PR» - i8L*R» — 84LR» -h ai6R

el, en combinant ces deux derniers résultats, nous avons

où

D, = Q(P« — PL — laPR — aLR— 44R*)— P'R — iiP»R* + PL»R 4- 45PLR» 4- 96PR» - 6L«R« -- 54LR» - laR,.

Au moyen de ces invariants et des autres que nous avons déjà donnés^ nous pouvons exprimer les autres invariants du douzième ordre, tels que (G.) et le discriminant du contravariant conique.

38a CHAPITRE VI.

De même aussi, nous pouvons exprimer on fonction des quantités qui précèdent les invariants du contravariant du quatrième degré ; nous avons

U = L« -h 3 PL H- 9 Q -h 27 R* , R' = LR-hQ-t-PR-4-R», P' = 3P« — 5Q 4- 6PR -+- PL 4- 6LR 4- 9R», Q'=3Q*-hQ(3P»4-4PL4-24PR-4-L«-8LR-h6R*)-4-i2P*LR 4- i8P«R»4- 4PL*R 4-ioPLR»-h 36PR» — 36LR» 4-27IV;

d'où

A' = A* 4- 1 2 B, B' nn 4 Dj 4- AC, 4- A« B — 1 2 B«.

302. Il faut remarquer que, bien qu'il n'y ait qu'un seul cx)ntravariant conique du quatrième ordre par rapport aux coefficients, il y a deux covariants coniques du cinquième ordre, qui sont (en plus de celui déjà donné) celui qu'on obtient en opérant sur la quartique elle-même avec le contravariant conique; le résultat est

(3L 4- gP 4- loR) (a/or* 4- ^^,5^7* 4- c/i 5*)

4- ( loL -h aP 4- 4R)(^Àx« 4- hfy^ 4-/;.'-') — 12 (a»/»J7* 4- b'g^y^ 4- e« A»5»);

et, si nous le combinons avec celui que nous avons donné précédemment, nous pouvons l'écrire sous la forme simple

4R(a/j7' 4- hgy^ 4- chz")

H- ( L - P - 2 R ){ghx' + hfy^ ^fg^'Y

\j^ discriminant de cette dernière conique donne le plus simple des invariants du quinzième ordre ; en posant

on a

E, = i6MR*Q 4- 4M«R« P 4- M»R« 4- 64LR^

ou bien, en l'écrivant tout au long,

Ei=:i6(L — P — 2R)QR«