L'équation d'une quartique ayant un point tacnodal
est (n« 244)
yz^ -+- bx^yz H- cx^z -h dyz
-+- ex^ -^fx^y 4- gx^y* h- hxy^ 4- iy^ == o.
Supposons qu'elle ait aussi un nœud ; dans le n** 244, nous avons seulement admis que le point xy était tacnodal et que ia droite jK était la tangente en ce point : nous pouvons donc prendre le point zx pour l'autre nœud.: Pour que ce point
364 CIIAPITHE VI.
soit un nœud, il faut que ûf, h et i soient égaux à zéro, cl l'équation devient
{yz )* -h bx^yz H- cxy . yz -\- e x^ -\- / x* . xy -\- gx^y^ = o.
Nous avons écrit l'équation de manière à faire ressortir qu'elle est une fonction quadratique de xy, x^j yz. Si donc, dans l'équation générale d'une conique, nous remplaçons respectivement Xy y, z par xy^ x^^yz^ nous aurons l'équation d'une quartique ayant un nœud et un point tacnodal. On verra que les relations
x' \y' : z'rrzxylx^ :yz
impliquent réciproquement
x\y\zz=i x'y ix'^'.yz'y
en sorte que nous aurons ainsi une théorie semblable à celle qui existe pour une quartique ayant trois nœuds distincts. Les constantes peuvent être déterminées de telle manière que le nœud devienne un point de rebrou ssement, ou le point tacnodal un point nodocuspidal, ou enfin que ces deux changements se produisent tous deux à la fois, et la théorie s'étend ainsi aux quar tiques ayant deux points singuliers distincts, dont l'un est un nœud ou un rebroussement et l'autre un point tacnodal ou un point nodocuspidal.
290. L'équation d'une quartique ayant un point oscnidal a été donnée n^ 244,
{yz — mx^y-\-cxy{yz-^mx^)-hdy^z-{'gx*y^'hhxy^'^iy^:=^o
C'est évidemment une fonction quadratique de yz — mx^t xy, y^. Mais on trouvera que les relations
x' :y :z':=xy: y^ : yz — mx* impliquent
x:y:z^ x'y' :/'» :y 5'— ma?'*,
QUARTIQUB8 DNICURSALE8. 365
CQ sorte qu'il existe pour ce cas une théorie analogue à celle que nous avons établie pour les quartiques trinodales. Les constantes peuvent être particularisées, de manière que le point oscnodal devienne un point de rebroussement lacnodal, et la théorie s'étend ainsi au cas des quartiques qui présentent cette singularité. Dans tous les cas qui précèdent, nous avons exprimé les coordonnées a:, jKi ^ d'un point de la quartique, sous forme de fonctions quadratiques d'un point variable jd ^ /, y de la conique; et, comme ces dernières coordonnées peuvent s'exprimer elles-mêmes sous forme de fonctions quadratiques d'un paramètre 0, les premières sont des fonctions du quatrième degré de ce même paramètre.
29i. Dans le cas qui nous reste à considérer, celui où une quartique a un point triple (général ou de forme particulière), la manière de procéder dont on a fait usage dans les derniers articles n'est plus applicable; mais nous pourrons obtenir immédiatement d'une autre manière les coordonnées exprimées sous forme de fonctions rationnelles d'un paramètre. Si nous prenons le point xy pour le point triple, Téquation de la courbe est de la forme zuz = u^, dans laquelle u^ et U4 sont des fonctions homogènes du troisième et du quatrième degré en x et y. Si nous y faisons la substitution >'= ôjr, nous obtenonszOs = j?©^, où 65 et 64 représenteot des fonctions du troisième et du quatrième degré en 0; et nous trouvons alors que x^ y^ z sont respectivement proportionnels à 03, 903, 64.
La méthode employée ici est exactement celle dont nous avons parlé dans le n*» 44. Upe droite variable j' = Ojj menée par le point triple ne rencontre plus la courbe qu'en un seul point, dont les coordonnées peuvent en conséquence être exprimées rationnellement en fonction de 0, et nous aurions été conduits à des résultats qui auraient été les mêmes en substance si nous avions employé la même méthode que danà
les cas considérés précédemment; si par exemple, dans le cas d'une quartique trinodale, nous avions déterminé chaque point de la quartique en le considérant comme le point d'intersection de la courbe avec une conique variable qui passe par les trois nœuds et par un autre point fixe de la courbe.
Le cas spécial d'une quartique à point triple a?*^ = 5* mérite une mention particulière, parce qu'on le peut traiter par une méthode exactement semblable à celle dont nous nous sommes servis (n^ 212). En dehors du point triple, la courbe n'a pas d'autre point singulier; mais elle possède un point d'ondulation, et sa réciproque est une courbe de même nature.
291 a. Nous pouvons aussi appliquer aux quartiques unicursales la méthode du n^ 216 (a). Nous pouvons exprimer les coordonnées d'un point sous la forme
x^^a X*-f- 4^ X'fjLH- 6c X*(ji'-H 4^ XiA'-he ^, j=:a'X*-t-4^>'X'{jL4-6c'XV'-î-4rf'XîJL'-+-cV, z = a'V^ H- 46''X»H. -h ^d'^'^xi:- -\- 4 d'X^^ -+- e'jxS
et en déduire immédiatement (n^ 44) l'équation de la quartique correspondante. En se reportant aux numéros que nous avons cités, on pourra facilement former l'équation qui détermine les paramètres des points d'inflexion et la relation qui existe entre les paramètres de trois points situés sur une même droite. On peut aussi procéder comme il suit. Dans l'équation Ix + my + /i« = o, remplaçons les coordonnées par leurs valeurs écrites ci-dessus; nous obtenons une équation du quatrième degré qui déteimine les paramètres de^ points suivant lesquels cette droite coupe la courbe (*). La
(') 11 est clair que, si nous formons le discriminant de celte équalico. nous aurons l'équation de la réciproque, ou l'équation tangentielle de la courbe, sous la forme S* = T*.
-4rf
-4rf'
ér'
QUARTIQUES UNICUHSALES. 867
théorie des équations nous fournit les relations la -^ma^-h na" = [iit.' [k'^ix",
6 (/c 4- me' -+- ne'') = XX' jx" |x* -+- i^ix' X' X*'
-f- XX V' l^'^ + H^IJ^' X' X'' + XX VV^H- H^l^^'X'X',
-4(/rf-h/wé/'4-/l^')=f*X'X'X^-^XJx'X'X'-+-XX'fJL''X-'^-XX'XV^ /^-|.;ne'-+-/ie'' =XX'X'X^
Si nous éliminons linéairement /, m, n, X'", |ji'" entre ces rquations, nous obtenons la relation qui lie les paramètres de trois points situés sur une même droite; c'est le déterminant
dans lequel nous avons posé
A = |Ji|x' {jl', b = X|i' fx' h- X' |jl' [X 4- V JJLJX', c = |i.X'X' -h ix'\'\ H- ix'iy, D = XX'X'.
X X' X'' En posant - = —;== -^> nous trouvons que les paramètres
des points d'inflexion sont déterminés par la relation
Le premier déterminant développé nous donne
2^{ab'&')D^ H- i6(ab'd')CD h- 4(a^^'e')(C« — BD) -+- a4(ac'^')BD -f- 6(ac'0(BG — AD) 4-96(6c'^')AD-h4(a^'0(B*-AC) -ha4(^c'OAC + i6(M'OAB4-24(c</'«')A« -o.
3(in
3|xX*
4rf
-4rf'
3|xX«
368 CUAPITBE VI.
Le second déterminant développé el divisé par 2.^ ^^^"^ foamit, pour déterminer les points d*inflexion, l'équation du sixième degré qui suit
xab'c')\^-^2(ab'd')\^lL'-^[(ab'e'') H- 3 ( acVH] X* ijl*
H- 2(h(re')llL^ 4- (C^V')[JL*=:0.
Si dans la relation précédente nous supposons que deux paramètres soient égaux entre eux, nous obtenons la relation qvi lie un point quelconque A avec Tiin des points B 011 la tangente en A rencontre à nouveau la courbe; ainsi, si nous fcmplaçons respectivement D, C, B, A par)i*X', a)w[JLA'-f-X-}i', jt*lv'-i- 2).[jl[jl', |Jt^|JL', nous avons
l'^l^i(ab'c'')X^^ 32(a6'^')XV
-h[i2{ab' €')■+■ 2l^{ac' d')]l^ ^^' -\-i2{ac' e')\i>^ -h fiiad' e')}i>\
-h 2ÀV \8{ab'd')l'^ H- [^(ab'e") 4- 24(ac'£/')]XV
-h[i2(ac'e'')4-48(^>c'rf'')]XV'
