arf'0-h24(6c'0]V-H8(We'')|*M

-t-îx'^|4(ûr^'OX*4-i2(ac'OXV

4- [ 1 2 ( ac/' eO 4- 24 (^c' O] ^ V*-+- 32 ( W O ^H^' + a4(crf'e V ! - 0.

Cette équation nous permet de déterminer les paramètres soit des deux points B qui correspondent à un point A de la tourbe, soit ceux des quatre points A qui correspondent à un point quelconque B. En formant la condition pour que Téquation en V : [jl' ait ses racines égales, nous arrivons à nne équation du huitième degré en >. : |jl qui détermine les huit points de contact des quatre bi tangentes de la quartique.

Comme on a démontré qu'il est possible de trouver quatre fonctions /, u, v^ w linéaires en j:, y^ z et qui, exprimées en fonction de X, p. soient des carrés parfaits, il est clair qu'en extrayant les racines et en éliminant linéaii^ment ).*, X[i, |x*,

QUABTIQUES UNICURSALES. 36g

Téquation de la courbe pourra être écrite sous la forme

A/* 4- B tt^ + C t'* 4- Dw^= o.

291 b. Nous obtiendrons, comme dans le n^ 216 c, la condition que doivent vérifier les paramètres d'un nœud en remarquant que la relation qui lie les paramètres de trois points collinéaires doit être satisfaite quand deux de ces paramèlres correspondent au même nœud et le troisième à un point quelconque de la courbe. Posons

il vient alors

Portons ces valeurs dans le déterminant du numéro précédent et égalons séparément à zéro les coefficients de X^, Xjx, !^-; nous obtenons les trois conditions

-4rf

-4rf'

-4rf

-kd'

Gc'

S. — Coui ùes planes»

370 CHÀPITDB ?I.

Ces conditions développées sont les suivantes :

-+-24(ac'^)aY-f-6(acV)ap4-4(a€fe')a*=:o,

H-a4(^cV)aY-M6(MV)ap-h24(crf'e')a*=:o, iG(ai>'rf')Y»-f- 4(«^>'e'')PY-Ha4(ac'eir)PY

H- 6(acV)P*-+-96{i>c'ûr)aY-h4(a^e')«?

H-24(^c'e')aP-+-i6(6cre')a«z=:u.

Combinons avec ces équations les trois équations que Ton obtient en multipliant respectivement par a, ^, y l'équation "k-oL — [jlaP -+• [x^Y = o, et éliminons linéairement a*, p', y=*, ^Y, ya, a^ ; nous aurons pour résultat une équation du sixième degré qui déterminera les paramètres des trois nœuds.

Il est facile d'analj^ser, comme dans le n® 216 a, les différents cas où Téquation du sixième degré du numéro précédent peut avoir des racines égales et d'arriver ainsi aux dilTérents cas particuliers de quartiques unicursales que nous avons fait connaître précédemment.

INVARIANTS ET COVARIANTS DES QUARTIQUES.

29!2. Quand nous aurons Poccasion d'écrire tout au long l'équation d'une quartique, nous la mettrons sous la forme

4- 1 2 Lv^yz -+- 1 2 /Il j' 5 a? 4- 1 2 « 5* J7/ 4- 4 «1 -^'.K

Le concomitant de l'ordre le moins élevé en fonction de> coeflicients est le contravariant (n^ 92) du second ordre par rapport aux coefficients, dont l'expression symbolique est (ai 2)*; quand cette fonction. est nulle, elle exprime que 1 droite a j: -f- ^^ -j- -^z coupe la quartique en quatre points pour lesquels l'invariant S est nul. Nous appellerons ce contravariant 0-; il est du quatrième ordre par rapport aux va-

INI

fVARIANTS ET COVARIANTS DBS QUABTIQUS8. 3jl

riables a, ^, y et ses coenicients sont K=zbc -hdp — ^bzCt

F = ^/h- ^/n- 2 /* — a a, /i — 2 ûfj n

Çj z=z bg -\- hf -k- im} — 2 6j / — 2 ^, /i

H = ch -^-fg -h 2/1* — 2 Cl m — 2C, /

L = 2// — mn — gbx — hc^ 4- ^1 C|

M rz 2^m — /i/ — hci — Ja^ -f- c,a,

N = 2 A/î — //» — /flTs — g^i-^a^bi

ki=^mci — ^n/ — c6, -H^aCj, A,^=3/i6j — 3/w/— 6c, -f-^i^t,

B,=:3/ia5 — 3lg — aCf^atCi, Bj^=3/ci — 3/io^— ca, -H-Cjr/a,

C,=i3/6i — 3mA — ba^-hbiOf, C, — 3mat — 3/A — ab^-ha^bi.

293. Le contra variant que nous venons d'indiquer est • révectant de l'invariant le plus simple A, lequel est du troisième ordre par rapport aux coeflicienls et a pour expression symbolique (i23)*; autrement dit, on trouve a* en effectuaol sur A l'opération

Cl réciproquement les valeurs déjà données pour les coefficients de cr nous permettront d'en déduire les coefficients de A . Cet invariant est

k — abc-\- 3(a/*-i- bg^-hch^) — 4(«^3<^f -+- bc^at-^ ca^b, ) 4- 1 2 (/^ -+■ gnt> 4- hn} ) -f- ^fgh — 1 2 Inin — f 2 ( a, /1/-1- «, w/-+- bt ng -^ b^lg -{■■ c, mh ■+- Cj //< ) -r 12 (/6,c, -h mc,aj -H na^bi) -h 4(ûfi^iCi -H r/jZ/iC,).

Si nous employons la même notation que dans le n^223, la iïciir de A peut s'écrire

'•(^')-H4(^ca)-h3(rf6-) — i2(c«6),

OÙ

{dca)^=ac(diCz— SdtCf-h ^dtC^ — d^Co)

( db^) — dobl-- 4û?i ^1 ^ -^ 4^i^î -f- 2dibobx — ^d^b^b^ -^ci^bl

les invariants (rf*), (dca)^ •••, sont tous connus d'après la théorie des formes binaires.

294. L'invariant B qui vient immédiatement après comme simplicité est du sixième ordre par rapport aux coefBcients. On peut le former en prenant les six équations que Ton obtient en différentiant deux fois l'équation donnée par rapport à :r, ^, Zy et en éliminant dialjtiquement ^^,^^, 2^, za:^ xr, yz entre ces six équations. Nous avons ainsi B sous la formo du déterminant

Nousallons maintenantdonner l'expression développéedeB. En passant, nous remarquerons que Clebsch s'est servi de cet invariant pour montrer que la forme

dans laquelle />, q^ r, s, t sont des fonctions linéaires des coordonnées, n'est pas une de celles auxquelles on puisse ramener l'équation d'une quartique quelconque. Comme p^ </,... contiennent chacune implicitement trois constantes, la forme qu'on vient d'écrire contient quatorze constantes indépendantes, et par conséquent paraît, à première vue, susceptible d'être employée comme forme canonique suffl-

INVARIANTS ET GOVARIANTS DES QUARTIQUES. ^'j3

samment générale pour représenter une quarlique quelconque. Mais, en formant pour Féquation ci-dessus l'invariant B, on trouvera qu'il est nul et que, par conséquent, cette forme ne représentera que les quartîques pour lesquelles B = o (*).

29S. Pour le calcul de la valeur de B, il est commode de se servir de la valeur suivante d'un déterminant symétrique à six lignes et six colonnes, dont les éléments sont représentés par a^j ab, ac^ ... ; 6a, 6*, bcj ... :

-\-^à^b^{cdY{efY — ii:a^b'^,cd,de,ef Je ■^'à^a}, bc.cd.de, ej.jb

— i^à}{bc)'de.ef.fd-\-'x'L(^abycd.de.ef.Jc — 'Z{abY{cdf{eff

— 'iZab.bccd.de.ef.fa -+-2 Y.ab .bc .ca.de .ef .Jd.

La valeur développée de B est la suivante :

abc{fgh — //* — grn} — hn^ -h 2 Imn) -f-6c[/*— l^gh-\- 2{gm — nl)a^l -^2{hn — ml)azl

-\-{n}'-fg)a\-\'{Tn}'- fh)a\-^- lijl — mn)ata^] -h ca[m^ — m*/h "h 2 (fl — mn)b^m -^i^hn — ml)b^m

'^{n'-/g)b\-^{n^gh)bl-^2{gm-^nl)b,b,] -^ ab[n^ ■— n^/g -h 2{/l — mn)cin -h 2{gm — nl)czn

-^{m^—/h)c]-^{P — gh)c\'h2{hn-'lm)CiCi}

— (af^bg^-^-ch^){fgh -^/l^ — gm^-^hn^-^-^lmn) -i- ^{a/m^ n^ -h bgn^ P -^ chl* m}) -\-2aP{bign-hCihm)-^2bg^{cthl-hai/n)-\-2ch^{aJ'rn'i- b^gl)

— 2af(bxn^ ->r CiTn})— 2 bg{c^l^ -^ a^n}) — 2ch{a^m^ -\- b^l*)

— 2a/mn{b^g -h Cfh) — 2bgln{Cxh-\- a^)— 2chlm{aif-^ b^g)

— 2a{b^mn}-4-c^m}n)— 2b{cinP-h ailn^)— 2c{ajTn}-\' b^ml^) -\- a{b\gn^ -^ c\hTn})-^ b{c\hl^ -\- alfn})-^ c{a\Jm^ -^^ b\g1}) '\-2afl(mb^Cx-\- nb^Cf) -\- 2 bgm {nCia^-^- lcxa^)-\-'^chn{la^b^-k- maj)^) -h 2amn{mbiCi-h nbiCf)-h 2bnl{nc^a^-\- lCxa^)-\- 2clm{la^b^ H- ma^ b^)

— 2 af{hnbi Cj -h gmb^ Cj ) — 2bg {fie 1 «i -h A/ic, a^) — 2ch{ gmai b^ -\-fiai b^)

(*) Cette classe de quartiques a été étudiée par Lttroth {MathematUche Annalen, t. 1, p. $7; 1870).

374 ClIAPITRK VI.

'\-i(J'gh'\-lmn ) (ab^c^-^bci a,+ca, bx)—i ajl} 6, Cj — 2 hgw^ Cj «j— 2 chiùah^

— 2(a/*e^,Ci+ bg^mc^a}-^- ch}na^b{)

— 2ab^Cji{bign 4- c, hm)-^ 2 ^Cj a, (c,A/ -H cif/n) — 2 ca^b^^aifm 4- 6,,^0 4- 2a^,Ci(c,/n'4- ô,n')-h 2Ôc,a,(aj/i*4-Ci/*)4- 2ca,^i(6i^4- «•/«')

— 2 al{mbi c} 4- nci 6} ) — 2 6/w ( ne, a* 4- /a, cj ) — 2 c/i (a, 6} 4- ^1 aj ) -^ a(hblc\-h gb\cl) -\' b{/c\a\ -^ hclal)-^ ci^alb^-h ha\b\) 4a/&îc}4-^^cîaî4-cAa|6i4-2a/^tC,^iCi4-2 6/wcta8C,a,4-2C/ia,^,a3^ —2 a^jCi ( mci 6,4-/1^1 c,)— 2 ^c,a,(/iatCi4- /c, a»)— 2 caj bt{lbiai-hmaM 4- i/^g^h^—fghi/l^-hgm*-^ hn})-^ 10 f g hlmn —{Jt^-h gm^-^-hn^Y -h 2 lmn{/t* -^ gm* -h hn})— t^m^n*

4- 2(6,^/i4-c,A/w)(^m*4- A/i* — 2//* — /^A — /m/i) 4-2(rt,/n4-CjA/)(/i/i'4-//*— 2^m'— /^A— /m/i)

4- 2{af/m 4- ^a^O (/^ "+" ^''** "— ^ ^'^^ "— /!?^ "~ ^^^ ) -^{gh-n(à,g-c,hy-h{h/^m'){c,'h^a^/)^^(Jg-^n^){a^-b,i;Y

-h 2a,aj/*(2/wn— //) 4- 2 6|^j^*(2/i/ — ^/n)4- 2C,c,A*(2//n — /*/i)