S=U H- 18TH) ^ 4- (TU - 24SH

A ces formules on peut ajouter la réciproque de XU H-6(xll, qui est

(X^-t-24SXV'-H8TXHL» — 48SV*)F

— 24|i(X»-h2T[jL»)Pî — 24p.«(X»— 4S|A«)PQ — 8X|x»Q«

et celle de XP + |jlQ, qui est

4[SX*-+-TXV + 72S«X«ïi*-Mo8STXix«-h27(T«— i6S»)ft^]e

-[TX*4-2i6STXV*-Hio8(T*-64S»)Xhi»4.3888TSV']I1- — [i6S«X*-4-23STXV-Hi8T«XV'4-2i6S(T«-h32S')ft*]Un -f-[64Sn'ïH-i44S*TXV'-+-io8ST«Xii»4-27T(T«-M6SV]U*.

235. Nous allons maintenant indiquer ici une identité fort utile. Supposons que, dans une cubique, nous remplacions jt,

^', Zy par a: + X^, ^+Vk', z-^-Xz'^ et que nous écrivions le résultat sous la forme

U-h3XS-h3X«P+X»U',

COURBES DU TROISIÈME ORDRE. QqS

aalrement dit, supposons que S et P représentent la conique polaire et la droite polaire de (a/,j^, ^) par rapport à U; ce qui donne, pour la forme canonique

P=(a?'«-+-2myV)a:4-(7'*-H2/w5'a?')7-+-(2''-h2mj7'y)5;

supposons de même que le résultat d'une substitution semblable dans H soit écrit sous la forme

H^3Xn-3X'n + x»ir,

c'est-à-dire soient 2 et II la conique polaire et la droite polaire de (^j^, V) par rapport à laHessienne, nous pourrons alors, à l'aide de la forme canonique, vérifier l'équation identique qui suit

3(Sn— 2:P)-H'U-riu'.

Il résulte de là que, si (^',y , z') est sur la courbe et si, par

conséquent, U'= o, l'équation U = o peut être écrite sous la

forme

Sn— 2P = o.

De cette forme découlent immédiatement les conséquences suivantes :

(a) Les droites P et II se coupent sur la cubique : c'està-dire le tangentiel du point (x^^y, z'^) ou le point où la tangente P rencontre de nouveau la cubique est l'intersection de P avec U, polaire de (^',^', z') par rapport à la Hessienne (n- 183).

(6) Les points de contact des tangentes menées de (^',^,^') à la cubique, qui sont, comme on le sait, les intersections de S avec U, sont aussi les intersections de S avec S, conique polaire de {x'y y, y) par rapport à la Hessienne.

(c) L'équation S II — SP = o est le résultat qu'on obtiendrait en éliminant une indéterminée 9 entre S -h 8S = o, P-f- 811 = 0. La première équation représente une conique

passant par les intersections de S, 2; la seconde est la polaire de (pcf^y^ z') par rapport à la même conique : par conséquent, la cubique donnée peut être engendrée comme lieu des points de contact des tangentes menées d'un point (a^, y, z') à un système de coniques passant par quatre points fixes.

(rf) Si S 4- OS représente deux droites, P + 6n passe évidemment par leur intersection : cette intersection est donc un point de la cubique, et P + QH est la tangente en ce point : donc les quatre points de contact des tangentes à la cubique, issues de (^,^, js'), forment un quadrangle dont les trois centres sont sur la cubique et sont les points cotangentiels de (^, y, z'){voir n® 150).

(e) Si nous considérons les points d'intersection de la courbe et de sa Hessienne par une droite quelconque, par exemple .s = o, l'identité du présent numéro nous donne

ab — ba = 3(a|6i — biaj),

c'est-à-dire que l'invariant P des deux cubiques binaires s'annule. On voit donc encore que la Hessienne rencontre la courbe en ses points d'inflexion. En effet, puisque P est nul, l'éliminant des deux formes est Q = o (Algèbre supérieure, n^ 200). Donc aux points d'intersection, u + 'kif renferme un cube parfait.

236. Je me suis servi de cette identité {Philosophical Transactions f i858, p. 535) pour former l'équation de la conique qui passe par cinq points consécutifs d'une cubique. Puisque S est tangente à la cubique et que P est la tangente commune, l'équation d'une conique tangente à U en (^, j^, sf) est S — PL = o, L = ax + p^ H- Y^ étant une droite arbitraire. Mais, au moyen de l'identité que nous avons établie, l'équation de la cubique peut se mettre sous la forme

D(S — PL)— P(2 — nL).

COURBES DU TROISliSMV ORDRB. 295

Donc les quatre points odi S — PL rencontre de nouveau la cubique sont ses intersections avec S — LII; et, si cette dernière conique passe par (a/jj^^, z!)^ la première passera par trois points consécutifs de la courbe. Mais, si nous remplaçons j;, y, z par oc' y y, y, nous aurons S' = II' = H' et la condition pour que S — IIL passe par (a/, y, jj/) est L = i .

Maintenant, pour que S — LP passe par quatre points conséculifs,2 — LII doit avoir P pour tangente au point (ar',j^,z'). Mais la tangente à S — LD (qui est la polaire de ai y z^ par rapport à cette fonction) est

2n — L'n — LD'

ou bien II — H'L (puisque L'=: i ; 11'= H'), et, comme celle quantité doit être proportionnelle à P, nous avons

L*équalion générale d'une conique passant par quatre points consécutifs est donc

S~eP«-jpPn = o,

£ — epn— jl^n'rrio

passe par les deux points où Ja précédente conique rencontre de nouveau la cubique; Téquation de la cubique est réductible à la forme

n ^S — ep« - jiyPn) = p (^2 - epn - ji^ n» y

237. Puisque ces deux coniques ont P pour tangente commune, il sera possible, en ajoutant les équations multipliées par des constantes convenables, d'obtenir un résultat divisible par P, et le quotient représentera la droite qui joint les

296 CHAPITRE y.

points où la conique rencontre à nouveau la cubique. Il est nécessaire pour cela de déterminer |jl de manière que

[jlSh-S— 777 n* soit divisible par P; nous y arrivons en

égalant à zéro le discriminant de cette quantité. Mais on trouvera, en eflfectuant le calcul, que ce discriminant est

6' jjL»H'4-4t^^ï77^ c^tte quantité sera donc décomposable en

facteurs, si |jl= — 717^; et, comme l'un des facteurs est P, si nous représentons l'autre par M, nous aurons

Au moyen de cette équation, Téquation de la cubique donnée à la fin du dernier numéro se transforme en la suivante :

(n + ixP)(^S-eP^~jJ,Pn) = P«[^M~^n-ô(n + ïxP)j.

La forme de Péquation montre que II 4- [jlP est la tangente RU tangentiel du point donné sur la cubique, et que M — ^ D passe par le second tangentiel du point donné (voir n° 1S5).

238. Pour que la conique puisse passer par cinq points consécutifs, les coordonnées ^,J^, z' doivent vérifier l'équation

M-^n-e(nH-[jLP)=o.

La seule difficulté consiste à déterminer le résultat de la substitution de a:', ^', z^ dans M. Si nous différentions Téquation

1*8-4-2:- jin« = MP, par rapport à x^y ou z et si nous remplaçons Xy y^ z par a/,

COURBES DU TROISIËUE ORDAE. 397

/, J dans les résultats, en remarquant que

^ ^' d^' du' dx' dx' dx' dx'

nous avons M'= 2{ji, et le résultat de la substitution de x', r', J5' à la place de ar, y y z dans

A' 6 est [JL — 6H'= o; et, comme nous avons trouvé |jl= — rrj^»

nous avons 9= — —7^» et le problème est complètement résolu.

239. Nous allons indiquer une autre forme générale à laquelle on peut ramener l'équation d'une cubique et qui est ia suivante :

ax' 4- by^ -t- cz^ 4- du} = o où