
231. L'ordre d'un covariant d'une cubique en fonction des variables est un multiple de trois, et, en général, si l'ordre d'une forme ternaire est un multiple de trois^ il en est de même pour tout covariant de cette forme. Ceci résulte immédiatement de la méthode de représentation symbolique exposée dans l'yi /^è ère supérieure j Chap. XIV; en effet, tout symbole (ia3) diminue de trois unités l'ordre de la fonction
sarlaquelle il opèreet, dans cette méthode symbolique, Tordre de la fonction sur laquelle on opère est un multiple de celui de la forme donnée.
II est facile de voir que Péquation de tout covariant cubique de x^ -h y* -t-«* -f- bmxyz = o est de la forme «(jj'H-^'' -h^') 4- ^xyz = o; et cette expression est, comme nous l'avons vu, réductible à la forme XU -h |jlH = o ; cependant, pour exprimer les covariants d'ordre plus élevé, il est nécessaire d'avoir un troisième covariant fondamental. Celui que nous choisissons peut se définir comme il suit : considérons la polaire conique d'un point ax^ H- ... et la polaire conique du même point par rapport à la Hessienne a'x^ + . . . ; il existe alors {Sect. coniques, n® 378) une conique covarianle de ces deux courbes qui est donnée par l'expression
(B'C 4- B'C — 2 FF) a:« H- . . . = o,
et la condition pour que cette conique passe par le point primitif fournit un covariant de la cubique. Puisque B,C,. . . contiennent chacun les variables au second degré, le covariant est du sixième degré par rapport à ces variables ; el, comme B, C, ... sont du second degré et B^, G' du sixième^ par rapport aux coefficients, il est du huitième ordre, par rapport à ces coefficients. La valeur effective de ce covariant pour Téquâtion générale n'a pas été calculée; mais, si nous nous servons des valeurs de A, B; ... données dans le numéro précédent, nous trouvons que, pour la forme canonique, ce covariant est 4^; ^ est égal à
3TO*(i 4-2 m»)(a?»-h7»-h-5»)*— m( I — 2om»-- 8 /n«)(a?»-H7»-h-8»)j?/5 -3in«{i— 2o/n«-H8in«)x«7«-5« — (i4-8m,)*(7»^»+aî»+5»x»7»)
ou
m» (2 -H /n»)U« — m(i -h 2/?i»)UH
Il existe deux autres covariants du même ordre que 6 par raf -
port aux variables et aux coefficients, qui ont les mêmes titres à être choisis pour le covariant fondamental du sixième ordre. Le premier représente le lieu d'un point dont la droite polaire par rapport à la Hessienne est tangente à la conique polaire du même point par rapport à la cubique ; ou bien
AU» + BM'« -f- CN'« 4- 2 FM' N' + 2 GN' L' -+- 2 HU M'.
Dans cette expression, L', M', N'sont les dérivées de la Hessienne. Ce covariant s'exprime immédiatement en fonction de0, au mojen de la formule OS' — F {Sections coniques, n** 38i , Ex. 1). Ici nous devons, dans cette formule, remplacer 0 par — 2 SU; S' par^ôH et F par 4Ô; nous trouvons ainsi que le covariant en question est — 4 ( ® + 3 SUH). Il existe de même un covariant qui représente le lieu d'un point dont la polaire par rapport à la cubique est tangente à la conique polaire du même point par rapport à la Hessienne ou bien
A'L» -+- B'M» 4- C'N* -f- 2FMN -+- 2G'NL H-2irLM — o.
En calculant encore cette valeur par la formule O'S — F{Sec- /lo/i^co/iiywc^, n** 381), eteny remplaçant©' par — TU+iaSH, S par U et F par 40» le covariant en question devient
-(TU»- i2SUH4-4e).
232. Tout covariant de x' -f-^' -h -z' -h Gmxyz sera évidemment une fonction symétrique dex^y^z; il pourra donc s'exprimer en fonction de x^-{-y^-^z^^xyZjj^^z^-]-z^x^-\-x*y* et par suite en fonction de U, H, 6 et des invariants. Mais un covariant n'est pas nécessairement une fonction rationnelle de U, H, 0. En effet, nous pouvons, comme dans YAlgèbre supérieure, u^ 223, former un covariant dont le carré soil une fonction rationnelle de ces quantités sans que le covariant luimême jouisse de cette propriété. Soient/), y, r les coefficients de la cubique,
p»— (i -+- 8m») (^«4.7» -+- 5«)p* 4-(H-8m')*(j'5'+5»^5 4-xV)p — (i-h8/n»)«a:»/»5«^o.
D'après la théorie des équations, si J est égal à
nous avons
J*=:/?*9* -h iSpgr — 2 7r* — 49* — 4'7>*-
Mais Py Çf f" sont immédiatement exprimables en fonction de U, H, 6; en les remplaçant par leurs valeurs dans Téqualion qu'on vient d'écrire, on a
jî-4e«4-TU»e« 4.e(-4S»U*4-2STU»H-72S«U«H«-i8TUH»-f-io8SH*) -i6S*U»H- iiS«TU*H«- 4T«U»H» + 54STU«H* -432S*UH»— 27TH«.
L'identité que nous venons de donner peut ôtre mise sous la forme
4e (e -f- XU«)(e -*- |aU«) = J» + II*.
Celte expression montre que le système 0 (0 + ^U^)(B -h |Jt U*) est tangent à H, c'est-à-dire que H est tangente à chacune des courbes représentées par les trois facteurs, ou bien passe par leurs intersections deux à deux. Mais 6, U et H n'ont pas de point qui leur soit commun à toutes les trois : donc H est tangente à 9. La courbe J qui passe par les points de contact se compose des polaires harmoniques des neuf points d'inflexion . Nous donnons encore un exemple ou deux, pour montrer qu'il est possible d'exprimer les autres covariants en fonction de U, H, e.
Exercice 1. — Former l* équation des neuf tangentes d inflexion. Nous avons fait voir (n* 217) que les tangentes d'inflexion sont
Lî~(i-t-8/w5)ir5, U— (H-8m»)73, U — (n- 8m5)-s'. Faisons le produit de ces trois facteurs, nous aurons
-4- (i -+- 8m5)*(^'^» -+-^^a:5 -H x^y^)\} -^{i + ^m^yx^y^ z"^ = o; S. — Courbes planes, '9
ago CHAPITRE T.
si nous remplaçons
et (i'hSm^)xyz par leurs valeurs données précédemment, nous trouvons que l'équation cherchée des neuf tangentes est
5SU»H — H»— Ue = o.
La forme de cette équation montre que H et 6, qui sont tangentes entre elles, comme nous l'avons démontré, ont les neuf tangentes pour tangentes communes.
EXERCICE 2. — Former r équation de la Cayleyenne en coordonnées ponctuelles.
Nous avons à trouver la réciproque de l'équation tangentielle de la Cayleyenne qui est (n* 219)
m(a»H- p»-f- Y»)-4-(i-t-4in>)aPY = o.
La réciproque s'obtient d'après le n"" 222 et en exprimant les quantités a?«H-^'-f-^', ... en fonction de U, H, 6. On trouve ainsi que i l'équation résultante de U Cayleyenne est
4Se — TH»— i6S«UH = o.
233. On peut de même exprimer tout contravariaDt de la cubique en fonction de trois contra variants fondamentaux; et, à cet efiet^ nous pouvons employer les troiâ contravariants dont nous avons déjà parlé : ce sont les évectants de S et T (n*** 219, 221 ), que nous avons appelés P et Q et en fonction desquels tout contravariant cubique peut s'exprimer, et In réciproque F (n** 222). Nous pouvons, comme dans le n** 230, former les invariants de la quantité XP + |jlQ, qui est, pour la forme canonique,
[/?/X-h(i— iom')|A](ot»4-p»-+-Y»)-t-[(i — 4m»)X — 6mV(5-^4»»*)M et nous trouvons
S(XP-+-|AQ)=i(i92S»-T»)X*4-768S«TXV-^ai6(3ST«—64S*)A'a^ -h2i6(T'— 64TS»)Xjx»-i296(5S«T«-+-64S»)p.\
COURBES DU TROISIÈME ORDRE. 3gi
T{)iP-hiiQ) = (T»-+-576S«T)X«-ha88(5S«T«-.i92S»)X»|x
-f. 54o(3ST'— 32oS*T)X*|A«-+. 54o(T* - 448S»T*)X»[JL» — 19440(7 S*T»— 64 S»T)X«[JL*
— ii664(3ST^ — 32S*T«4-ao48S')X|A»
— 5832(T» + 4oS»T'4-a56oS«T)|A«,
RaPH-jiQ)=[SX*-+-TX»|x-h7aS*X»|jL'-Hio8STXjx»4-27(T*— i6S»)fx*pR«
De même que dans le n^ 230, les fonctions du quatrième et du sixième degré en X et {ji qui figurent dans les valeurs de S etT sont les covariants de la fonction du quatrième degré dont le cube entre dans la valeur de R.
On a aussi
H(XP-hHtQ)=[TX»-M44S»XV'4-324STX|jL«4-io8(T»-i6S«)ii']P -(4SX»4-3TX«jiH-i44S*XV-Mo8STjii»)Q
les quantités qui multiplient P et Q respectivement étant les dérivées^ par rapport à pi et \ de la même fonction du quatrième degré.
234. Nous pouvons former de la même manière le P et le Q de WJ H- 6|xH, et nous trouvons
P(XU+6|AH) = PX»-hQXV— i2SPXii*4-4(SQ-TP)[jl',
Q(XU-h6|xH) = QX»-i-6oSPXV — 3oTPX»|a'— loTQXV' H-i2o(2S«Q — STP)Xhl* H-24[STQ-(T«4.24S»)P]ix»;
si maintenant nous représentons par ^ et ^ le S et le T de XU4-6[xH, donnés dans le n® 230, ces valeurs diffèrent seulement par les facteurs 3(T2-f-64S») et (T2-1-64S3) respectivement de
(48S«P + TQ)^-^(3TP-4SQ)^, (48S«P + TQ)^ + (3TP-4SQ)0;
si nous formons encore le P et le Q de (XP -h jxQ), les résultats sont
P(XP-maQ) = X»(8S*U — TH)-hi8XV(STU4-8S*H) -h 9X|A»[(T« — 32S»)U -+- 12 STH] -54|i'[4S*TU-(T«-h32S')H]
Q(XP-+-iiQ) = X»[i6S«TUm-(T»-M92S»)H)
H-3oX*}x[S(T«— 64S»)U-hi6S«TH]
+ i5X»ïi«[T(T«— 32oS»)U4-48STni]
— 27oXV'[i6S*T*U-T(T«-64S»)H]
-i62oXix*[ST»U4-4S*(T«-64S»)H]
—324 [1» [(T*4-24T'S»-h5i2S«)U-6ST(T«4-i28S»)ll];
et si maintenant nous désignons par ^ et ^ le S et le T de)wP+ |jlQ, que nous avons calculés n** 223, ces valeurs diffèrent seulement par des facteurs de
(48S«U 4. 18TH) ^ -f.(TU - 24SH) jet
