PL«R

- 73784 PLR* - 5472 PR» 4-1 14 L*R«—i 524 L»R»

- 1 47 1 2 L« R* - 1 1 3904 LR« 4- 25920 R«.

Il ne semble pas que, même dans le cas spécial que nous considérons, les invariants d'ordre supérieur que nous avons donnés puissent s^ exprimer linéairement en fonction de ceui d'ordre moins élevé; et même dans ce cas, je n'ai pu trouver que le discriminant soit exprimable en fonction d'invariaots de moindre degré ( * ).

(») Les valeurs de E, E„ F» et F, ont été calculées par M. J.-J. Walkcr.

COURBES TRANSCENDANTKS. 385

GOURfiES TRANSCENDANTES.

303. Nous avons jusqu'ici discuté exclusivement des équations réductibles à un nombre fini de termes qui ne contiennent que des puissances entières et positives de j; et j^; il nous reste à dire quelques mots des courbes représentées par des équations transcendantes. Comme ces équations renferment des fonctions qui ne peuvent s'exprimer que par une série infinie de termes algébriques, toutes les courbes transcendantes peuvent être considérées comme des courbes de degré infini ; elles peuvent être coupées par une droite en un nombre infini de points et doivent avoir une infinité de points et tangentes multiples. Il ne saurait donc être question d'établir une théorie générale des singularités de ces courbes et il suflira de faire connaître les noms et les propriétés principales des plus remarquables d'entre elles. Nous pouvons signaler, en passant, une classe d'équations, appelées par Leibnitz intertranscendantes, ou qui renferment les variables affectées d exposants incommensurables; par exemple,^ = x^/^. Ici, en substituant à y/^ la série des fractions rationnelles qui expriment approximativement la valeur du radical, nous trouverons une série de courbes algébriques dont le degré croît constamment, et qui s'approchent de plus en plus de ressembler à la figure de la courbe cherchée, mais ne la représentant pas exactement tant que le degré de la courbe est fini.

Nous passons à la cycloïde, qui tient la première place S. — Courbes planes. a5

386 CHAPITRE YIl.

parmi les courbes transcendanles, tant au point de vue de rintérét historique que de la variété de ses applications physiques. Cette courbe est engendrée par le mouvement d'un point de la circonférence d'un cercle qui roule le long d'une droite. Soit  le point où le mouvement commence; si, dans une position quelconque du cercle générateur, p est le point qui engendre la courbe, nous devons avoir diTC pm = Am et, en représentant l'angle pcm par ç et cm, le rayon du cercle, par a, nous aurons

y:=za{i — cos«p), x=:a{^ — sin^)

et, en éliminant, il vient, pour l'équation de la courbe,

a — / = a ces

Il est cependant plus avantageux, en général, de conserver o et de considérer la courbe comme définie par les deui équations ci-dessus. On voit aisément que sa forme est celle que représente la fig, 52. Le cercle pouvant rouler indëGniment dans Tune ou l'autre direction, la courbe se compose d'une infinité de portions similaires et il y a un rebroussement en chacun des points où deux de ces portions se réunissent.

Fig. 52.

Soit MPN la position du cercle générateur qui correspond au point le plus élevé de la cycloïde; comme Am = arc/?m, AM = MPN et nous avons Mm = /?P = arcPN; autrement